Доказательство теоремы Ферма и её некоторое решение (исследование) для случая при n=2

Размещено на http://www.allbest.ru/

2

Размещено на http://www.allbest.ru/

Доказательство теоремы Ферма и её некоторое решение (исследование) для случая при n=2

Кропачев Алексей Владимирович

426050, Республика Удмуртия,

г. Ижевск, ул. 9-ое января, 247а-108

krop72@yandex.ru

8(3412)40-60-96

8-919-907-07-57

УДК 511.12

Физико-математические науки

Настоящая работа посвящена доказательству теоремы ФЕРМА и вывода из нее частного случая - теоремы ПИФАГОРА. Показано и доказано, что для некоторого числа Х существует большое количество «троек», которые зависят только от самого некоторого числа Х.

Ключевые слова и фразы: теорема Ферма; пифагоровы тройки; теорема Пифагора; простейшая тройка.

Введение

пифагор ферма умножение

Существует большое количество формулировок теоремы Ферма и все они сводятся к одному, что уравнение вида Xⁿ + Yⁿ = Zⁿ не имеет решение в целых положительных числах Х, Y, Z, при n > 2.

Итак, имеем уравнение вида

Xⁿ + Yⁿ = Zⁿ (1),

где при Х, Y, Z, n - целые числа, причем при n > 2 уравнение (1) не имеет решение.

Допустим

аⁿ + bⁿ = cⁿ (2),

Разложим

(3),

Преобразуем уравнение (3) в уравнение вида:

(4),

Уравнение (4) преобразуется в уравнение вида:

(5),

При , где уравнение (5) преобразуется в уравнение вида:

(6),

(7),

(8),

Примем Х=А_р - простое число, тогда уравнение (6) примет вид:

(9),

(10),

(11),

Рассмотрим случай, когда n- четное число.

При n - четное число - целое число, - целое число, тогда - целое число.

При

,

поэтому < и, вообще, при значениях , , , …, значения и - целые числа, то есть є, где R є, поэтому можно записать:

,

подставляя и сокращая получим

(12),

Итак имеем:

(13),

(14),

Тогда:

(15),

 (16),

Из выражений (15) и (16) видно, что при n- нечетное число R может принимать значения:

R є[ 0,5; 1,0 ; 1,5; …; ]

Рассматривая выражение вида:

можно увидеть, что уравнение имеет общий множитель, тогда при уравнение принимает единственное решение, а именно:

(17),

(18),

(19).

При n>2 разница между и «единица», поэтому Y и Z не могут быть одновременно целыми числами, а при n=2 выражение (18) и (19) преобразуется в выражение:

 и .

Отсюда видно, что при А_P = любое простое число > 2 Y и Z всегда целые числа.

Отсюда, имеем уравнение вида

Xⁿ + Yⁿ = Zⁿ

не имеет решение в целых положительных числах Х, Y, Z, n при n > 2.

ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА.

1. Некоторое решение (исследование) для случая при n=2

В уравнении вида:

при n=2 получим

Или:

при n=2 R=1 - всегда, тогда уравнение вида:

преобразуется в уравнение

(20).

Все простые числа больше 2 - числа нечетные, поэтому Y и Z всегда будут целыми, причем при А_{р min} = 3, то есть А_р² = 9

и ,

То есть при Х=3 появились наименьшие 3 числа - Х, Y, Z - которые называются пифагоровы числа (пифагоровы тройки).

Еще одно замечательное свойство при Х = Ар, то есть при Х - простые числа - это Z всегда больше Y на единицу, то есть

Х² = (Z-Y)(Z+Y) <=>

Х² = 1(Y+(Y+1)), (21).

Рассмотрим случай, когда Х =N - число составное.

Имеем:

,

подставим n=2 и X=N, тогда

,

отсюда

2b - целое число, причем 2b є[ 1; 3; 5; …; N-1] - для нечетных N, 2b є[2; 4; 6; …; N-1] - для четных N.

Отсюда видно, что значение 2b может удовлетворять любому произведению простых чисел в составе Х² (N²) , при этом само произведение меньше самого числа Х (N).

Например:

Пусть Х =3х5 = 15, тогда Х² = 3х3х5х5 = 225,

Для Х=3 имеем и ,

Для Х=5 имеем и ,

Умножим Х=3 на пифагорову тройку 5, 12, 13 - получим тройку 15, 36, 39

Умножим Х=5 на пифагорову тройку 3, 4, 5 - получим тройку 15, 20, 25

Для Х=15 имеем и .

Мы получили три пифагоровы тройки. Но при этом этот расчет показывает, что для Х=15 найдены не все пифагоровы тройки.

Тогда воспользуемся нашими формулами по другому, а именно - путем перебора произведения((19), где Х-Z=N_i) всех простых чисел в составе числа Х² при условии, что их произведение должно быть меньше значения Х, находим

N₁ = 1 < Х=15,

N₂ = 3 < Х=15,

N₃ = 5 < Х=15,

N₄ = 9 < Х=15,

Следующее значение «15» будет равно Х=15, при этом Y=0, Z=15.

Нетрудно увидеть, что N₁, N₂, N₃, N₄ - это есть Z-Y, то есть при

Х² = (Z-Y)(Z+Y) = N(Y + (Y+N)) - где Y+N = Z мы видим:

Х² = N₁(Y + (Y+N₁)) = 1(Y + (Y+1))=1(112 + (112+1)),

где Y=112; Z= 113

Х² = N₂(Y + (Y+N₂)) = 3(Y + (Y+3))=3(36 + (36+3)), где Y=36; Z= 39,

Х² = N₃(Y + (Y+N₃)) = 5(Y + (Y+5))=5(20 + (20+5)), где Y=20; Z= 25,

Х² = N₄(Y + (Y+N₄)) = 9(Y + (Y+9))=9(8 + (8+9)), где Y=8; Z= 17,

Таким образом, при Х=N - составное число мы имеем на примере Х=15 четыре Пифагоровы тройки, а именно:

15, 112, 113

15, 36, 39

15, 20, 25

15, 8, 17

Они зависят только от самого числа Х.

Рассмотрим пример, когда Х= 2х3 = 6, Х² = 2х2х3х3 = 36

Путем перебора всех простых чисел в составе числа Х² при условии, что их произведение должно быть меньше значения Х, находим:

N₁ = 1 < 6, но число 1 не удовлетворяет условию так как оно нечетное, поэтому опускаем его.

N₂ = 2 < 6 - удовлетворяет условию,

N₃ = 3 < 6 - но число 3 не удовлетворяет условию так как оно нечетное, поэтому опускаем его,

N₄ = 4 < 6 - удовлетворяет условию,

Следующее значение «6» будет равно Х = 6, при этом Y=0, Z=6.

Проверяем

Х² = N₂(Y + (Y+N₂)) = 2(Y + (Y+2))=2(8 + (8+2)), где Y=8; Z= 10,

Х² = N₄(Y + (Y+N₄)) = 4(Y + (Y+4))=4(3,5 + (3,5+4)), где Y=2,5; Z= 6,5

- условию не удовлетворяет, так как сумма Y+Z=9 нечетная, поэтому при определении Пифагоровых троек составными числами появляется еще одно из условий для Х - четное число, чтобы сумма Y+Z при N_i была тоже чётной.

Из этих примеров можно заметить, что при умножении простого числа на "2" происходит простое увеличение Пифагоровой тройки.

Но при умножении простого числа на какое-то четное число, отличное от "2" появляется несколько Пифагоровых троек с одним и тем же Х.

Рассмотрим случай, когда Х = 2х2х3 = 12, Х² = 2х2х2х2х3х3 = 144

Имеем значения

N₁ = 1 < 12, число 1 не удовлетворяет условию так как оно нечетное, поэтому опускаем его,

N₂ = 2 < 12, удовлетворяет условиям,

N₃ = 3 < 12, число 3 не удовлетворяет условию так как оно нечетное, поэтому опускаем его,

N₄ = 4 < 12, удовлетворяет условиям,

N₅ = 6 < 12, удовлетворяет условиям,

N₆ = 8 < 12, удовлетворяет условиям,

Следующее значение «12» будет равно Х=12, при этом Y=0, Z=12.

Х² = N₂(Y + (Y+N₂)) = 2(Y + (Y+2))=2(35 + (35+2)), где Y= 35; Z= 37,

Х² = N₄(Y + (Y+N₄)) = 4(Y + (Y+4))=4(16 + (16+4)), где Y= 16; Z= 20,

Х² = N₅(Y + (Y+N₅)) = 6(Y + (Y+6))=6(9 + (9+6)), где Y= 9; Z= 15,

Х² = N₆(Y + (Y+N₆)) = 8(Y + (Y+8))=8(5 + (5+8)), где Y=5; Z= 13,

Из случая, когда Х= 12 видно, что появились четыре пифагоровы тройки

12, 35, 37

12, 16, 20

12, 9, 15

12, 5, 13

На этом примере видно, что при умножении простого числа на "4" в теле составного числа появились четыре Пифагоровы тройки, поэтому простое умножение минимальной Пифагоровой тройки не дает полный результат нахождения всех "троек" при каком-то составном числе Х.

Рассматривая пример, когда Х=2х3х3 = 18, а Х² = 2х2х3х3х3х3 = 324

можно рассчитать такие Пифагоровы тройки -

18, 80, 82

18, 24, 30

Разбирая этот случай для Х=18, где в теле есть одна "2" и два простых числа, можно увидеть, что появились две Пифагоровы тройки.

Итак, если в теле составного числа имеется одна "2" и одно любое простое число, то это составное число имеет только одну Пифагорову тройку.

2. Простое для простого

При доказательстве теоремы ФЕРМА в части при n = 2 появилось широкое поле для творчества - нахождение количества "троек" при каком-то составном числе, нахождение других свойств бесконечного количества Пифагоровых троек, расположенных на числовой прямой, удовлетворяющих теореме ФЕРМА и как случая Теореме ПИФАГОРА.

Для наглядности можно привести весь список Пифагоровых троек от Х=3 до Х= 50, пользуясь только калькулятором и применяя для каждой "тройки" одну универсальную ФОРМУЛУ

Х² = N_i(Y+(Y+N_i))

3, 4, 5;

4, 3, 5;

5, 12, 13;

6, 8, 10;

7, 24, 25;

8, 15, 17; 8, 6, 10;

9, 40, 41; 9, 12,15;

10, 24, 26;

11, 60, 61;

12, 35, 37; 12, 16, 20; 12, 9, 15; 12, 5, 13;

13, 84, 85;

14, 48, 50;

15, 112, 113; 15, 36, 39; 15, 20, 25; 15, 8, 17;

16, 63, 65; 16, 30, 34; 16, 12, 20;

17, 144, 145;

18, 80, 82; 18, 24, 30;

19, 180, 181;

20, 99, 101; 20, 48, 52; 20, 21, 29; 20, 15, 25;

21, 220, 221; 21, 72, 75; 21, 28, 35; 21, 20, 29;

22, 120, 122;

23, 264, 265;

24, 143, 145; 24, 70, 74; 24, 45, 51; 24, 32, 40; 24, 18, 30;

24, 10, 26; 24, 7, 25;

25, 312, 313; 25, 60, 65;

26, 168, 170;

27, 364, 365; 27, 120, 123; 27, 36, 45;

28, 195, 197; 28, 96, 100; 28, 45, 53; 28, 21, 35;

29, 420, 421;

30, 224, 226; 30, 72, 78; 30, 40, 50; 30, 16, 34;

31, 480, 481;

32, 255, 257; 32, 126, 130; 32, 60, 68; 32, 24, 40;

33, 544, 545; 33, 180, 183; 33, 56, 65; 33 , 44, 55;

34, 288, 290;

35, 612, 613; 35, 120, 125; 35, 84, 91; 35, 12, 37;

36, 323, 325; 36, 160, 164; 36, 105, 111; 36, 77, 85; 36, 48, 60;

36, 27, 45; 36, 15, 39;

37, 684, 685;

38, 360, 362;

39, 760, 761; 39, 252, 255; 39, 80, 89; 39, 52, 65;

40, 399, 401; 40, 198, 202; 40, 96, 104; 40, 75, 85; 40, 42, 58;

40, 30, 50; 40, 9, 41;

41, 840, 841;

42, 440, 442; 42, 144, 150; 42, 56, 70; 42, 40, 58,

43, 924, 925;

44, 483, 485; 44, 240, 244; 44, 117, 125; 44, 33, 55;

45, 1012, 1013; 45, 336, 339; 45, 200, 205; 45, 108, 117; 45, 60, 75;

45, 28, 53; 45, 24, 51;

46, 528, 530;

47, 1104, 1105;

48, 575, 577; 48, 286, 290; 48, 189, 195; 48, 140, 148;

48, 90, 102; 48, 64, 80; 48, 55, 73; 48, 36, 60;

48, 20, 52; 48, 14, 50;

49, 1200, 1201; 49, 168, 175;

50, 624, 625; 50, 120, 130;

…И так далее до бесконечности.

В этом списке повторяются тройки намеренно.

Из примера еще раз видно, что все простые Х и произведение простого Х на "2" дают одну Пифагорову "тройку".

При этом вывод теоремы Пифагора из теоремы Ферма является следующим доказательством бесчисленных доказательств теоремы Пифагора.

Размещено на Allbest.ru