Метод вращений решения линейных систем
Методы решения линейных систем уравнений. Приведение системы к треугольному виду последовательным обнулением поддиагональных элементов первого и второго столбца как цель прямого хода преобразований в методе вращений. Особенности хода преобразований.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 18.11.2013 |
| Размер файла | 29,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Метод вращений решения линейных систем
Как и в методе Гаусса, цель прямого хода преобразований в этом методе - приведение системы к треугольному виду последовательным обнулением поддиагональных элементов сначала первого столбца, затем второго и т.д.
Умножим первое уравнение исходной системы (1) на с1, второе на s1 и сложим их; полученным уравнением заменим первое уравнение системы. Затем первое уравнение исходной системы умножаем на - s1, второе на c1 и результатом их сложения заменим второе уравнение. Таким образом, первые два уравнения (1) заменяются уравнениями
Отсюда . Эти числа можно интерпретировать как косинус и синус некоторого угла (отсюда название метод вращения, каждый шаг такого преобразования можно рассматривать как вращение расширенной матрицы системы в плоскости обнуляемого индекса).
В результате преобразований получим систему
где
Далее первое уравнение системы заменяется новым, полученным сложением результатов умножения первого и третьего уравнений соответственно на
а третье - уравнением, полученное при сложении результатов умножения тех же
где
Выполнив преобразование m-1 раз, придем к системе
Вид полученной системы такой же, как после первого этапа преобразований методом Гаусса. Эта система обладает следующим свойством: длина любого вектора-столбца (эвклидова норма) расширенной матрицы остается такой же, как у исходной матрицы. Следовательно, при выполнении преобразований не наблюдается рост элементов.
Далее по этому же алгоритму преобразуется матрица
и т.д.
В результате m-1 этапов прямого хода система будет приведена к треугольному виду.
линейная система уравнение вращение
Нахождение неизвестных не отличается от обратного хода метода Гаусса.
Всего метод вращения требует примерно операций умножения и деления.
Пример:
Дана СЛУ:
х1+2х2+3х3=8
3х1+х2+х3=3
2х1+3х2+х3=5
Умножим первое уравнение на с1, второе на s1, сложим их, а потом умножим первое на (-s1), а второе на с1 и сложим. Результат: система (1) из 2 измененных уравнений и 1 оставшегося:
x1 (c1+3s1) +x2 (2c1+s1) +x3 (3c1+s1) =8c1+3s1
x1 (3c1-s1) +x2 (c1-2s1) +x3 (c1-3s1) =3c1-8s1
2x1+3x2+x3=5
Найти c1 и s1
s1+3c1=0, c1=1/10^1/2, s1=3/10^1/2
Подставим эти значения в первые два уравнения системы (1), получим новую систему (2):
10x1+5x2+6x3=17
5x2-8x3=-21
2x1+3x2=5
Умножим уравнение 1 из системы (2) на с2, третье на s2, сложим их, а потом умножим первое на (-s2), а второе на с2 и сложим. Результат: система (3):
2x1 (5c2+s2) +x2 (5c2+3s2) +x3 (6c2+s2) =17c2+5s2
2x1 (c2-5s2) +x2 (3c2-5s2) +x3 (c2-5s2) =5c2-17s2. Найти c2 и s2:
10s2+2c2=0
c2=5/26^1/2
s2=1/26^1/2
Подставим эти значения в уравнения 1 и 3 системы (3), получим систему (4):
52x1+28x2+31x3=90
5x2-8x3=-21
10x2-x3=-8
Теперь, оставляя 1 уравнение без изменений, умножим второе на с3, третье на s3, сложим их., умножим второе на (-s3), третье на с3, сложим и их. Результат: система (5):
52x1+28x2+31x3=90
5x2 (-c3-2s3) +x3 (-8c3-s3) =-21c3-8s3
5x2 (-2c3+s3) +x3 (-c3+8s3) =-8c3+21s3. Найдем c3 и s3:
10s3-5c3=0
c3=-1/5^1/2
s3=-2/5^1/2
Подставим найденные значения во 2 и 3 уравнения системы (5) и найдем результирующую систему (6):
52x1+28x2+31x3=90
35x2-10x3=15
15x3=-30. Ответы:
х1=0
х2=1
х3=2
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Математические модели явлений или процессов. Сходимость метода простой итерации. Апостериорная оценка погрешности. Метод вращений линейных систем. Контроль точности и приближенного решения в рамках прямого метода. Метод релаксации и метод Гаусса.
курсовая работа [96,7 K], добавлен 13.04.2011Характеристика способов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Описание проведения вычислений на компьютере методом Гаусса, методом квадратного корня, LU–методом. Реализация метода вращений средствами системы программирования Delphi.
курсовая работа [118,4 K], добавлен 04.05.2014Система линейных уравнений. Общее и частные решения системы линейных уравнений. Нахождение векторного произведения. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Исследование функции на непрерывность. Тригонометрическая форма числа.
контрольная работа [128,9 K], добавлен 26.02.2012Основные действия над матрицами, операция их умножения. Элементарные преобразования матрицы, матричный метод решения систем линейных уравнений. Элементарные преобразования систем, методы решения произвольных систем линейных уравнений, свойства матриц.
реферат [111,8 K], добавлен 09.06.2011Основные понятия и теоремы систем линейных уравнений, характеристика методов их решения. Критерий совместности общей системы. Структура общих решений однородной и неоднородной систем. Матричный метод решения и обобщение. Методы Крамера и Гаусса.
курсовая работа [154,5 K], добавлен 13.11.2012Понятие и специфические черты системы линейных алгебраических уравнений. Механизм и этапы решения системы линейных алгебраических уравнений. Сущность метода исключения Гаусса, примеры решения СЛАУ данным методом. Преимущества и недостатки метода Гаусса.
контрольная работа [397,2 K], добавлен 13.12.2010Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): Гаусса и Холецкого, их применение к конкретной задаче. Код программы решения перечисленных методов на языке программирования Borland C++ Builder 6. Понятие точного метода решения СЛАУ.
реферат [58,5 K], добавлен 24.11.2009Общий вид системы линейных уравнений и ее основные понятия. Правило Крамера и особенности его применения в системе уравнений. Метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений. Использование критерия совместности общей системы линейных уравнений.
контрольная работа [35,1 K], добавлен 24.06.2009Сущность итерационного метода решения задачи, оценка его главных преимуществ и недостатков. Разновидности итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений: Якоби, Хорецкого и верхней релаксации, их отличия и возможности применения.
курсовая работа [39,2 K], добавлен 01.12.2009Параллельные методы решения систем линейных уравнений с ленточными матрицами. Метод "встречной прогонки". Реализация метода циклической редукции. Применение метода Гаусса к системам с пятидиагональной матрицей. Результаты численного эксперимента.
курсовая работа [661,7 K], добавлен 21.10.2013
