Корень n-й степени и его применение в математике

Научно-практическая работа

по математике

Например,

· Корень нечётной степени из отрицательного числа -- отрицательное число, однозначно определенное.

Например,

· Корень чётной степени из положительного числа имеет два значения с противоположными знаками, но равными по модулю.

Например,

· Корень чётной степени из отрицательного числа не существует в области вещественных чисел, поскольку при возведении любого вещественного числа в степень с чётным показателем результатом будет неотрицательное число. Ниже будет показано, как извлекать такие корни в более широкой системе -- множестве комплексных чисел (тогда значениями корня будут комплексных чисел).

· Корень любой натуральной степени из нуля -- нуль.

Корни чётной степени определены, вообще говоря, неоднозначно, и этот факт создаёт неудобства при их использовании. Поэтому было введено практически важное ограничение этого понятия^.

Арифметический корень -й степени из неотрицательного вещественного числа -- это такое неотрицательное число , что Обозначается арифметический корень тем же знаком радикала.

Таким образом, арифметический корень, в отличие от ранее определённого (алгебраического), определяется только для неотрицательных вещественных чисел, а его значение всегда существует, однозначно и неотрицательно. Например, квадратный корень из числа имеет два значения: и , из них арифметическим является первое.

Поскольку арифметический корень и алгебраический обозначаются одним и тем же символом, но являются разными объектами, в рамках данной статьи арифметический корень обозначается синим цветом, а алгебраический -- чёрным.

Приведённые ниже формулы верны, прежде всего, для арифметических корней любой степени, что подчёркивается выделением знака радикала синим цветом (кроме особо оговоренных случаев). Они справедливы также для корней нечётной степени, у которых допускаются и отрицательные подкоренные выражения.

· Взаимопогашение корня и степени -- для нечётного : , для чётного :

· Если , то и

Корень из произведения равен произведению корней из сомножителей:

Аналогично для деления:

Следующее равенство есть определение возведения в дробную степень:

Величина корня не изменится, если его показатель и степень подкоренного выражения разделить на их общий множитель:

Пример:

Для корней нечётной степени укажем дополнительное свойство:

Операция возведения в степень первоначально была введена как сокращённая запись операции умножения натуральных чисел: ( раз). Следующим шагом было определение возведения в произвольную целую, в том числе отрицательную, степень:

Операция извлечения арифметического корня позволяет определить возведение положительного числа в любую рациональную (дробную) степень:

При этом числитель дроби может иметь знак. Свойства расширенной операции в основном аналогичны возведению в целую степень.

Это определение означает, что извлечение корня и обратное к нему возведение в степень фактически объединяются в одну алгебраическую операцию. В частности:

Попытки возведения в рациональную степень отрицательных чисел могут привести к ошибкам, поскольку значение алгебраического корня неоднозначно, а область значений арифметического корня ограничена неотрицательными числами. Пример возможной ошибки:

Графики функций корня

Функции корня и обратные к ним степенные функции на интервале [0;1]

Функции корня: -- арифметический, чётные степени 2, 4, 6 -- общий, нечётные степени 3, 5, 7

Если рассматривать подкоренное выражение как переменную, мы получим функцию корня -й степени: . Функция корня относится к категории алгебраических функций. График любой функции корня проходит через начало координат и точку .

Как сказано выше, для корня чётной степени, чтобы обеспечить однозначность функции, корень должен быть арифметическим, так что аргумент неотрицателен. Функция корня нечётной степени однозначна и существует для любого вещественного значения аргумента.

корень математика арифметический степень

Первые задачи, связанные с извлечением квадратного корня, обнаружены в трудах вавилонских математиков (о достижениях древнего Египта в этом отношении ничего не известно). Среди таких задач:

* Применение теоремы Пифагора для нахождения стороны прямоугольного треугольника по известным двум другим сторонам.

* Нахождение стороны квадрата, площадь которого задана.

* Решение квадратных уравнений.

Вавилонские математики (II тысячелетие до н.э.) разработали для извлечения квадратного корня особый численный метод. Начальное приближение для рассчитывалось исходя из ближайшего к корню (в меньшую сторону) натурального числа . Представив подкоренное выражение в виде: , получаем: , затем применялся итеративный процесс уточнения, соответствующий методу Ньютона:

Итерации в этом методе очень быстро сходятся. Для , например, и мы получаем последовательность приближений:

В заключительном значении верны все цифры, кроме последней.

Аналогичные задачи и методы встречаются в древнекитайской «Математике в девяти книгах». Древние греки сделали важное открытие: -- иррациональное число. Детальное исследование, выполненное Теэтетом Афинским (IV век до н. э.), показало, что если корень из натурального числа не извлекается нацело, то его значение иррационально.

Греки сформулировали проблему удвоения куба, которая сводилась к построению кубического корня с помощью циркуля и линейки. Проблема оказалась неразрешимой. Численные алгоритмы извлечения кубического корня опубликовали Герон (в трактате «Метрика», I век н. э.) и индийский математик Ариабхата I (V век).

Алгоритмы извлечения корней любой степени из целого числа, разработанные индийскими и исламскими математиками, были усовершенствованы в средневековой Европе. Николай Орем (XIV век) впервые истолковал корень -й степени как возведение в степень .

После появления формулы Кардано (XVI век) началось применение в математике мнимых чисел, понимаемых как квадратные корни из отрицательных чисел. Основы техники работы с комплексными числами разработал в XVI веке Рафаэль Бомбелли, который также предложил оригинальный метод вычисления корней (с помощью цепных дробей). Открытие формулы Муавра (1707) показало, что извлечение корня любой степени из комплексного числа всегда возможно и не приводит к новому типу чисел.

Комплексные корни произвольной степени в начале XIX века глубоко исследовал Гаусс, хотя первые результаты принадлежат Эйлеру. Чрезвычайно важным открытием (Галуа) стало доказательство того факта, что не все алгебраические числа (корни многочленов) могут быть получены из натуральных с помощью четырёх действий арифметики и извлечения корня.

Термин корень имеет долгую и сложную историю. Извлечение квадратного корня древние греки понимали строго геометрически: как нахождение стороны квадрата по известной его площади. После перевода на санскрит греческое слово «сторона» превратилась в «мула» (основание). Слово «мула» имело также значение «корень», поэтому при переводе индийских сиддхант на арабский использовался термин «джизр» (корень растения). Впоследствии аналогичное по смыслу слово «radix» закрепилось в латинских переводах с арабского, а через них и в русской математической терминологии («корень», «радикал»).

Средневековые математики (например, Кардано) обозначали квадратный корень символом Rx, сокращение от слова «radix». Современное обозначение впервые употребил немецкий математик Кристоф Рудольф, из школы коссистов (то есть алгебраистов), в 1525 году. Происходит этот символ от стилизованной первой буквы того же слова «radix». Черта над подкоренным выражением вначале отсутствовала; её позже ввёл Декарт (1637) для иной цели (вместо скобок), и эта черта вскоре слилась со знаком корня. Показатель степени появился в знаке корня благодаря Валлису и «Универсальной арифметике» Ньютона (XVIII век).

Размещено на Allbest.ru