Інтерполяційні послідовності деяких класів функцій, аналітичних у півплощині

Размещено на http://www.allbest.ru/

Львівський державний університет імені Івана Франка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

01.01.01 - математичний аналіз

ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІ ПОСЛІДОВНОСТІ ДЕЯКИХ КЛАСІВ ФУНКЦІЙ,

АНАЛІТИЧНИХ У ПІВПЛОЩИНІ

Шаран Володимир Лук'янович

Львів -1999

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнiсть теми. Одне iз центральних мiсць в теорiї аналiтичних функцiй займає дослiдження взаємозв'язку мiж розподiлом нулiв функцiї i її поведiнкою. У цю тематику включається проблема опису послiдовностей нулiв функцiй iз певних класiв. Суть цiєї проблеми полягає в наступному: якi умови повинна задовольняти послiдовнiсть комплексних чисел , щоб iснувала аналiтична в заданiй областi функцiя iз заданого класу, яка має нулi в усiх точках . Актуальнiсть цiєї проблематики, поряд з тим, що вона продиктована внутрiшньою логiкою теорiї аналiтичних функцiй, природнiм чином iнiцiюється питаннями, пов'язаними з повнотою систем аналiтичних функцiй, iнтерполяцiєю, аналiтичним продовженням, рiвняннями типу згортки i т. д. Тому їй присвяченi багаточисельнi дослiдження i, зокрема, вiдомi працi Ф.Карлсона, Т.Карлемана, Р.Неванлiнни, В.Фукса, Ж.-П.Кахана, А.Бьорлінга, Л.Рубеля, Б.Тейлора, П.Мальявена, Н.В.Говорова, М.М.Джрбашяна, А.П.Гришина, М.Л.Содiна, Б.Н.Хабiбуллiна, А.А.Кондратюка, Б.В.Винницького та iнших. Проте деякі проблеми залишались відкритими. Зокрема, не розв'язаною повністю залишалася наступна задача, розглянута Ж.-П.Каханом: при яких умовах послідовність комплексних чисел буде послідовністю нулів деякої аналітичної у правій півплощині ⁺ функції , яка задовольняє умову

₊,

де - функція обмеженої варіації на , - додатна стала. В деяких частинних випадках її розв'язали Ж.-П.Кахан і Б.В.Винницький. Описана вище задача стосується опису послідовностей внутрішніх нулів (нулів, які лежать у півплощині ). Проблема опису сингулярних граничних функцій (сингулярна гранична функція аналітичної і обмеженої в кожному півкрузі , , функції - це незростаюча на функція, похідна якої дорівнює нулеві майже скрізь, що визначається з точністю до адитивної сталої і значень в точках неперервності рівністю

де - кутові граничні значення функції на уявній осі), які характеризують в деякій мірі граничнi нулi функцій із згаданого вище класу, залишалася також вiдкритою. Аналогiчнi задачi залишалися вiдкритими в класi функцiй, аналiтичних у пiвплощинi, заданого формального типу при уточненому порядку, рiвному одиницi. При цьому, число називаємо формальним типом аналітичної в ⁺ функції при уточненому порядку , якщо

₊):.

Задача про опис послiдовностей нулiв є частинним випадком бiльш загальної задачi - iнтерполяцiйної, що полягає у вiдшуканнi функцiї iз заданого класу, яка приймає в заданих точках (вузлах iнтерполяцiї) заданi значення . Теорiя iнтерполяцiї аналiтичними функцiями, народження якої пов'язане з iменами Ньютона i Лагранжа, є важливою галуззю сучасної математичної науки. Зацiкавленiсть цiєю тематикою обумовлена широкою сферою її застосувань при дослiдженнi умов повноти систем аналiтичних функцiй, базисiв у функцiональних просторах, при розв'язуваннi диференцiальних рiвнянь, рiвнянь типу згортки, краєвих задач, в задачах оптимального управління та iнших галузях математики.

В рiзних пiдкласах простору всiх цiлих функцiй інтерполяцiйна задача дослiджувалася багатьма авторами. Вiдмiтимо роботи А.Ф.Леонтьєва, О.С.Фiрсакової, Б.Я.Лєвiна, Г.П.Лапiна, А.В.Братiщева, Ю.Ф.Коробейнiка, А.П.Гришина, К.Г.Малютiна, А.М.Руссаковського, К.А.Беренстейна, Б.А.Тейлора та iнших авторiв. В цих роботах розв'язок iнтерполяцiйної задачi шукається у класах функцiй не надто швидкого росту. В класi цiлих функцiй як завгодно швидкого зростання iнтерполяцiйну задачу розглядала Т.I.Абанiна. Iнтерполяцiйнi задачi в класах аналiтичних в одиничному крузi i в пiвплощинi функцiй, напевно, вперше розглядалися в роботах Г.Пiка i Р.Неванлiнни, якi незалежно один вiд одного в рiзнiй формi знайшли критерiй розв'язностi iнтерполяцiйної задачi в класi функцiй, аналiтичних у вiдкритому одиничному крузi, якi вiдображають його на праву пiвплощину.

Великий вплив на дослiдження по iнтерполяцiї мала вiдома теорема Л.Карлесона про опис iнтерполяцiйних послiдовностей класу функцiй, аналiтичних i обмежених в одиничному крузi (правiй пiвплощинi). Важливi результати по iнтерполяцiї в просторах Хардi отримали вiрменськi математики М.М.Джрбашян, Г.М.Айрапетян, В.М.Мартiросян. Дослiдженню iнтерполяцiйної задачi в рiзних класах аналiтичних у пiвплощинi функцiй, якi зростають не надто швидко, присвяченi роботи Б.Я.Лєвiна, Н.Т.Уєна, К.Г.Малютiна, А.М.Руссаковського, Г.Д.Трошина. Б.Я.Лєвiн i Н.Т.Уєн розглянули iнтерполяцiйну задачу в класi функцій, аналiтичних у пiвплощинi ⁺, порядку меншого або рiвного . Цi дослiдження були продовженi Н.Т.Уєном в класi функцiй, аналiтичних в пiвплощинi ⁺, порядку меншого або рiвного , i типу не вищого нiж нормальний. Випадок був розглянутий ранiше Г.Д.Трошиним. Повнiстю iнтерполяцiйна задача у зазначених вище класах розв'язана К.Г.Малютiним.

Проте iнтерполяцiйна задача в класi функцiй, аналiтичних у пiвплощинi, який визначається швидко зростаючою мажорантою, залишалася поза увагою.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Напрямок дослiджень, вибраний у дисертацiї, передбачений планами наукової роботи Дрогобицького державного педагогiчного унiверситету iменi Iвана Франка.

Мета i задачi дослiдження. Метою дисертацiї є:

- описати послiдовностi нулiв i сингулярнi граничнi функцiї класу функцiй, аналiтичних у пiвплощинi, який визначається мажорантою, породженою функцiєю обмеженої варiацiї;

- описати послiдовностi нулiв i сингулярнi граничнi функцiї класу функцiй, аналiтичних у пiвплощинi, заданого формального типу при уточненому порядку, рiвному одиницi;

- отримати критерiй розв'язностi iнтерполяцiйної задачi в класi функцiй, аналiтичних у пiвплощинi, який визначається швидко зростаючою мажорантою.

Методи дослідження. У дисертаційній роботі використовуються методи сучасної теорії аналітичних функцій та деякі прийоми з робіт Т.І.Абаніної, К.Г.Малютіна, А.П.Гришина, Б.В.Винницького.

Наукова новизна одержаних результатiв. Усi одержанi науковi результати є новими. У роботi вперше:

- отримано повний опис послiдовностей нулiв i сингулярних граничних функцiй класу функцiй, аналiтичних у пiвплощинi, який визначається мажорантою, породженою функцiєю обмеженої варiацiї, i, зокрема, повнiстю розв'язано вказану вище задачу Ж.-П.Кахана;

- отримано повний опис послiдовностей нулiв i сингулярних граничних функцiй класу функцiй, аналiтичних у пiвплощинi, заданого формального типу при уточненому порядку, рiвному одиницi;

- отримано критерiй розв'язностi iнтерполяцiйної задачi в класi функцiй, аналiтичних у пiвплощинi, який визначається швидко зростаючою мажорантою.

Практичне значення одержаних результатiв. Результати дисертацiйної роботи мають теоретичний характер. Вони можуть знайти застосування в наступних дослiдженнях з теорiї iнтерполяцiї, при дослiдженнi умов повноти систем аналiтичних функцiй, при розв'язуваннi рiвнянь типу згортки, для факторизацiї рiзних вагових класiв аналiтичних функцiй.

Особистий внесок здобувача. Викладенi в роботi результати отримано автором самостiйно. Щодо розглянутих в дисертацiї задач, якi розв'язанi в працях, спiльних з науковим керiвником, Б.В.Винницькому належить постановка їх i загальне керiвництво роботою.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Основнi результати дисертацiї доповiдались та обговорювались на Мiжнароднiй математичнiй конференцiї, присвяченiй пам'ятi Ганса Гана (Чернiвцi, 1994 р.), на VII-iй Мiжнароднiй науковiй конференцiї iменi академiка М. Кравчука (Київ, 1998 р.), на Мiжнароднiй науковiй конференцiї "Сучаснi проблеми математики" (Чернiвцi, 1998 р.), на семiнарi з теорiї аналiтичних функцiй у Дрогобичi (керiвник докт. фіз.-мат. наук Б.В.Винницький), на семiнарi з теорiї аналiтичних функцiй у Львовi (керiвники проф. А.А.Кондратюк, проф. О.Б.Скаскiв), на семінарі з теорії аналітичних функцій у Харкові (керівник проф. А.П.Гришин), на регiональному семiнарi з математичного аналiзу (керiвник проф. М.М.Шеремета).

Публiкацiї. Основнi результати дисертацiї опублiковано в 6 роботах (4 без співавторів), з яких 4 журнальні статті (3 без співавторів) у виданнях із переліків, затверджених ВАК України, в яких слід публікувати матеріали дисертацій, та 2 у матеріалах міжнародних наукових математичних конференцій.

Основні положення дисертації, що виносяться на захист:

- повний опис послiдовностей нулiв i сингулярних граничних функцiй класу функцiй, аналiтичних у пiвплощинi, який визначається мажорантою, породженою функцiєю обмеженої варiацiї;

- повний опис послiдовностей нулiв i сингулярних граничних функцiй класу функцiй, аналiтичних у пiвплощинi, заданого формального типу при уточненому порядку, рiвному одиницi;

- критерiй розв'язностi iнтерполяцiйної задачi в класi функцiй, аналiтичних у пiвплощинi, який визначається швидко зростаючою мажорантою.

Структура і об'єм роботи. Дисертація складається із переліку умовних позначень, вступу, чотирьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків і списку використаних джерел. Обсяг дисертації 127 сторінок. Список використаних джерел займає 9 сторінок і включає 88 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовується актуальність теми, дається короткий огляд результатів, що мають безпосереднє відношення до теми роботи, та загальна характеристика дисертації.

У першому розділі наведено огляд праць, що стосуються опису послідовностей нулів та інтерполяційних послідовностей, а також формулюються основні результати дисертації.

Роздiл 2 присвячений опису послiдовностей нулiв i сингулярних граничних функцiй класу функцiй, аналiтичних у пiвплощинi, який визначається мажорантою, породженою функцiєю обмеженої варiацiї, i, зокрема, повнiстю розв'язано вказану вище задачу, розглянуту ще у 1952 році Ж.-П.Каханом.

Нехай - послiдовнiсть комплексних чисел, якi лежать у пiвплощинi ₊, - задане число, : - функція обмеженої варіації на , тобто функція має обмежену варіацію на кожному відрізку і ці варіації обмежені сталою, незалежною від .

У пiдроздiлi 2.1 доведено наступне твердження про опис послiдовностей нулiв.

Теорема 2.3. Нехай - функцiя обмеженої варiацiї на . Для того щоб послiдовнiсть була послiдовнiстю нулiв деякої аналiтичної в ₊ функцiї , яка задовольняє умову

₊): (1)

необхiдно i досить, щоб виконувались умови

(2)

(3)

,

.

Вiдмiтимо, що:

а) якщо , то iз теореми 2.3 отримуємо добре вiдоме твердження про опис послiдовностей нулiв аналiтичних i обмежених в ₊ функцiй;

б) якщо , то iз теореми 2.3 отримуємо твердження, доведене Б.В.Винницьким;

в) якщо i при (тодi умова (2) зайва), то iз теореми 2.3 отримуємо твердження, доведене Ж.-П.Каханом.

Зауважимо, що у випадку умова (3) містить, крім обмеження на послідовність , і обмеження на функцію . Принаймні одна послідовність , що задовольняє умову (3), існує тоді і тільки тоді, коли

Аналогічне слід мати на увазі і при аналізі умови (4).

Пiдроздiл 2.2 присвячений доведенню твердження про опис сигулярних граничних функцiй.

Теорема 2.4. Нехай - функцiя обмеженої варiацiї на . Для того щоб незростаюча на функцiя , похiдна якої майже скрiзь дорiвнює нулевi, була сингулярною граничною функцiєю деякої аналiтичної в ₊ функцiї , яка задовольняє умову (1), необхiдно i досить, щоб виконувалась умова

(4)

Вiдмiтимо, що теорема 2.4 є новою i у випадку , а у випадку iз теореми 2.4 отримуємо добре вiдоме твердження про опис сингулярних граничних функцiй аналiтичних i обмежених в ₊ функцій.

При доведеннi основних результатiв цього роздiлу нами встановлено ряд допомiжних тверджень, якi, можливо, мають i самостiйне значення.

Теорема 2.2. Нехай функцiя є вимiрною i обмеженою на . Тодi, для того щоб добуток

,

абсолютно i рiвномiрно збiгався на кожному компактi iз ₊ i для деякого виконувалось

₊,

необхiдно i досить, щоб виконувалась умова (3).

Теорема 2.5. Нехай - незростаюча на функція, похідна якої майже скрізь дорівнює нулеві, а функція : є вимірною та обмеженою на Тодi для того щоб функція

була аналітичною в ₊ і при деякому задовольняла умову

₊,

необхідно і досить, щоб виконувалась умова (4).

У роздiлi 3 отримано повний опис послiдовностей нулiв i сингулярних граничних функцiй класу функцiй, аналiтичних у пiвплощинi, заданого формального типу при уточненому порядку, рiвному одиницi.

Нехай - послiдовнiсть комплексних чисел, якi лежать у пiвплощинi ₊, - задане число, і додатна неперервно диференцiйовна на функцiя задовольняє умову

, (5)

Пiдроздiл 3.1 присвячений доведенню наступного твердження, яке у випадку доведено Б.В.Винницьким.

Теорема 3.2. Нехай додатна неперервно диференцiйовна на функцiя задовольняє умову (5). Тоді, для того щоб послiдовнiсть була послiдовнiстю нулiв деякої аналiтичної в ₊ функцiї , яка задовольняє умову

₊):, (6)

необхiдно i досить, щоб виконувалась умова (2) і

.

Пiдроздiл 3.2 присвячений доведенню твердження про опис сингулярних граничних функцiй.

Теорема 3.3. Нехай додатна неперервно диференцiйовна на функцiя задовольняє умову (5). Тоді, для того щоб незростаюча на функцiя , похiдна якої майже скрiзь дорiвнює нулевi, була сингулярною граничною функцiєю деякої аналiтичної в ₊ функцiї , яка задовольняє умову (6), необхiдно i досить, щоб виконувалась умова

.

Використовуючи методи, розвинуті при доведеннi теорем 3.1 та 3.3, отримуємо наступне твердження про факторизацiю класу функцiй, аналiтичних у правiй пiвплощинi, скінченного формального типу при уточненому порядку, рiвному одиницi.

Теорема 3.4. Нехай послiдовнiсть комплексних чисел iз ₊, незростаюча на функцiя , похiдна якої майже скрiзь дорiвнює нулевi, i вимірна функцiя задовольняють умови

(7)

для м. в. , (8)

, (9)

,

Тодi функція

(10)

де - дiйснi сталi, є аналiтичною в ₊ i задовольняє умову

₊₎: (11)

Навпаки, якщо аналiтична в пiвплощинi ₊ функцiя задовольняє умову (11), то вона подається у виглядi (10), де - послідовність нулів функції ,- кутовi граничнi значення функцiї на уявнiй осi, - сингулятна гранична функція функції , i виконуються умови (7) - (9).

Зауваження. У випадку, коли при теорема 3.4 дає необхідні і достатні умови для того, щоб аналітична в ₊ функція виду (10) мала скінченний формальний тип при уточненому порядку Цю теорему можна розглядати як деякий аналог теореми Ліндельофа, і вона в певній мірі перетинається з результатами А.П.Гришина, який розглядав подібну проблему в дещо іншій постановці, і вказав деякі необхідні і деякі достатні умови для того, щоб аналітична в ₊ функція мала скінченний формальний тип при уточненому порядку, рівному одиниці, і, зокрема, фактично вказав на необхідність умови (9). В цій теоремі істотною є перша частина, а друга, по суті, випливає із результатів М.В.Говорова та А.П.Гришина.

У роздiлi 4 отримано критерiй розв'язностi iнтерполяцiйної задачi в класi аналiтичних у пiвплощинi функцiй, який визначається швидко зростаючою мажорантою, а також отримано повний опис послiдовностей нулiв функцiй iз цього класу.

Нехай - послiдовнiсть комплексних чисел, якi лежать у пiвплощинi ₊, - клас аналiтичних в ₊ функцiй , якi задовольняють умову

₊):

де- додатна неперервно диференцiйовна зростаюча на функцiя, для якої при і

(12)

Пiдроздiл 4.1 присвячений доведенню твердження про опис послiдовностей нулiв функцiй iз класу .

Теорема 4.1. Для того щоб послідовність () була послідовністю нулів деякої функцiї із класу , необхiдно i досить, щоб виконувалась умова (2) і

(13)

Пiдроздiл 4.2 присвячений отриманню критерiю розв'язностi iнтерполяцiйної задачi в класi . Основною теоремою цього пiдроздiлу є наступна

Теорема 4.3. Для того щоб для кожної послiдовностi комплексних чисел , яка задовольняє умову

):

iснувала функцiя iз класу така, що

необхiдно i досить, щоб виконувались умови (2), (13) i

Результати, подібні до теорем 4.1 та 4.3, для цілих функцій отримала Т.І.Абаніна.

Зауважимо також, що із (12) випливає справедливість наступної умови

ВИСНОВКИ

мажорант півплощина інтерполяційний сингулярний

У дисертаційній роботі одержано повний розв'язок ряду актуальних задач теорії аналітичних функцій, і, зокрема, вперше:

отримано повний опис послiдовностей нулiв i сингулярних граничних функцiй класу функцiй, аналiтичних у пiвплощинi, який визначається мажорантою, породженою функцiєю обмеженої варiацiї, i, зокрема, повнiстю розв'язано розглянуту ще у 1952 році Ж.-П.Каханом задачу;

отримано повний опис послiдовностей нулiв i сингулярних граничних функцiй класу функцiй, аналiтичних у пiвплощинi, заданого формального типу при уточненому порядку, рiвному одиницi;

отримано критерiй розв'язностi iнтерполяцiйної задачi в класі функцiй, аналiтичних у пiвплощинi, який визначається швидко зростаючою мажорантою.

Крім цього, в ході доведення вказаних результатів отримано нові тонкі оцінки для деяких добутків та інтегралів, побудовано аналітичні у півплощині функції із заданими властивостями. Ці результати мають і самостійний інтерес та можливо знайдуть інші застосування.

Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Вони можуть знайти застосування в наступних дослідженнях з теорії інтерполяції, при дослідженні базисів, умов повноти систем аналiтичних функцiй, при розв'язуванні рiвнянь типу згортки, для факторизації різних вагових класів аналiтичних функцій.

Основні результати мають форму критеріїв. При їх отриманні використовуються методи сучасної теорії аналітичних функцій.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

Винницький Б.В., Шаран В.Л. Про описання послідовностей нулів одного класу функцій, аналітичних у півплощині // Укр. мат. журн. -1998. -50. 9. -С.1169-1176.

Шаран В.Л. Про інтерполяційні послідовності одного класу функцій, аналітичних у півплощині, який визначається швидко зростаючою мажорантою // Матем. студії -1998. -10. 2. -С.133-146.

Шаран В.Л. Про інтерполяційні послідовності одного класу функцій, аналітичних у півплощині // Мат. методи та фіз.-мех. поля. -1998. -41. №4. -С. 64-66.

Шаран В.Л. Про сингулярні граничні функції деяких класів функцій, аналітичних в півплощині // Сучасні проблеми математики. Матеріали Міжнародної наукової конференції. Частина 3.- Київ: Ін-т математики НАН України. -1998. -С. 208-210.

Винницький Б.В., Шаран В.Л. Про нулі одного класу функцій, аналітичних в півплощині // Тези міжн. матем. конф., присв. пам'яті Ганса Гана. - м. Чернівці. -1994.-С.166.

Шаран В.Л. Про інтерполяційні послідовності одного класу функцій, аналітичних в півплощині // Матеріали VII міжн. наук. конф. ім. акад. М.Кравчука. - м. Київ. -1998.-С.529.

Размещено на Allbest.ru