Векторный анализ
Криволинейные интегралы 1 и 2-го рода: механический смысл, свойства, формулы вычисления. Общий вид уравнения прямой, проходящей через две произвольные точки. Определение координат центра тяжести дуги циклоиды. Формула Грина и объяснение ее смысла.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 21.11.2013 |
| Размер файла | 387,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Казанский государственный энергетический университет
Кафедра «Высшей математики»
Опорный конспект лекции
Тема: Векторный анализ
Криволинейные интегралы 1-ого рода
Задача: Кусочно-гладкая кривая линия L на плоскости соединяет точки А и В и определяется уравнением y = y(x) , [a,b] или x = x(t), y = y(t) (t1<t<t2). Вдоль кривой распределены массы с плотностью (M) для каждой точки М. Вычислим общую массу всей системы метод интегральной суммы.
1) Операция разбиения. Разделим кривую L на n участков некоторыми точками А0 = А, А1, . . . , Аn = В. Соединим соседние точки отрезками АiАi+1 длиной si и выделим на каждом из них некоторую точку Мi().
2) Приближенно масса отдельного отрезка равна mi = (Mi) si ,
3) Массу всех отрезков определяет интегральная сумма
m(n) = (Mi) si ( 1 )
4) Переход к пределу n дает точное решение задачи.
Главные особенности интегральной суммы ( 1 ): 1) включает не только параметры кривой L , но и дополнительную функцию двух переменных f(x,y); 2) приобретает физический смысл .
Опр. Криволинейным интегралом 1-ого рода от функции f(x,y) вдоль кривой L наз. предел интегральной суммы , полученной в результате разбиения этой кривой на малые участки. Переменной интегрирования является длина кривой s.
J = lim f() si f(x,y) ds f(x,y) ds ( 2 )
n
Механический смысл криволинейного интеграла 1 рода: общая масса тел распределенных вдоль кривой с переменной плотностью.
Криволинейный интеграл сводится к обыкновенному определенному интегралу несколькими способами, в зависимости от способа описания кривой L.
1) Кривая L задана параметрически: x = x(s) , y = y(s) , 0sS , где s - длина кривой. Тогда
f(x,y) ds = f(x(s), y(s)) ds ( 3 )
2) Кривая L задана через произвольный параметр t: x = x(t) , y = y(t) , t1tt2. Тогда, длину отрезка АiАi+1 можно представить в виде
s = =
n lim = x`t , lim = y`t ,
s ds = dt
f(x,y) ds = f(x(t), y(t)) dt ( 4 )
3) Кривая L задана явным уравнением: y = y(x) на [a,b] .
Тогда s = или ds = dx . В результате имеем
f(x,y) ds = f(x,y(x)) dx ( 5 )
Замена в f(x,y) переменной у на y(x) означает переход к значениям функции на кривой.
При f(x,y) = 1 интеграл определяет длину дуги: S = dx
Основные свойства криволинейного интеграла 1 рода
Обычный определенный интеграл есть частный случай криволинейного интеграла, когда в качестве L берется отрезок оси Ох. Поэтому свойства интегралов аналогичны.
Постоянный множитель выносится из под знака интеграла
с f(x,y) ds = с f(x,y) ds
т.к. общий множитель членов интегральной суммы можно вынести за скобку.
20 Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов
[f1(x,y)+f2(x,y)] ds = f1(x,y) ds + f2(x,y) ds
т.к. такая интегральная сумма разделяется на две части.
Если контур интегрирования разбит на две части L1 и L2, то
f(x,y) ds = f(x,y) ds + f(x,y) ds
Интеграл не зависит от направления пути интегрирования , т.к. s может только возрастать при удалении от точки отсчета.
f(x,y) ds = f(x,y) ds
Если f(x,y) = 1 , то интеграл равен длине дуги: ds = L
Пр.1 xy ds , где L контур треугольника с вершинами A(-1;0) , B(1;0) , C(0;1) проходим в положительном направлении.
Общий вид уравнения прямой, проходящей через две произвольные точки (x1,y1), (x2,y2): (x - x1) / (x2 - x1) = (y - y1) / (y2 - y1).
AB: y = 0 , y` = 0 , = 1 , xy ds = x 0 dх = 0
BC:y=1-x,y`=-1,=,xyds=x(1-x)dx=-/6
CA:y=1+x,y`=1,=,xyds=x(1+x)dx=/6
Замкнутый контур интегрирования обозначается значком . В Пр.1 xyds = 0.
Криволинейный интеграл 2 рода
Опр. Криволинейным интегралом 2-ого рода от функции f(x,y,z) вдоль пространственной кривой L наз. предел интегральной суммы , полученной в результате разбиения этой кривой на малые участки. Переменной интегрирования является проекция длины кривой на ось Оx или Оу или Oz .
J = lim f(Mi) xi f(x,y,z) dx ; J = lim f(Mi) yi f(x,y,z) dy
J = lim f(Mi) zi f(x,y,z) dz ( 6 )
Интеграл 2-ого рода получается из интеграла 1-ого рода простой заменой ds на dx, dy, dz .
В конкретных задачах при прохождении контура L часто возникает необходимость вычислять интегралы по всем трем проекциям, причем, от разных функций. Поэтому в общем случае криволинейный интеграл 2-ого рода записывается в виде
J = P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz Pdx + Qdy + Rdz
Дополнительная особенность: интеграл 2-ого рода меняет знак на противоположный при изменении направления пути интегрирования
Pdx + Qdy + Rdz = - Pdx + Qdy + Rdz ( 7 )
Действительно, если x1 < x2 , то при движении x1x2 имеем x = x2 - x1 > 0 , а в случае x2x1 x = x1 - x2 < 0 , т.е. знак проекции участка кривой на ось меняется.
Пусть вдоль кривой L движется тело и в каждой точке траектории М на него действует сила = {P(M), Q(M), R(M)}. Cмещение тела в окрестности точки М определяет вектор d = ={dx, dy, dz} (направление касательной). Тогда работа по перемещению тела в окрестности точки М равна скалярному произведению векторов A(M) =d= P(M)dx + Q(M)dy +R(v)dz.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Суммирование по всем точкам и переход к пределу n приводят к криволинейному интегралу
lim = P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz
Физический смысл криволинейного интеграла 2 рода - работа по перемещению тела вдоль кривой в поле переменных сил.
Вычисление криволинейного интеграла 2 рода.
1) Кривая L задана параметрически:
x = x(t), y = y(t), z = z(t), t1tt2 .
dx = x`dt , dy = y`dt , dz = z`dt
Pdx + Qdy = [P(x(t),y(t))x`(t) + Q(x(t),y(t))y`(t)]dt ( 8 )
2) Плоская кривая L задана явным уравнением: y = y(x) на [a,b] . Тогда dy = y`(x)dx и
P(x,y)dx + Q(x,y)dy =[P(x, y(x)) + Q(x,y(x)) y`(x)] dx ( 9 )
т.е. получаем стандартный определенный интеграл. Замена переменной у на y(x) означает переход к значениям функции на кривой.
Пр.2 J =y2dx + x2dy , где L - верхняя половина эллипса: x = a cos t, y = b sin t , проходимая по часовой стрелке.
Решение: dx = -a sin t dt , dy = b cos t dt , J =[b2sin2t (-a sin t) + a2cos2t b cost] dt = = ab [b sin3t - a cos3t] dt = 4/3 ab2
Пр.3 J = (x2 - y2)dx + xy dy , где L:
а) прямая от точки А(1;1) до B(2;4) ;
б) дуга параболы y = x2 от А до В ;
в) ломаная АСВ , где С(2;1).
Решение а): уравнение прямой АВ: (x - 1) / ( 2 - 1) = (y - 1) / (4 - 1) y = 3x - 2 ,
dy = 3 dx, J =[x2- (3x - 2)2+ 3x(3x - 2)] dx =(x2 + 6x - 4) dx = x3/3 +3x2 -4x|12 = 8/3.
Решение б):парабола y = x2, dy = 2x dx, J =[x2-x4+2x4] dx =(x3/3 + x5/5)|12 = - 8/15
Решение в): ломаная АСВ = АС + СВ
Прямая АС: у = 1, dy = 0 , J = (x2 - 12) dx = (x3/3 - x ) |12 = 4/3 .
Прямая СВ: x = 2, dx = 0 , J =2y dy = y2 |14 = 15 . J = 15 + 4/3 .
Пр. 4 Найти координаты центра тяжести дуги циклоиды x = t -sin t, y = 1 - cos t, o t
Решение: Координаты центра тяжести однородной дуги кривой L вычисляются по формулам: xc = , yc = , где s - длина дуги. ( 10 )
Имеем (x`t)2 + (y`t)2 = (1 - cos t)2 + (sin t)2 = 2(1 - cos t) = 4 sin2(t/2) , тогда по ( 4 )
ds = 2 sin(t/2) dt и длина дуги s = ds = 2sin(t/2) dt = - 4 cos(t/2) |0 = 4
xc = = 2/4(t - sin t) sin(t/2) dt = 8/3
yc = = 2/4(1 - cos t) sin(t/2) dt = 4/3
Приложения криволинейных интегралов 2-ого рода.
Рассмотрим криволинейный интеграл 2-ого рода
J = P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz ( 11 )
где P, Q, R - некоторые ограниченные непрерывные функции, а L - произвольная линия в пространстве, соединяющая точки А и В. Пусть линию определяет векторное уравнение = (t) = x(t) i + y(t) j + z(t) k, ( t1 t t2 ) . Тогда дифференциал радиус-вектора
d = ( xt`i + yt`j + zt`k ) dt = {dx, dy, dz} задает направление и величину смещения при движении по кривой в окрестности произвольной точки.
Величины P, Q, R можно рассматривать как компоненты вектора = (M) = {P,Q,R }, значения которого меняются от точки к точке пространства. Такой переменный вектор определяет векторное поле. Например, поле сил, воздействующих на тело массыm. При движении тела по кривой L в поле сил производится работа. По определению, на малом прямолинейном участке пути работа равна скалярному произведению вектора силы (Mi) на вектор смещения i , т.е. Ai = (Mi) i . Разделим кривую L на n малых, почти прямолинейных участков, и составим интегральную сумму
A(n)=(Mi)i=[P(Mi)xi+Q(Mi)yi+R(Mi)zi](12)
Пределом интегральной суммы ( 12 ) при n является криволинейный интеграл 2-ого рода ( 11 ) или J = , т.е. криволинейный интеграл 2 рода есть интеграл вдоль кривой от скалярного произведения вектора силы и вектора смещения.
Его механический смысл - работа по перемещению тела в поле переменных сил. Произведенная работа может зависеть или не зависеть от выбранного пути при перемещении из точки А в точку В . Это свойство является важнейшей характеристикой всякого векторного поля. Определим условия независимости криволинейного интеграла от контура интегрирования.
Теорема . Криволинейный интеграл 2-ого рода ( 11 ) вдоль кривой L , соединяющей точки А и В, не зависит от пути интегрирования при выполнении любого из следующих условий:
1) если его значение по произвольному замкнутому контуру равно 0
Pdx + Qdy + Rdz = 0 ( 13 )
2) если его подынтегральное выражение является полным дифференциалом функции трех переменных U(x,y,z)
Pdx + Qdy + Rdz = dU ( 14 )
3) если выполняются следующие равенства для частных производных от подынтегральных функций
= , = , = ( 15 )
Доказательства:
1) Пусть условие ( 13 ) выполняется и даны контуры (L1) , (L2) , соединяющие точки А и В. Построим замкнутый контур (L) , идущий из А в В по (L1) и из В в А по (L2) , причем, (L2) проходим в обратном направлении. Тогда, 0 = = - , т.е. =
2) Пусть условие ( 14 ) выполняется, тогда
Pdx + Qdy + Rdz = dU = Ut`(x(t),y(t),z(t)) dt =
= U(t2) - U(t1) = U(B) - U(A) ( 16 )
т.е. значение интеграла зависит только от координат точек А и В.
3) Из определения полного дифференциала dU = dx + dy + dz и формулы (14 ) следует, что функции P, Q, R являются частными производными U
P =, Q = , R =
Из равенства смешанных производных = и т.д. следует ( 15 ).
В случае выполнения этих условий вычисляют первообразную функцию U(x,y,z) по полному дифференциалу. Для этого проводят интегрирование dU от А(x0,y0,z0) до В(x,y,z) по контуру, состоящему из прямых || координатным осям и получают сумму трех простейших определенных интегралов, которая равна U(x,y,z) - U(x0,y0,z0) согласно (16).
Прямая A(x0,y0,z0)C(x,y0,z0): y , z - const , dy = dz = 0 , J JAC =
Прямая C(x,y0,z0)D(x,y,z0): x , z - const , dx = dz = 0 , J JCD =
Прямая D(x,y,z0)B(x,y,z): y , x - const , dy = dx = 0 , J JDB =
В результате получаем JAB = JAC + JCD + JDB = U(x,y,z) - U(x0,y0,z0) или формулу для вычисления первообразной функции
U(x,y,z)=+++const(17)
Пр. Найти первообразную U(x,y,z) , если dU = (x2 - yz) dx + (y2 - xz) dy + (z2 - xy) dz
Решение. Функции P, Q, R непрерывны в пространстве R3. Выберем A(x0,y0,z0) = O(0,0,0) и по формуле ( 17 ) находим
U(x,y,z) = + ++ С = = (x3 + y3 + z3) /3 - xyz + C
Ux` = (x2 - yz), Uy` = (y2 - xz), Uz` = (z2 - xy) .
Формула Грина
Рассмотрим интеграл 2-ого рода по замкнутому контуру L на плоскости
J = P(x,y) dx + Q(x,y) dy ( 18 )
Покажем, что интеграл ( 8 ) можно свести к двойному интегралу по области D , ограниченной контуром L. Во многих случаях такая замена может существенно упростить решение задачи.
Даны область D правильная в направлении оси Оу a < x <b , y1(x) < y < y2(x) и функции P(x,y) , P(x,y) / y непрерывные в этой области. Вычислим двойной интеграл
J = = ( 19 )
Его внутренний интеграл Jв является интегралом от дифференциала и легко вычисляется
Jв = = = P(x,y2(x)) - P(x,y1(x))
В результате J распадается на сумму двух интегралов
J = P(x,y2(x)) dx - P(x,y1(x)) dx = P(x,y) dx - P(x,y) dx = - P(x,y) dx - P(x,y) dx
которые соответствуют криволинейному интегралу от функции P(x,y) вдоль кривых AB и MN. Значение этого интеграла вдоль прямых BM, NA Pdx = Pdx = 0 , т.к. dx = 0 в этом случае. Поэтому справедливо равенство
J = - Pdx - Pdx - Pdx - Pdx = - Pdx
т.е. двойной интеграл J ( 10 ) по области D равен криволинейному интегралу по замкнутому контуру, ограничивающему эту область. Направление обхода положительное.
= - P(x,y)dx ( 20 )
Т.к. произвольную область D всегда можно представить в виде суммы правильных областей, то равенство ( 12 ) справедливо для D произвольной конфигурации.
Для области D правильной в направлении оси Ох и функций Q(x,y) , Q/x непрерывных в D получается равенство аналогичное ( 20 )
= Q(x,y)dx ( 21 )
Объединим ( 20 ) и ( 21 ) и получим формулу Грина
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = ( 22 )
Пр. Вычислить интеграл J = -x2y dx + xy2 dy , где L: x2 + y2 = R2 , с помощью формулы Грина.
Решение. P = - x2y , P/y = - x2 ,
Q = xy2 , Q/x = y2 , Q/x - P/y = y2 + x2
J = (y2 + x2) dxdy = {x = r cos , y = r sin } = = 2R4/4
Вычисление площадей
Q = x/2 , P = - y/2 , тогда Q/x = Ѕ , P/y - Ѕ
= dxdy = S(D)
или площадь области D , ограниченная контуром L равна
S(D) = Ѕ x dy - y dx ( 23 )
Условие выполнения равенства P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0 сразу следует из ( 22 ):
криволинейный интеграл координата прямая
Q/x = P/y
Устные экзаменационные вопросы по теме: «Криволинейные интегралы»
1. Определение аддитивной величины;
2. Алгоритм метода интегральной суммы;
3. Общее опр. интегральной суммы;
4. Опр. криволинейного интеграла 1-ого рода. Решение какой задачи привело к его появлению?
5. Написать формулы для вычисления криволинейного интеграла 1-ого рода;
6. Перечислить основные свойства криволинейного интеграла 1-ого рода. Почему?;
7. Опр. криволинейного интеграла 2-ого рода;
8. Записать криволинейный интеграл 2-ого рода в общем виде;
9. Как влияет на криволинейный интеграл 2-ого рода изменение направления пути интегрирования. Почему ? ;
10. Написать формулы для вычисления криволинейного интеграла 2-ого рода;
11. Опр. векторного поля;
12. Механический смысл криволинейного интеграла 1-ого рода . Почему ?;
13. Перечислить условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования;
14. Написать и объяснить общую формулу для вычисления первообразной криволинейного интеграла;
15. Написать формулу Грина, объяснить ее смысл;
16. Написать формулу вычисления площади через криволинейный интеграл;
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Применение формулы Грина к решению задач. Понятие ротора векторного поля. Вывод формулы Грина из формулы Стокса и ее доказательство. Определение непрерывно дифференцируемых функций. Применение формулы Грина для вычисления криволинейного интеграла.
курсовая работа [2,9 M], добавлен 11.07.2012Написание уравнения прямой, проходящей через определенную точку и удаленной от начала координат на заданное расстояние. Расчет длины высот параллелограмма. Построение плоскости и прямой, определение точки пересечения прямой и плоскости и угла между ними.
контрольная работа [376,1 K], добавлен 16.06.2012Криволинейные и поверхностные интегралы. Криволинейный интеграл I и ІІ рода. Поверхностный интеграл I и ІІ рода. Формулы Грина, Остроградского-Гаусса, Стокса. Основные понятия теории поля. Скалярное поле. Производная скалярного поля по направлению.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 09.12.2008Способы задания прямой на плоскости. Уравнение с угловым коэффициентом. Рассмотрение частных случаев. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении. Построение графика прямой, проходящей через две точки. Рассмотрение примера.
презентация [104,9 K], добавлен 21.09.2013Алгоритм вычисления интегральной суммы для функции нескольких переменных f(x, y) по плоской кривой АВ. Ознакомление с понятием криволинейного интеграла первого рода. Представление формулы расчета криволинейного интеграла по пространственной кривой.
презентация [306,9 K], добавлен 17.09.2013Алгоритм вычисления интегральной суммы для функции нескольких переменных по кривой АВ. Определение понятия криволинейного интеграла второго рода. Представление суммы интегралов двух функций вдоль кривой АВ как криволинейного интеграла общего вида.
презентация [69,4 K], добавлен 17.09.2013Несобственные интегралы первого рода. Понятие абсолютно и условно сходящегося интеграла. Несобственные интегралы второго рода. Определение непрерывности функции и равномерной сходимости. Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра.
курсовая работа [240,1 K], добавлен 23.03.2011Определение понятия поверхностного интеграла первого и второго рода, их основные свойств, примеры вычисления и его перевода в обыкновенный двойной. Рассмотрение потока векторного поля через поверхность, как механического смысла поверхностного интеграла.
контрольная работа [157,6 K], добавлен 24.01.2011Понятие двойного и тройного интеграла. Кратные интегралы в криволинейных координатах. Геометрические и физические приложения кратных интегралов. Криволинейные и поверхностные интегралы: понятия и способы вычисления. Геометрические и физические приложения.
дипломная работа [237,7 K], добавлен 27.02.2009Основы тензорного анализа. Геометрический смысл и формула расчета коэффициентов Ламе. Взаимный базис; полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат. Рассмотрение способов преобразования векторов при переходе к криволинейным координатам.
курсовая работа [4,0 M], добавлен 06.11.2013
