Дифференциальные уравнения первого порядка

Размещено на http://www.allbest.ru/

Медицинский колледж №2

Департамента здравоохранения города Москвы

Реферат

На тему:

Дифференциальные уравнения первого порядка

Выполнил: Собчак Даниил

Студент 1 курса, группы Л-13

Москва 2013 г.

План

1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия

2. Пример решения дифференциальные уравнения первого порядка

3. Уравнение показательного роста. Радиоактивный распад

1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия

Уравнение:

где y = y(x) -- неизвестная, непрерывно дифференцируема на (a,b) функция, называется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка.

Функция y = y(x) называется решением дифференциального уравнения F(x, y, y ') = 0, если она непрерывно дифференцируема на (a,b) и F(x, y(x), y'(x)) ? 0 для всех x из (a,b) .

График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет бесконечно много решений. Для того чтобы выделить единственное решение, нужно задать дополнительные (начальные) условия.

Задача отыскания решения y = y(x) уравнения F(x, y, y ' ) = 0, удовлетворяющего условию y(x0) = y0, называется задачей Коши (или начальной задачей).

Условие y(x0) = y0 -- начальное условие.

1) Любое конкретное решение y = y(x) (решение задачи Коши) уравнения 1-го порядка, называется частным решением уравнения.

2) Общее решение уравнения, записанное в неявной форме Ц(x, y) = C, называется общим интегралом уравнения.

3) Частное решение уравнения, записанное в неявной форме Ц(x, y) = 0, называется частным интегралом уравнения.

Уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной, называют уравнением, записанными в нормальной форме:

Уравнения первого порядка часто записывают в дифференциальной форме:

2. Пример решения дифференциальные уравнения первого порядка

Решение уравнения:

при всех x ? 0 является функция

Действительно, подставив выражение для y(x) в левую

и в правую часть уравнения

получили тождественное равенство

справедливое при всех x ? 0 и при произвольных значениях константы C.

дифференциальный уравнение показательный радиоактивный

3. Уравнение показательного роста. Радиоактивный распад

В результате экспериментов, Ф. Содди и Э. Резерфорд вывели закон радиоактивного распада, который описывается дифференциальным уравнением

где N ? количество радиоактивного материала,

л ? положительная константа, зависящая от радиоактивного вещества.

Знак минус в правой части означает, что количество радиоактивного материала N(t) со временем уменьшается (рисунок 1).

Данное уравнение легко решить, и решение имеет вид:

Чтобы определить постоянную C, необходимо указать начальное значение. Если в момент t = 0 количество вещества было N0, то закон радиоактивного распада записывается в виде:

Далее мы введем две полезных величины, вытекающие из данного закона. Периодом полураспада T радиоактивного материала называется время, необходимое для распада половины первоначального количества вещества. Следовательно, в момент T:

Отсюда получаем формулу для периода полураспада:

Среднее время жизни ф радиоактивного атома определяется выражением:

Видно, что период полураспада T и среднее время жизни ф связаны между собой по формуле:

Эти два параметра широко варьируются для различных радиоактивных материалов. Например, период полураспада полония-212 меньше 1 микросекунды, а период полураспада тория-232 превышает миллиард лет! Большой спектр изотопов с различными периодами полураспада был выброшен из атомных реакторов и охлаждающих бассейнов при авариях в Чернобыле и Фукусиме.

Пример 1

Радиоактивный изотоп индий-111 часто используется в радиоизотопной медицинской диагностике и лучевой терапии. Его период полураспада составляет 2,8 дней. Какова была первоначальная масса изотопного вещества, если через две недели осталось 5 г?

Решение

Используя закон радиоактивного распада, можно записать:

Решим уравнение относительно N0:

Подставляя известные значения T = 2.8 дней, t = 14 дней и N(t = 14) = 5г, получаем:

Пример 2

Начальная масса изотопа йода составляла 200г. Определить массу йода спустя 30 дней, если период полураспада данного изотопа 8 дней.

Решение

Согласно закону радиоактивного распада, масса изотопного вещества зависит от времени следующим образом:

Постоянная распада л здесь равна

Вычислим массу вещества через 30 дней:

Ответ:14.9

Размещено на Allbest.ru