Проблема спряженості та ріст періодів у групах Григорчука

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський університет імені Тараса Шевченка

УДК 512.54

Проблема спряженості та ріст періодів у групах Григорчука

(01.01.06 - алгебра та теорія чисел)

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Леонов Юрій Григорович

Київ 1999

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Київському університеті ім. Тараса Шевченка.

Науковий керівник:

СУЩАНСКИЙ Віталій Іванович, доктор фізико-математичних наук, професор, завідуючий кафедри алгебри і математичної логіки Київського університету імені Тараса Шевченка, м. Київ

Офіційні опоненти:

ГРИГОРЧУК Ростислав Іванович, доктор фізико-математичних наук, професор, провідний науковий співробітник математичного інституту ім. В. А. Стєклова РАН, м. Москва

Боднарчук Юрій Вікторович, кандидат фізико-математичних наук, доцент університету "Києво-Могилянська академія", м. Київ

Провідна установа:

Львівський державний університет ім. І. Франка

Захист відбудеться ” 15 ” _лютого_ 1999 року о 14 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 при Київському університеті ім. Тараса Шевченка за адресою: 252127, м. Київ, пр. акад. Глушкова, 6, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Київського університету ім. Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).

Автореферат розіслано ” _11_ ” __січня_ 1999 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради ПЕТРАВЧУК А. П.

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У 1902 році У. Бернсайд сформулював ряд проблем, які довгий час стимулювали i стимулюють багаточисельні дослідження в теорії груп.

Загальна проблема Бернсайда: ”Чи буде довільна періодична група локально скінченною?” отримала негативне розв'язання в роботі Е. С. Голода1 лише в 1964 році. В 1972 році С. В. Альошин2 побудував періодичну групу, яка породжується двома автоматними перетвореннями і є нескінченною. Кожен з автоматiв завдає пiдстановку на словах над алфавiтом, що складається із двох символів.

Використовуючи мову автоматних перетворень за допомогою розвинутої Л. А. Калужніним теорії нескінченних вінцевих добутків р-груп3,

В. І. Сущанський в 1979 році збудував приклад нескінченної p-групи, породженої двома елементами порядку p, p?2. 4

І, нарешті, в 1980 році Р. І. Григорчук отримав найпростіший з відомих сьогодні прикладів - нескінченну скінченно породжену 2-групу - в термінах ”перекладань” підінтервалів інтервалу (0,1) без двійково-раціональних точок (тобто точок із координатами )5 .

Конструкція періодичної не локально скінченної групи дозволила Р. І. Григорчукові в 1984 році дати відповідь на цілий ряд інших цікавих питань6.

А саме: повніше вивчення цiєї групи та інших 2-груп схожої конструкції привело до розв'язання проблеми Мілнора7 про груповий ріст.

Кажуть, що функція росте не швидше, аніж із точністю до еквівалентності: (або ), якщо знайдеться таке c > 0, що . Якщо і , то функції еквівалентні: . Нарешті, росте швидше, аніж: () якщо та .

Функція росту кожної 2-групи Григорчука

де - довжина елемента g у вибраній системі твірних даної групи, росте повільніше експоненти і швидше будь-якої степеневої функції (із точністю до еквівалентності):

.

Зауважимо, що групи Григорчука G в його загальній конструкції 6 будуються на основі нескінченних послідовностей над алфавітом {1,2,3}.

В роботі 8 М. Дей поставив питання про збіжність класів аменабельних груп і т. зв. елементарних груп, що утворюються із скінчених і абелевих груп різноманитнітними застосуваннями чотирьох операцій: взяття підгрупи, взяття фактор-групи, групового розширення, та індуктивної границі. Приклад груп Григорчука5 дав негативну відповідь на питання Дея, тому що із одного боку нескінченна скінченно породжена періодична група не може бути елементарною9, а з другого - група не експоненційного росту аменабельна10.

Періодичні групи Григорчука з роботи6 мають тривіальний центр, кожна власна їх фактор-група є скінченною і вони задовольняють умові максимальності для субнормальних підгруп, що дало змогу Р.І. Григорчуку дати позитивну відповідь на відоме питання Прайда6.

Конструкція груп G також використовується для знаходження інших прикладів цікавих груп. Використовуючи узагальнення груп G на випадок p-груп Р. І. Григорчук знайшов p-групи проміжного зросту, з континуальним числом фактор-груп11; використовуючи конструкцію груп з роботи6 ним також отримано приклад скінченно визначеної аменабельної не елементарної групи18.

В пропонованій дисертаційній роботі автор продовжує вивчення 2-груп Григорчука. Інтерес до подібних конструкцій зростає, тому цілком природно для 2-груп Григорчука сформулювати основні проблеми комбінаторної теорії груп. Проблема рівності слів для будь-якої періодичної групи Григорчука G розв'язується ”природним” чином6:

А саме, G має розв'язну проблема рівності, тоді й лише тоді коли твірні елементи цієї групи можуть бути визначені рекурсивно. Іншими словами, якщо G збудована за рекурсивною послідовністю , то в G позитивно розв'язується проблема рівності і навпаки.

Проте, проблема спряженості елементів для груп G довгий час залишалась відкритою. В розділі 2 цієї роботи автор отримує критерій спряженості елементів в 2-групах Григорчука і повністю розв'язує цю проблему.

Однією з комбинаторних характеристик періодичної нескінченної скінченно породженої групи G є її функція росту періодів, яка визначається таким чином:

Очевидно, що поведінка функції росту періодів певним чином впливає на загальні властивості групи. Згадаємо, наприклад, відому теорему Зельманова13 про скінченність резидуально скінченних груп, в яких функція росту періодів обмежена. В даній роботі ми продовжуємо також дослідження функції росту періодів в групах Григорчука G яке розпочалось ще в 6 .

Мета роботи. Метою пропонованої дисертаційної роботи є продовження вивчення 2-груп Григорчука та деяких інших груп схожої конструкції.

Повністью роз'язано проблему спряженості елементів в 2-групах Григорчука. Отримано нові оцінки знизу та зверху для функцій росту періодів цих груп. Для більш широкого класу т.зв. розгалужувальних груп ( в який входять і 2-групи Григорчука ) встановлюється відсутність тотожностей, в кожній з груп цього класу.

Розвинуто спеціальний технічний апарат для вивчення груп Григорчука G, що базується як на мові ”перекладань” підінтервалів інтервалу (0,1), так і на мовах теорії груп автоморфізмів кореневих дерев і нескінченних вінцевих добутків груп.

Методи дослідження. В дисертаційній роботі для вивчення груп Григорчука застосовуються методи комбінаторної теорії груп і теорії груп підстановок. Зокрема, використовується теорія групових дій на деревах.

Наукова новизна. В дисертаційній роботі автором отримані такі нові результати:

показано, що проблема спряженності для 2-груп Григорчука розв'язується позитивно тоді й лише тоді коли позитивно розв'язується проблема рівності;

для широкого підкласу груп Григорчука отримано оцінки знизу для функцій росту періодів цих груп;

для всіх 2-груп Григорчука вказується нова оцінка зверху для їх функцій росту періодів. Зокрема, встановлюється, що ця оцінка тим точніша, чим точніша оцінка зверху для функцій росту цих груп;

встановлюється, що групи з великого підкласу скінченно породжених резидуально скінченних груп не мають (нетривіальних) тотожностей. Зокрема, будь-яка розгалужувальна група не має тотожностей.

Теоретична та практична цінність дисертації. Результати дисертації є певним вкладом в теорію резидуально скінченних груп. Методіка досліджень може бути перенесено на ширші класи резидуально скінченних груп, а розвинута техніка використана при вивченні інших груп автоморфізмів локально скінченних дерев.

Апробація роботи. Отримані в дисертації результати доповідались на семінарі ”Теорія груп та напівгруп” у Київському університеті імені Тараса Шевченка; на IV Міжнародній конференції ”Групи та групові кільця” (м. Великий Любінь,1996 рік); на Міжнародній конференції, присвяченій пам'яті професора Л. М. Глускіна (м. Слов'янськ, 1997); на VІ Міжнародній конференції ”Групи та групові кільця” (м.Вісла, Польша, 1998 рік); на Міжнародній математичній конференції, присвяченій пам'яті Л. С. Понтрягіна (м. Москва, Росія, 1998 рік).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 4 наукових статтях, а також у 4 тезах доповідей наукових конференцій. Список робіт наведений наприкінці автореферату.

Особистий внесок дисертанта. Всі результати дисертації отримано автором самостійно.

Структура і об'єм роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, трьох розділів і списку літератури, викладених на 117 сторінках машинописного тексту. Список літератури містить 42 найменування.

2. ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі викладено огляд основної літератури за темою дисертації, сформулюванно основні результати дисертаційної роботи.

В першому розділі дається визначення груп Григорчука, приводяться основні відомі властивості цих груп, визначається мова, за допомогою якої будуть вивчатись ці групи. В підрозділі 1.2 для вивчення груп Григорчука в термінах нескінченних вінцевих добутків розвинуто певний технічний апарат, та наведено кілька допоміжних тверджень.

Основним результатом другого розділу є така

ТЕОРЕМА 2.2.5. Проблема спряженості в групі Григорчука G розв'язується позитивно тоді і лише тоді, коли в ній позитивно розв'язана проблема рівності.

В підрозділі 2.1 за допомогою низки допоміжних тверджень ми розвиваємо нові підходи до вивчення груп Григорчука, які сполучають в собі мову теорії нескінченних вінцевих добутків скінченних групп та мову ”перекладань” підінтервалів інтервалу (0,1).

Підсумковим результатом підрозділу слід вважати лемму 2.1.10, котра дозволяє ”збирати” елементи групи Григорчука, як дії на інтервалі (0,1), за допомогою набору дій на підінтервалах.

Нехай інтервали рівня n. Розглянемо звуження дії елемента g на підінтервал : При фіксованому n різноманітні звуження елементів групи G на інтервали утворюють групу, яку ми позначимо G,n. Відомо, що кожен елемент g групи G має таку властивість: знайдеться таке, що будь-які звуження будуть або твірними в групі G,n або одиничними елементами. Найменше таке n назвемо рангом елемента g і позначимо f(g).

В підрозділі 2.2 безпосередньо вивчається проблема спряженості. Зокрема, для будь-яких елементів g та h групи Григорчука G, будується елемент t є G, який задовольняє умові або встановлюється, що такого t в групі G немає, тобто елементи g та h не є спряженими в G. При цьому елемент t може бути вибраний з певними обмеженнями.

А саме, якщо g і h спряжені в G, - рекурсивна послідовність, то існує ранг якого задовольняє умові де - деяка рекурсивна функція.

Зауважимо, що елементи t є G із умовою можуть бути ефективно перечислені.

Методика вивчення груп Григорчука, розвинута в роботі при розв'язанні проблеми спряженості, далі використовується при розгляді інших задач.

Дві групи сумірні, якщо вони мають ізоморфні підгрупи скінченного індекса.

В підрозділі 2.3 за допомогою комбінаторних міркувань описано з точністю до сумірності комутанти груп Григорчука, а в розділах 3.1-3.2 вивчається поведінка функції росту періодів цих груп.

Нехай Позначимо .

Функція росту періодів в групах G

вперше розглянута в роботі Р. І. Григорчука 6, де встановлено оцінку зверху

(1)

Там же автор посилається на усне повідомлення І. Г. Лисьонка, згідно якому для початкової групи Григорчука Gr.

В розділі 3.1 оцінка Лисьонка поширюється на ширший клас 2-груп Григорчука.

ТЕОРЕМА 3.1.6. Для 2-груп Григорчука G, при виконується умова .

Для доведення цієї теореми рекурентно будується деяка нескінченна множина елементів групи Григорчука, яка має ряд екстремальних властивостей. Зокрема, елементи цієї множини мають ”малу” довжину і ”великий” порядок щодо інших своїх параметрів.

Нову інформацію про поведінку функцій росту періодів груп Григорчука ми отримуємо, оцінюючи її зріст зверху в розділі 3.2. Оцінка зверху для покращує (1) і встановлюється вперше для решти 2-груп G. В процесі оцінювання з'ясовується, що інформація про поведінку функції росту періодів настільки точніша, наскільки точнішою є інформація про функцію росту групи Григорчука. В найпростішому випадку, коли при , ми маємо

Наслідок 3.2.4. якщо то

Одночасно відомо, що

Основним об'єктом при оцінці зверху є функція

поведінка якої і виявляє тісний зв'язок між функцією росту періодів та функцією росту групи G. Таким чином, лемма 3.2.5, яка стверджує, що фактично є іншим доведенням оцінки знизу для росту групи G:

(2)

отриманого в 6. Варто зауважити, що Р.І. Григорчук обгрунтував оцінку (2) для будь-якої скінченно породженої резидуально скінченної групи G іншими методами 14, а саме в термінах зростання коефіцієнтів ряду Гільберта-Пуанкаре градуйованої алгебри, пов'язаної з групою G. (використовуючи відомі результати Голода-Шафаревича 15).

Ідея оцінки зверху функції зростання періодів скінченно-породженої резидуально скінченної групи може виявитись корисною і при пошукові нових періодичних резидуально скінченних груп. Наприкінці розділу 3.2 наведено простий приклад нескінченної 2-породженої {2,3}-групи.

Підмножина елементів групи G, які не переставляють інтервали рівня m Ј n між собою, є підгрупою, яку називають стабілізатором рівня n. Визначимо костабілізатор рівня n таким чином:

Розроблену в роботі техніку для досліджень груп Григорчука можна перенести на інші резидуально скінченні групи. Для довільної групи G, яка діє на локально скінченному кореневому дереві природно визначається її дія за допомогою перекладань підінтервалів на інтервалі (0,1). В цій ситуації аналогично вводяться поняття стабілізатора та костабілізатора рівнів.

За своїми властивостями близькими до груп Григорчука є нещодавно введені розгалужувальні групи автоморфізмів кореневого дерева16. Трохи переформулювавши оригінальне означення можна вважати їх групами з нескінченним костабілізатором кожного рівня. Ці групи, зокрема, відіграють важливу роль при дослідженні т. зв. екстремальних груп. Група називається екстремальною, якщо кожна її власна фактор-група скінченна. Задача класифікації екстремальних груп значною мірою зводиться до вивчення розгалужувальних екстремальних груп.

Одне з цікавих властивостей розгалужувальних груп дається таким твердженням.

ТЕОРЕМА 3.3.1. Нехай G транзитивна група автоморфізмів локально скінченного кореневого дерева з нескінченними костабілізаторами всіх рівнів. Тоді в G немає нетривіальних тотожностей.

При доведенні теореми ми використовуємо поняття узагальненого проектування елементів, яке з'явилось в розділах 1-3 для груп Григорчука.

Екстремальна група називається спадково екстремальною16, якщо кожна її підгрупа скінченного індексу екстремальна.

Твердження 3.3.4. Спадково екстремальні групи мають тривіальний костабілізатор починаючи з деякого . Твердження 3.3.5. екстремальні транзитивні групи автоморфізмів дерев з умовою максимальності є спадково екстремальними.

григорчук підінтервал кореневий

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі пропонується новий підхід до вивчення груп Григорчука та груп схожої конструкції. Завдяки поєднанню різних мов для дослідження вдається далі заглибитись у вивчення структури елементів груп Григорчука.

Це дозволило повністю розв'язати проблему спряженості в цих групах, більш точно дослідити функцію росту періодів для кожної з них, довести теореми про будову комутантів в групах Григорчука, про їх проскінченне замикання, побудувати нові приклади періодичних груп бернсайдового типу.

Методика досліджень, розвинута в поданій роботі може бути перенесено і на інші резидуально скінченні групи, що відно вже при дослідженні тотожностей в скінченно породжених резидуально скінченних групах. Автор висловлює щиру вдячність своєму науковому керівникові професорові В. І. Сущанскому за увагу і підтримку в роботі.

РОБОТИ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Леонов Ю. Г. О функции роста периодов в группах Григорчука // Тезисы межд. алг. конф. Славянск. 1997. С. 56-57.

2. Леонов Ю. Г. Нижняя оценка функции роста периодов в группах Григорчука // Матем. студії. 1997. Т. 8. №2. С. 192-197.

3. Леонов Ю. Г. Про тотожності в групах автоморфізмів дерев //Вісн. Київського Ун-ту. Сер. фіз-мат. 1997. Вип. 3. С. 37-44.

4. Leonov Yu. G. On identities in branch groups // Abstr. Kurosh Alg. Conf. 1998. Moscow. P. 77.

5. Leonov Yu. G. About structure of Grigorchuk groups // Abstr. Int. Conf. Group and Group Rings VI. Wisla. Poland. 1998, P. 20.

6. Leonov Yu. G. On growth function for some torsion residually finite groups // Abstr. Pontrjagin Int. Math. Conf. Moscow. 1998. P. 36-38.

7. Leonov Yu. G. On precisement of estimation of periods' growth for Grigorchuk's 2- groups // Вопросы алгебры. 1998. вып. 13. С. 58-67.

8. Леонов Ю. Г. Проблема сопряженности в одном классе 2-групп // Матем. заметки. 1998. Т. 64. вып. 4. С. 573-583.

Размещено на Allbest.ru