Різницеві схеми на неортогональних шаблонах для рівняння гіперболічного типу

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ІНСТИТУТ КІБЕРНЕТИКИ ІМЕНІ В.М.ГЛУШКОВА НАЦІОНАЛЬНОЇ АКАДЕМІЇ НАУК УКРАЇНИ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

різницевІ схемИ на НЕОРТОГОНАЛЬНИХ шаблонах для рівняння гіперболічного типу

Бистрицький Максим Євгенович

Київ -- 1999

Анотації

Бистрицький М.Є. Різницеві схеми на неортогональних шаблонах для рівняння гіперболічного типу. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.07 -- обчислювальна математика. -- Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, Київ, 1999.

Автор пропонує та досліджує новий клас різницевих апроксимацій -- різницеві оператори Лапласа на неортогональних шаблонах прямокутної сітки. Детально розглянуто два важливі випадки -- оператор на неортогональному семиточковому шаблоні на площині та на неортогональному тринадцятиточковому шаблоні у тривимірному просторі. Проведено аналіз спектральних та дисперсійних властивостей цих операторів. Доведено, що дисперсійні властивості різницевих схем на неортогональних шаблонах кращі за дисперсійні властивості звичайних схем на прямокутних сітках. Одержано оцінки точності схем, що використовують неортогональні шаблони, для еліптичних та гіперболічних рівнянь з негладкими розв'язками. Доводиться, що для схеми з оператором на семиточковому шаблоні вибором правої частини можна досягти четвертого порядку апроксимації як для еліптичного, так і для гіперболічного випадку. Запропоновано прямі методи розв'язування схем на неортогональних шаблонах. Показано, що перехід на прямокутну сітку для двовимірного рівняння дозволив збільшити ефективність алгоритмів у два рази, порівняно із трикутною сіткою, причому без погіршення апроксимаційних та дисперсійних властивостей схеми.

Ключові слова: різницева схема, оператор Лапласа, рівняння гіперболічного типу, неортогональний шаблон, дисперсія, точність різницевої схеми, прямі методи, прямокутна сітка.

Быстрицкий М.Е. Разностные схемы на неортогональных шаблонах для уравнения гиперболического типа. -- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.07 -- вычислительная математика. -- Институт кибернетики им. В.М.Глушкова НАН Украины, Киев, 1999.

Автор предлагает и исследует новый класс разностных аппроксимаций -- разностные операторы Лапласа на неортогональных шаблонах прямоугольной сетки. Детально рассмотрены два важных частных случая -- оператор на неортогональном семиточечном шаблоне на плоскости и на неортогональном тринадцатиточечном шаблоне в трехмерном пространстве. Проведен анализ спектральных и дисперсионных свойств этих операторов. Доказано, что дисперсионные свойства разностных схем на неортогональных шаблонах лучше, чем дисперсионные свойства обычных схем на прямоугольных сетках. Получены оценки точности схем, использующих неортогональные шаблоны, для эллиптических и гиперболических уравнений с негладкими решениями. Доказывается, что для схемы с оператором на семиточечном шаблоне выбором правой части можно получить четвертый порядок апроксимации как для эллиптического, так и для гиперболического случаев. Предложены прямые методы нахождения решений схем на неортогональных шаблонах. Показано, что переход на прямоугольную сетку для двумерного уравнения позволяет увеличить эффективность алгоритмов в два раза, по сравнению с треугольной сеткой, причем без ухудшения апроксимационных и дисперсионных свойств схемы.

Ключевые слова: разностная схема, оператор Лапласа, уравнение гиперболического типа, неортогональный шаблон, дисперсия, точность разностной схемы, прямые методы, прямоугольная сетка.

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Задачі, що відносяться до рівнянь гіперболічного типу другого порядку, виникають у різних прикладних областях, зокрема в задачах акустики, електродинаміки, динамічної теорії пружності тощо. Найчастіше при їх розв'язуванні використовують метод скінченних різниць. За цим методом вихідну диференціальну задачу у частинних похідних замінюють відповідною різницевою схемою, що є системою скінченної кількості алгебраїчних рівнянь. Тобто для розв'язання неперервної задачі будують дискретну модель, характер поведінки якої описують різницеві рівняння. Очевидно, будь-яка дискретна модель не тотожна вихідній неперервній задачі.

Особливістю наближених методів є те, що кожному рівнянню можна поставити у відповідність велику кількість різницевих апроксимацій, що мають майже однакові характеристики. Тому побудова різницевих схем, властивості яких якнайповніше відповідають вихідній диференціальній задачі, -- суть і предмет методу скінченних різниць, а розвиток теорії різницевих схем природно шукають у покращенні порядку апроксимації, а також у зменшенні кількості арифметичних операцій для знаходження розв'язків. Іншими словами, різницева схема повинна якомога краще моделювати властивості вихідного диференціального рівняння, до того ж кількість арифметичних дій, необхідних для знаходження розв'язку, має бути по можливості пропорційна кількості вузлів сітки.

Побудова різницевих схем для рівнянь у частинних похідних з узагальненими розв'язками, швидкість збіжності яких узгоджена з гладкістю цих розв'язків, привертає сьогодні особливу теоретичну увагу. Як зазначається або приймається за очевидне у кожній роботі з чисельних методів, основним питанням для теорії та практики наближених методів є питання точності розв'язку. Дослідження задач з негладкими розв'язками для рівнянь гіперболічного типу потребують особливої уваги через те, що негладкості середовища для таких рівнянь не зникають з часом. Проблема узагальнюється таким чином: як покращити точність наближенного методу, не збільшуючи при цьому паразитичних осциляцій, які з'являються при переході на кожний наступний ярус. Це явище виникає, коли розв'язок негладкий, має розриви та особливі точки (наявні зконцентровані зовнішні сили, точкові джерела тощо). Причина таких осциляцій -- дисперсія різницевої схеми по відношенню до диференціальної задачі, тобто відмінність (відставання або випередження) фазової швидкості сіткових гармонік від гармонік диференціальних. Звідси ясно, якою важливою є побудова таких схем для розв'язування гіперболічних рівнянь, де враховані дисперсійні властивості неперервної моделі і, можливо, до мінімуму зведений спотворюючий вплив цих властивостей.

Стан проблеми. Першими роботами, у яких було відмічено зв'язок між дисперсією різницевих схем та втратою точності розв'язків рівнянь гіперболічного типу, були роботи К. Роберта (K. Robert), В. Вайса (W. Weiss) (1966) та Дж. Фромма (J. Fromm) (1968). Вони досліджували дисперсію для різних різницевих схем, що апроксимують гіперболічне рівняння першого порядку. Надалі на існування дисперсії для одновимірних рівнянь вказувалося в роботах С. Орзаґа (S. Orzag), Р. Чина (R. Chin). Зв'язок осциляцій сіткових розв'язків з дисперсією гармонік різницевої схеми для одновимірних гіперболічних рівнянь як першого, так і другого порядку, був показаний М.М. Москальковим. Дисперсійний аналіз для різних задач математичної фізики: рівнянь газової динаміки, рівняння переноса, рівняння акустики, -- проводився надалі різними авторами. Проблеми, зв'язані з існуванням дисперсії, за допомогою методу диференціальних наближень розглядалися Ю.І. Шокіним, С.Б. Поповим та Ю.П. Поповим.

В згаданих роботах пропонувалися різні методи боротьби з наслідками дисперсії -- паразитичними осциляціями розв'язків гіперболічних рівнянь. Один з них -- введення в рівняння так званої штучної в'язкості. Однак, це не завжди задовільно: втрачається справжній профіль розв'язку та ускладнюються алгоритми, особливо, коли необхідно працювати з великою кількістю вузлів сітки. Іншими методами, що враховують існування дисперсії, пропонується вводити додатковий антидисперсійний ярус, вводити штучну дисперсію або розглядати неортогональні сітки на площині та в тривимірному просторі.

В роботах О.С. Макаренка та М.М. Москалькова (1983) було вперше доведено, що в двовимірному випадку, виявляється, існує залежність дисперсії різницевої схеми не лише від номера сіткових гармонік, а й від напрямку руху хвилі. Подальші роботи у цьому напрямі показали, що можна суттєво покращити дисперсію у заданому напрямку руху хвилі за допомогою вибору параметрів схеми.

В.Л. Макаровим, С.В. Макаровим, М.М. Москальковим в роботі 1993 року було вказано, що у різницевих схем на правильних трикутних сітках дисперсійні властивості кращі за дисперсійні властивості схем на звичайних шаблонах прямокутної сітки. Пояснюється це тим, що існує залежність між виглядом шаблону та дисперсією схеми. Відмічалося, також, що на правильній трикутній сітці можна побудувати схеми четвертого порядку точності для рівняння Пуассона.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Місцем виконання роботи є кафедра чисельних методів математичної фізики факультету кібернетики Київського університету, де протягом багатьох років школою В.Л. Макарова проводяться теоретичні та експериментальні дослідження з теорії різницевих схем з узагальненими розв'язками.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є побудова та розробка методів реалізації схем на прямокутних сітках для двовимірних та тривимірних рівнянь гіперболічного типу, дисперсійні та апроксимаційні властивості яких кращі за властивості вже відомих схем. З цього випливає необхідність доведення того, що точність нових схем на негладких розв'язках не гірша за точність вже існуючих схем.

Методика дослідження. Методи дослідження апроксимації, стійкості та збіжності нових схем відносяться до теорії різницевих схем, яка на сьогодні набула довершеного вигляду у роботах О.А. Самарського, Г.І. Марчука, Р.Д. Лазарова, В.Л. Макарова.

Наукова новизна. В дисертаційній роботі пропонується та досліджується новий клас різницевих апроксимацій -- оператори на неортогональних шаблонах прямокутної сітки. Більша близкість до кола цих шаблонів обумовлює кращі дисперсійні характеристики схем з операторами, що використовують їх для апроксимації гіперболічних рівнянь.

Проведений повний аналіз різницевих схем з оператором Лапласа на неортогональному семиточковому шаблоні у площині та неортогональному тринадцятиточковому шаблоні у тривимірному просторі.

Показано, що властивості оператора на семиточковому шаблоні прямокутної сітки не гірші за відповідні властивості семиточкового шаблону трикутної сітки. А саме, на семиточковому шаблоні прямокутної сітки можна побудувати схему з четвертим порядком точності за простором для еліптичних та з четвертим порядком точності як за простором так і за часом для гіперболічних рівнянь.

Показано, що головний член розкладу дисперсії на неортогональному семиточковому шаблоні прямокутної сітки не залежить від напрямку руху хвилі.

Для схем на неортогональному семиточковому шаблоні побудовані прямі методи знаходження розв'язку. Показано, що перехід на прямокутну сітку дозволяє побудувати прямі методи для знаходження розв'язків еліптичних рівнянь, які у два рази ефективніші за методи на симетричній трикутній сітці (робота В.Л. Макарова, С.В. Макарова, М.М. Москалькова, 1993) та мають однакову ефективність з методами на несиметричній трикутній сітці (роботи І.Є. Капоріна, Є.С. Ніколаєва, 1982).

Для різницевої апроксимації гіперболічнного рівняння на прямокутній сітці, на відміну від сіток трикутних, можлива факторизація, яка дозволяє знаходити розв'язкі за кількість операцій, що пропорційна кількості вузлів сітки.

Для періодичних крайових умов запропонований новий метод знаходження розв'зків, оснований на використанні дискретних перетворень Гартлі (Hartley).

Теоретична та практична цінність роботи. Результати, отримані в дисертаційному дослідженні, можуть бути використані при розв'язуванні широкого класу практичних задач, які зводяться до рівнянь еліптичного та гіперболічного типів: задач акустики, електродинаміки, теорії переносу тощо.

Особистий внесок здобувача. Всі результати, що складають основний зміст дисертаційної роботи, отримані автором самостійно. В публікації, що написана в співавторстві, дисертанту належить метод побудови різницевої схеми.

Апробація результатів роботи. Основні результати доповідалися на кафедрі чисельних методів математичної фізики Київського університету імені Тараса Шевченка та на международній конференції “Інформатика, обчислювальна та прикладна математика. Теорія, застосування, перспективи” (INAMTAP'96, Київ, 1996).

Публікації. Основні положення дисертації викладені у чотирьох статтях [1-4].

Структура та обсяг роботи. Робота обсягом 137 сторінок, складається із вступу, трьох розділів, семи параграфів та списку використаних джерел з 71 найменування. Містить 21 рисунок та 7 таблиць.

2. Зміст дисертаційної роботи

В дисертаційній роботі на прямокутній сітці (на площині та у тривимірному просторі) пропонується будувати шаблони, форма яких близька до кола (сфери), природної форми фазової швидкості диференціальних задач. Пропонується будувати неортогональні шаблони, тобто такі, в яких відсутній один з напрямків осей координат. Найхарактерніший з таких шаблонів -- неортогональний семиточковий шаблон прямокутної сітки -- займає головне місце дослідження. Одним з критеріїв вибору прямокутної сітки замість неортогональної (скажімо, трикутної) є мотив спрощення алгоритмів знаходження розв'язку, представленого у вузлах сітки.

У Розділі І (§§1-3) пропонується метод побудови різницевої апроксимації оператора Лапласа, оснований на зведенні похідних за змінними до похідних за введеними напрямками, а також досліджуються спектральні властивості двох важливих випадків: неортогональний семиточковий шаблон на площині та неортогональний тринадцятиточковий шаблон у тривимірному просторі.

У §2 викладений метод побудови різницевої апроксимації оператора Лапласа на неортогональних шаблонах використовує звичайні прямокутні сітки. Суть методу полягає у тому, що на прямокутній сітці задаються певні напрямки, кількість яких більша за кількість осей координат.

Покладемо, що область -- прямокутник із сторонами, паралельними осям координат. Розглянемо у цій області оператор Лапласа

, . (1)

Для побудови різницевої апроксимації оператора (1) задамо на області , прямокутну сітку

(2)

Введемо в області 2n+2 напрямки за лініями , ; , ; ; , .

Диференціальний оператор Лапласа у похідних за змінними зводиться до певного оператора у похідних за введенними напрямками.

Скориставшись формулою

, (3)

зведемо похідні за змінними в операторі (1) до похідних за введеними напрямками. Для цього запишемо лінійну комбінацію

(4)

Якщо коефіцієнти , та B₁, B₂ знаходяться з системи

(5)

то можна стверджувати, що .

За означеннями вводяться різницеві похідні за кожним напрямком:

,,

,.

За допомогою інтеґральних операторів усереднення за кожним з напрямків будуємо різницевий оператор Лапласа.

, , (6)

де ², , , де Достатньою умовою додатної визначеності буде , .

Рисунок 1

За побудовою така апроксимація наближає диференціальний оператор з другим порядком. Для зменшення кількості напрямків розглядаютья лише неортогональні шаблони -- відсутній один з напрямків, що збігаються з осями координат. Як для площини, так і для тривимірного простору побудовано основні різницеві оператори на таких шаблонах. Скажімо, для трьох напрямків ми одержуємо оператор ₇y на неортогональному семиточковому шаблоні:

 (7)

Для врахування вигляду різницевого оператора у приграничних вузлах необхідно продовжити область повздовж границі. Так, для однорідної задачі Діріхле застосовується непарне продовження. Скажімо, для продовження повздовж ліву границю використаємо продовження u(-x₁, x₂)=-u(x₁, x₂).

Прикладом різницевого оператора у тривимірному просторі може слугувати оператор на неортогональному тринадцятиточковому шаблоні

(8)

.

Цей шаблон при має вигляд кубооктаедра -- особливого архімедового багатогранника, що одержується з куба або октаедра, якщо відсікти кути, розділивши грані навпіл.

Більша близкість шаблонів до кола забезпечує таким операторам кращі дисперсійні властивості, порівняно із звичайними різницевими операторами.

В §3 детально досліджуються спектральні властивості різницевого оператора на неортогональному семиточковому шаблоні прямокутної сітки. Розглянемо різницеву задачу на власні значення

 (9)

(10)

, . (11)

Визначимо простір , як простір сіткових функцій, що задані на та задовольняють умовам (10), (11). Скалярний добуток у цьому просторі задамо так

. (12)

У цьому параграфі знайдено явний вигляд власних функцій та власних значень цього оператора. Одержано оцінки максимального та мінімального власних значень.

Твердження 3.1. У просторі оператор самоспряжений.

Твердження 3.2. Розв'язком задачі (9)-(10) є власні функції

(13)

і відповідні їм власні значення

(14)

,

Твердження 3.3. Для власних значень оператора

виконуються оцінки (при ):

,

тобто можливі два випадки

a) б) ;

та .

Досліджено дисперсійні властивості явної різницевої схеми для двовимірного хвильового рівняння, що використовує апроксимацію оператора Лапласа на семиточковому шаблоні.

, (14)

. (15)

, . (16)

. (17)

Умова стійкості цієї схеми буде:

(18)

Тобто, для таких схем можна вибирати більш великий крок за часом, ніж для схем на звичайних шаблонах.

Шукаємо розв'язок у вигляді сіткових гармонік . Фазова швидкість сіткових гармонік , де -- арґумент множника переходу q, -- модуль хвильового вектора . Зауважимо, що для фазової швидкості диференціального рівняння v=1 при всіх . Знайдено розклад виразу фазової швидкості сіткових гармонік по степенях :

Показано, що властивості оператора Лапласа на семиточковому неортогональному шаблоні прямокутної сітки не гірші за властивості оператора на аналогічному шаблоні трикутної сітки. Тобто побудовані на прямокутній та на трикутній сітці схеми, мають однакові дисперсійні властивості, які кращі за властивості схем на звичайних ортогональних шаблонах прямокутної сітки. До того ж на прямокутній сітці можна побудувати схеми четвертого порядку точності, використовуючи неортогональний семиточковий шаблон, замість дев'ятиточкового шаблону схеми підвищеного порядку точності.

У цьому ж параграфі досліджуються спектральні властивості різницевого оператора Лапласа на неортогональному тринадцятиточковому шаблоні у тривимірному просторі. Запишемо для тривимірного випадку різницеву задачу на власні значення:

(19)

. (20)

Зрозуміло, що для першої крайової задачі мають виконуватися умови непарного продовження за границі області за напрямками x₁ та x₂.

Для оператора Лапласа на такому шаблоні одержаний явний вигляд власних значень та знайдено їх максимальне та мінімальне значення.

Твердження 3.7. Розв'язком задачі (19)-(20) є власні функції

(21)

і відповідні їм власні значення

(22)

.

?????????? 3.8. ??? ??????? ??????? ????????? ??????????? ?????? (??? ):

та .

Проведено аналіз дисперсії сіткових гармонік неявної схеми для гіперболічного рівняння у тривимірному просторі і знайдене оптимальне з погляду дисперсії значення вагового коефіцієнта.

, (23)

.

, x_h, t=0, (24)

де ,

-- вага схеми ,

E -- одиничний оператор, y¹=yⁿ¹=y(x, tⁿ). Для апроксимації приграничних вузлів використовується непарне продовження.

Середньоквадратичне відхилення дисперсії мінімальне при

, де . (25)

Можна зробити висновок: у тривимірному просторі дисперсійні властивості схеми з оператором Лапласа на тринадцятиточковому шаблоні прямокутної сітки краща за властивості схем на звичайних шаблонах.

У Розділі ІІ (§§4-5) проводится дослідження збіжності різницевих схем на неортогональному семиточковому шаблоні прямокутної сітки на площині та неортогональному тринадцятиточковому шаблоні у просторі. У §4 за допомогою двовимірного сіткового перетворення Фур'є, леми Брембла-Гільберта та сіткового аналога теореми Марцинкевича про мультиплікатор встановлено оцінку збіжності різницевої схеми на семиточковому шаблоні для рівняння Пуассона з крайовими умовами Діріхле у нормі Lp.

В квадраті з границею = розглянемо задачу Діріхле для рівняння Пуассона:

(26)

u(x)=0, x

Задамо прямокутну сітку

(27)

Множина внутрішніх вузлів , множина граничних вузлів . Різницева задача матиме вигляд

, (28)

y(x)=0, x, (x)=T₁T₂T₃f(x). (29)

, , (30)

Тут і надалі оператори -- це інтеґральні оператори усереднення за кожним з введених напрямків.

Доводиться теорема.

Теорема 4.1. Нехай розв'язок u(x) задачі (26) належить до класу при m=1, 2, 3, 4 і . Тоді швидкість збіжності різницевої схеми (28)-(30) у нормі , s -- ціле, характеризує така оцінка

, m=1, 2, 3, 4, (31)

max(0, m2) s min(2, m), max(1, 2/m) < p < ,

де стала C не залежить від h, p та u(x).

Саме завдяки методу побудови з §2 схема доведення класична: за допомогою введених операторів усереднення будується різницева схема; похибка апроксимації подається у вигляді, що відповідає вигляду різницевого оператора; робиться оцінювання складових похибки апроксимації і знаходиться оцінка швидкості збіжності схеми.

Знайдено оцінку швидкості збіжності i для схеми підвищеного порядку точності на неортогональному семиточковому шаблоні прямокутної сітки.

У параграфі отримана також аналогічна оцінка для схеми на неортогональному тринадцятиточковому шаблоні у тривимірному просторі.

У §5 (методами, викладеними у роботах І.Н. Джураєва, В.Л. Макарова, М.М. Москалькова) проводиться дослідження збіжності методів дискретизації для гіперболічного рівняння другого порядку.

Розглянемо задачу для рівняння гіперболічного типу:

(32)

; (33)

u(x, t)=0, (x, t)S_T={x=, t[0, T]},(34)

де .

Введемо сітку .

і замінимо задачу (32)-(34) різницевою схемою

, (35)

, x_h, t=0; (36)

y(x)=0, x,, , (37)

де (x, t)=T^xT^tf(x, t), ,

₁, ₂ -- ваги схеми , , ,

E -- одиничний оператор, y¹=yⁿ¹=y(x, tⁿ).

Введемо сіткові норми

,

, ;

. (38)

Тут: , -- різницева похідна k-го порядку для k1, наприклад , , а для k<0 -- сума відповідної кратності

; .

Одержані узгоджені оцінки швидкості збіжності методу сіток та методу прямих.

Теорема 5.1. Нехай u(x) W₂^m(Q_T), і виконується умова тоді точність симетричної схеми (35)-(37) характеризується узгодженою оцінкою

(39)

k=-1, m=1, 2; k=0, 1, m=

Знайдено також аналогічні оцінки для схеми на неортогональному тринадцятиточковому шаблоні у тривимірному просторі.

Приведено оцінку для схеми підвищеного порядку точності (аналог для гладких розв'язків) для неортогонального семиточкового шаблона.

Для задачі (32)-(34) запишемо таку різницеву схему (35)-(37) при (шаблон правильний шестикутник) та , де права частина

(x, t)=T₁T₂T₃f(x, t)+

+.(40)

Теорема 5.2. Нехай u(x) W₂^m(Q_T), і виконується умови , тоді точність симетричної схеми (35)-(37) з правою частиною (40) характеризується узгодженою оцінкою

, (41)

де k=-1, 0, 1, , , .

Проте, не треба забувати, що алгоритми знаходження розв'язку задач за допомогою різницевих схем потребують поєднання методів побудови дискретних аналогів задач та методів їх розв'язування. Тому у Розділі ІІІ (§§6-7) пропонується метод неповної редукції знаходження розв'язків різницевих задач на неортогональному семиточковому шаблоні.

У §6 послідовно розглядаються методи знаходження розв'язків еліптичних рівнянь: розвинення у подвійну суму Фур'є, метод неповної редукції для рівняння Пуассона, а також пропонується метод знаходження розв'язків періодичної крайової задачі, оснований на перетвореннях Гартлі. Перетворення Гартлі, теорія якого детально розроблена Р.Брейсвеллом (R.Bracewell, 1984), позбавлене деяких недоліків, властивих перетворенню Фур'є. У той час коли перетворення Фур'є відображають дійсні функції у комплексну площину та несиметричні за i=, перетворення Гартлі здійснює пряме і зворотнє перетворення лише у дійсній площині та має таку симетрію. Метод знаходження розв'язків періодичної дискретної задачі оснований на тому факті, що сума власних функцій задачі є також її власною функцією.

У цьому параграфі метод неповної редукції адаптується для знаходження розв'язків неявної різницевої схеми для рівняння гіперболічного типу.

Виявлено, що перехід на прямокутну сітку дозволяє без погіршення дисперсійних властивостей побудувати прямі алгоритми знаходження розв'язків. Останні майже у два рази ефективніші за алгоритми для схем на симетричних трикутних сітках (роботи В.Л.Макарова, С.В.Макарова, метод Фур'є) та мають однакову ефективність з схемами на несиметричних трикутних сітках (роботи І.Є.Капоріна, Є.С.Ніколаєва, метод неповної редукції).

Крім того, пропонується факторизація неявної схеми і досліджується її стійкість. Візьмемо за реґуляризатор звичайний оператор на п'ятиточковому шаблоні типу “хрест” .

Лема 6.1. Оператори ₇ та ₅ еквівалентні, тобто виконуються оцінки , причому , ,

Тепер для знаходження розв'язків диференціальної задачі (32)-(34) маємо схему при =₁=₂

, (42)

де крайові та початкові умови (36), (37), , схема стійка за умови , або за лемою 6.1:

. (43)

Замінюючи D факторизованим оператором, отримаємо економічну факторизовану задачу, яку можна розв'язувати методом прогонки:

, (44)

, .

, x_h, t=0; (45)

y(x)=0, x,,, (46)

де (x, t)=T^xT^tf(x, t), , E -- одиничний оператор.

У параграфі досліджуються також дисперсійні властивості неявної та факторизованої різницевих схем. Було виявлено, що дисперсійні властивості факторизованої схеми не гірші за властивості звичайної неявної схеми. Це дозволяє побудувати на неортогональному семиточковому шаблоні прямокутної сітки (на відміну від трикутної) метод знаходження розв'язків, що він використовує кількість операцій пропорційну кількості вузлів сітки.

У цьому параграфі для неявної схеми на семиточковому шаблоні знаходиться також оптимальне значення вагового коефіцієнта , де -- число Куранта. Для числа Куранта має виконуватися оцінка . При цьому значенні можна вибором правої частини досягти четвертого порядку апроксимації як за так і за .

Результати чисельних розрахунків §7 підтверджують одержані у попередніх параграфах теоретичні результати.

Висновки

1. Побудований новий клас різницевих апроксимацій -- різницеві оператори Лапласа на неортогональних шаблонах прямокутної сітки як для площини, так і для тривимірного простору.

2. Проведено аналіз спектральних та дисперсійних властивостей двох важливих випадків -- різницевого оператора Лапласа на неортогональному семиточковому шаблоні прямокутної сітки та неортогональному тринадцятиточковому шаблоні у тривимірному просторі.

3. Одержано оцінки точності різницевих схем, що використовують ці шаблони, для еліптичних та гіперболічних рівнянь з негладкими розв'язками, які належать просторам Соболєва. Доведено, що для двовимірного випадку вибором апроксимації правої частини схеми можна досягти четвертого порядку апроксимації як для еліптичного, так і для гіперболічного випадку.

4. Запропоновано алгоритми розв'язування схем на неортогональних шаблонах. Доведено, що перехід на прямокутну сітку для двовимірного рівняння дозволив збільшити ефективнісь алгоритмів у два рази, порівняно із трикутною сіткою, причому без погіршення апроксимаційних та дисперсійних властивостей схеми.

???????????? ?????? ??????????????? ??????

Список опублікованих робіт по темі дисертації

Бистрицький М.Є. Збіжність різницевої схеми на неортогональному семиточковому шаблоні для рівняння Пуассона у нормі Lp (1<p<)//Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. -- 1997. -- Вип.2. -- С.149-160.

Бистрицький М.Є. Метод неповної редукції обчислення розв'язків різницевої задачі Діріхле на неортогональному семиточковому шаблоні прямокутної сітки для рівняння Пуассона// Обчислювальна та прикладна математика. -- 1997. -- №1 (81).

Бистрицький М.Є., Москальков М.М. Різницевий оператор Лапласа на неортогональному семиточковому шаблоні прямокутної сітки та його спектральні властивості // Обчислювальна та прикладна математика. -- 1997. -- №2 (82). -- С.7-12.

Бистрицький М.Є. Метод побудови різницевих операторів на неортогональних шаблонах//Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. -- 1999. -- Вип.1. -- С.117-129.

Размещено на Allbest.ru