Некоторые вопросы по курсу алгебры

Размещено на http://www.allbest.ru/

18

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание 1. (2 балла)

Вычислить сумму матриц kA+mB,

если ,

k= -6 ; m= 3

Решение

Элементы матрицы суммы определяются по формуле

c_ij=ka_ij+mb_ij.

Вычислим элементы первой строки матрицы суммы:

с₁₁=(-6)?1+3 ?(-1)=(-6)+(-3)= -9;

с₁₂=(-6)?2+3 ?6=(-12)+18=6;

с₁₃=(-6)?3+3 ?3=(-18)+9= -9.

Аналогично вычисляем остальные элементы:

С₂₁=(-6)?4+3 ?0=(-24)+0= -24;

с₂₂=(-6)?5+3 ?2=(-30)+6= -24;

с₂₃=(-6)?6+3 ?(-5)=(-36)+(-15)= -51.

С₃₁=(-6)?7+3 ?1=(-42)+3= -39;

с₃₂=(-6)?8+3 ?10=(-48)+30= -18;

с₃₃=(-6)?9+3 ?7=(-54)+24.

Таким образом, матрица суммы примет вид:

Задание 2. (3 балла)

Вычислить определитель третьего порядка

Решение

Определителем третьего порядка матрицы

называется число, которое определяется следующим образом:

Для вычисления определителей третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников:

Размещено на http://www.allbest.ru/

18

Размещено на http://www.allbest.ru/

Используя правило треугольников, вычислим определитель:

Ответ: -540

Задание 3. (5 баллов)

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение

Прямой ход.

Запишем исходную систему уравнений и решим её путём последовательного исключения переменных.

Исключим переменную из всех уравнений, за исключением первого.

Поменяем местами уравнения 1 и 3 (порядок уравнений в системе не имеет значения).

Умножим коэффициенты уравнения 1 на 2 и прибавим получившееся уравнение к уравнению 3.



Исключим переменную из последнего уравнения.

Так как решать систему уравнений в целых числах удобнее, умножим коэффициенты уравнения 2 на 2 и прибавим получившееся уравнение к уравнению 3.

Поменяем местами уравнения 2 и 3 (порядок уравнений в системе не имеет значения).

Умножим коэффициенты уравнения 2 на -8 и прибавим получившееся уравнение к уравнению 3.

Получили систему уравнений, равносильную исходной системе, в которой первое уравнение содержит три переменных, второе - две, а третье - одну переменную:

Отсюда последовательно находим:

уравнение 3 последней получившейся системы

уравнение 2

уравнение 1

Подставим, ранее найденные значения переменных

Таким образом, решение системы:

.

Проверяем полученное решение, подставляя найденные значения в исходную систему:

Получили тождественные равенства, следовательно, система решена правильно. Ответ: .

Задание 4. (3 балла)

Найти косинус угла между векторами и :, если А (6; 8; -4), если В(4; 1; 10) и С(9; 3; 6).

Решение

Косинус угла ц между векторами и определяется формулой:

1) Чтобы вычислить длины векторов и и скалярное произведение

, находим координаты векторов:

2)По формулам для длины вектора и скалярного произведения векторов имеем:

3) Вычисляем по формуле:

Задание 5. (5 баллов)

Вычислить объем тетраэдра АВСD и его высоту DH,если А(3; 2; 5);

В(4; -7;2); С(2;- 4; -6) и D(7;2;7)

Размещено на http://www.allbest.ru/

18

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение

Объем тетраэдра (с учетом знака), вершины которого находятся в точках А, В, С и D равен:

.

Вычислим объем тетраэдра АВСD:

Ответ: V=83

С другой, стороны объем тетраэдра равен . Откуда высота равна: . В основании лежит треугольник АВС, площадь которого определяется как модуль векторного произведения векторов и :

,

,

Векторное произведение векторов равно:

Тогда площадь основания

и высота тетраэдра

Задание 6. (4 балла)

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ и перпендикулярно вектору , если М₁ (6;8; 3), М₂ (4;-4;10), М₃ (9;0;6).

Решение:

Найдем координаты вектора нормали к плоскости

-уравнение плоскости,

где (А,В,С) -координаты вектора нормали

-координаты точки

5(x-6)+4(y-8)-4·(z-)=0

5x-30+4y-32-4z+12=0

5x+4y-4z-50=0 - уравнение плоскости

Задание 7. (3 балла)

Вычислить угол между плоскостями A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 и A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0, если А₁=6; В₁=8; С₁=3; D₁=4; А₂=-4; В₂=10; С₂=9; D₂=0.

Решение

Угол между двумя плоскостями определяется по формуле:

Таким образом, получаем

.

Тогда угол между плоскостями равен: .

ПРИМЕР:

Задание 1. (2 балла)

Вычислить сумму матриц kA+mB, если ,

k= -6 ; m= 3

Пример:

Вычислить сумму матриц kA+mB, если ,

k=2, m=-3

Решение:

Элементы матрицы суммы определяются по формуле:

c_ij=ka_ij+mb_ij.

Вычислим элементы первой строки матрицы суммы:

с₁₁=2?1+(-3) ?(-1)=5; с₁₂=2?2+(-3) ?6=-14; с₁₃=2?3+(-3) ?(-3)=15.

Аналогично вычисляем остальные элементы:

С₂₁=2?4+(-3) ?0=8; с₂₂=2?5+(-3) ?2=4; с₂₃=2?6+(-3) ?(-5)=27.

С₃₁=2?7+(-3) ?1=11; с₃₂=2?8+(-3) ?10=-14; с₃₃=2?9+(-3) ?7=-9.

Таким образом, матрица суммы примет вид:

Задание 8 (3 балла)

Вычислить определитель третьего порядка

Пример:

Вычислить определитель третьего порядка

Решение

Определителем третьего порядка матрицы

называется число, которое определяется следующим образом:

Для вычисления определителей третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников:

Размещено на http://www.allbest.ru/

18

Размещено на http://www.allbest.ru/

Используя правило треугольников, вычислим определитель:

Задание 9 (5 баллов)

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Пример:

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Решение

Составляем расширенную матрицу системы, в которую входят коэффициенты при переменных и свободные члены:

Чтобы исключить переменную из второго и третьего уравнений, умножим первую строку на (-2) и (-3) и полученные строки прибавим ко второй и третьей строке соответственно:

Чтобы исключить переменную из третьего уравнения, умножим вторую строку на (-1) и полученную строку прибавим к третьей строке:

Получили систему уравнений, равносильную исходной системе, в которой первое уравнение содержит три переменных, второе - две, а третье - одну переменную:

Отсюда последовательно находим:

Таким образом, решение системы:

.

Проверяем полученное решение, подставляя найденные значения в исходную систему:

Получили тождественные равенства, следовательно, система решена правильно.

Задание 10 (3 балла)

Найти косинус угла между векторами и :, если А (6; 8; -4), если В(4; 1; 10) и С(9; 3; 6).

Пример

Найти косинус угла между векторами и , если А (3; 2; 3), если В(5; 1; 1) и С(1;- 2; -1).

Решение

По координатам концов найдем эти векторы

,

Отсюда

Найдем скалярное произведение

Применяя теперь формулу, получим

Задание 5. (5 баллов)

Вычислить объем тетраэдра АВСD и его высоту DH,если А(3; 2; 5);

В(4; -7;2); С(2;- 4; -6) и D(7;2;7)

Пример

Вычислить объем тетраэдра АВСD и его высоту DH, если А(0;-3;1);

В(-4;1;2); С(2;-1;5) и D(3;1;-4)

Размещено на http://www.allbest.ru/

18

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение

Объем тетраэдра (с учетом знака), вершины которого находятся в точках А, В, С и D равен:

. Вычислим объем тетраэдра АВСD:

(определитель раскрыли по первой строке)

С другой, стороны объем тетраэдра равен . Откуда высота равна: . В основании лежит треугольник АВС, площадь которого определяется как модуль векторного произведения векторов и :

.

Векторное произведение векторов равно:

.

Тогда площадь основания

и высота тетраэдра .

Задание 11 (4 балла)

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ и перпендикулярно вектору , если М₁ (6;8; 3), М₂ (4;-4;10), М₃ (9;0;6).

Пример

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярно вектору , если М₁ (0;-1; 3), М₂ (6;4;3), М₃ (-1;0;2).

Решение:

Найдем координаты вектора нормали к плоскости

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , где А, В, С - координаты вектора нормали: . В нашем случае А=-7; В=-4; С=-1, тогда уравнение плоскости примет вид:

матрица угол уравнение

Задание 12 (3 балла)

Вычислить угол между плоскостями

A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 и A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0,

если А₁=6; В₁=8; С₁=3; D₁=4; А₂=-4; В₂=10; С₂=9; D₂=0.

Пример:

Вычислить угол между плоскостями A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 и A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0, если А₁=1; В₁=2; С₁=3; D₁=4; А₂=5; В₂=6; С₂=7; D₂=8.

Решение

Угол между двумя плоскостями определяется по формуле:

Таким образом, получаем

.

Тогда угол между плоскостями равен: .

Размещено на Allbest.ru