Симплектичний аналіз інтегральних многовидів цілком інтегровних гамільтонових систем та їх адіабатичних збурень

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут математики

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Симплектичний аналіз інтегральних многовидів цілком інтегровних гамільтонових систем та їх адіабатичних збурень

Прикарпатський Ярема Анатолійович

01.01.02 - диференціальні рівняння

УДК 517.9

Киів - 1999

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у відділі звичайних диференціальних рівнянь Інституту математики Національної академії наук України.

Науковий керівник: академік НАН України

доктор фіз.-мат. наук, професор

САМОЙЛЕНКО Анатолій Михайлович,

інститут математики НАН України, директор.

Офіційні опоненти:

доктор фіз.-мат. наук,

член-кореспондент НАН України

ПЕРЕСТЮК Микола Олексійович

Київський університет імені Тараса Шевченка,

декан механіко--математичного факультету;

доктор фізико-математичних наук, професор

ПЕТРИШИН Роман Іванович

Чернівецький державний університет імені Юрія Федьковича

Завідуючий кафедрою прикладної математики та механіки.

Провідна установа: Одеський державний університет імені І.І. Мечникова,

кафедра оптимального управління та економічної кібернетики.

Захист відбудеться “15” червня 1998 р. о годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д.26.206.02 при Інституті математики НАН України за адресою:

252601 Київ 4, МСП, вул. Терещенківська 3.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розіслано “ 12 ” травня 1999 р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради

доктор фіз.-мат. наук

Г.П. Пелюх.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В теорії динамічних систем на диференційованих многовидах гамільтонові системи, як відомо, виділяються своєю спеціальною структурою. Суть її в тому, що многовид, на якому задана гамільтонова система, є симплектичним, зокрема парно-вимірним, і її відповідне векторне поле породжується деякою однозначною функцією, яка називається функцією Гамільтона. Наявність такої додаткової структури, як було показано ще в працях класиків Ліувілля, Пуассона, Лагранжа, Якобі, Гамільтона та інших, призводить до широких можливостей їх дослідження, використовуючи такі математичні теорії як теорія груп і алгебр Лі, диференціальну та алгебраїчну геометрію і топологію, а в останні роки - і методи функціонального аналізу і теорію операторів. Так як основними питаннями в теорії динамічних систем є їх інтегровність та глобальні властивості (зокрема якісні) орбіт, стосовно інтегровності гамільтонових систем був встановлений досить ефективний критерій повної інтегровності в квадратурах Ліувілля, що сприяв розвитку ефективних методів інтегрування гамільтонових систем. Особливо ефектно серед них виділяється метод Гамільтона-Якобі канонічних перетворень, суттєво розвинутий в працях Пуанкаре і Картана, а в останні десятиліття - В. Арнольдом і В. Козловим. У випадку цілком інтегровної гамільтонової системи на симплектичному многовиді структура її орбіт ефективно описується відомою теоремою Ліувілля-Арнольда. Вона, зокрема, стверджує, що всі орбіти в загальному положенні зосереджені на інваріантному підмноговиді (так званому лагранжевому підмноговиді), який при умові його компактності дифеоморфний торові половинної розмірності базового симплектичного многовиду, причому еволюція на цьому торі є його лінійною квазіперіодичною обмоткою. Отже, весь фазовий простір, тобто вихідний симплектичний многовид, є розшарований тороїдально-циліндричними областями, границями яких є так звані сепаратрисні многовиди, що пов'язують між собою особливі точки гіперболічного типу. Так як в багатьох практичних застосуваннях зустрічаються не чисто цілком інтегровні гамільтонові системи, а їх певні малі збурення, причому неавтономні (залежні від часу), то давно виникла проблема розробки методів їх дослідження, які б давали як аналітичну, так і якісну картину деформацій відповідних незбурених інваріантних інтегральних многовидів, зокрема існування інваріантних деформацій відповідних тороїдальних многовидів. Для випадку слабких адитивних збурень функціє Гамільтона за останні десятиліття була розвинута досить повна теорія деформацій тороїдальних многовидів гамільтонових систем в працях М. Боголюбова, Ю. Митропольського, А. Самойленка, А. Колмогорова, В. Арнольда та Ю. Мозера. Особливості орбіт таких систем в околі особливих точок, зокрема, їх хаотичний характер, були досліджені в працях А. Пуанкаре, Дж. Біркгофа, а в останні десятиліття в працях С. Смейла (якісна теорія), та В. Мельнікова (аналітичні критерії явища розщеплення сепаратрисних многовидів, передбаченого Пуанкаре). Якщо ж цілком інтегровна динамічна система Гамільтона піддана тільки повільному збуренню (відносно малого параметра), що має ще назву "адіабатичне збурення", то для канонічно заданої системи в змінних "дія-кут" існування інваріантної деформації тороїдального многовиду встановлено лише для одночастотного руху і для часткових випадків систем - для двочастотного. З цією проблемою тісно пов'язана так звана задача про існування адіабатичних інваріантів, які знаходять широке застосування в багатьох технічних дослідженнях. Ще більше ускладнюється задача для цілком інтегровних гамільтонових систем, заданих не канонічно, а в вихідних фазових змінних симплектичного многовиду. Тоді виникає додаткова нетривіальна задача аналітичного опису відображення вкладення інваріантного тороїдального підмноговиду в базовий симплектичний многовид, на якому задана гамільтонова система. Для спеціального, але досить широкого, класу алгебраїчно-поліноміальних гамільтонових систем ця проблема може бути розв'язана аналітично, що дає можливість застосувати значно ефективніше властивості методу канонічних перетворень Пуанкаре-Картана до відповідної повільно-збуреної системи в змінних "дія-кут" в рамках методу усереднення М. Боголюбова та КАМ-теорії. Аналіз цієї задачі для кількох конкретних гамільтонових систем типу Хенон-Хейлеса та Фоккера-Планка показав, що адіабатичні інваріанти для повільно-збурених двочастотних тороїдальних многовидів теж можуть існувати при додаткових умовах на характер збурення. Так, згідно з Пуанкаре, існує можливість аналітичного опису лагранжевих слабкозбурених гамільтонових систем. А. Пуанкаре було встановлено критерій розщеплення сепаратрисних многовидів в околі особливих точок, пов'язаних гетероклінічно. В. Мельніков запропонував аналітичний критерій, що описує трансверсальне розщеплення сепаратрисних многовидів для таких систем. Для випадку повільно збурених гамільтонових систем метод Мельнікова безпосередньо не адаптується, хоча були деякі спроби сконструювати аналог так званої характеристичної функції Мельнікова, яка дає певний критерій трансверсального розщеплення сепаратрисних многовидів, достатність якого вимагає додаткового аналізу. Враховуючи результат Пуанкаре, виникла задача узагальнення підходу Пуанкаре до побудови відповідного критерію трансверсального розщеплення сепаратрисних многовидів та встановлення його еквівалентності критерію Мельнікова. Базуючись на встановленій еквівалентності, вдалось сформулювати відповідний критерій Пуанкаре-Мельнікова трансверсального розщеплення сепаратрисних многовидів в околі особливих точок для адіабатично збурених гамільтонових систем. Як відомо з результатів досліджень цілком інтегровних гамільтонових систем на гладких функціональних многовидах, вони допускають в багатьох випадках скінченно-вимірні інваріантні симплектичні підмноговиди, редукція на які є еквівалентною певним цілком інтегровним гамільтоновим системам. Зокрема, такою властивістю володіють так звані цілком інтегровні за Лаксом гамільтонові системи на функціональних многовидах. Ґрунтуючись на диференціально-геометричній теоріЇ Картана, існування так званих геометричних об'єктів, транзитивно-інваріантних відносно дії певної групи Лі, постала задача опису певного класу інтегровних за Лаксом динамічних систем як певних геометричних об'єктів в сенсі Картана, реалізованих за допомогою інтегрального підмноговиду деякого цілком інтегровного ідеалу в алгебрі Грассмана диференціальних форм на асоційованому з динамічною системою джет-многовиді. Розв'язок цієЇ задачі дав можливість будувати ефективно так звані рівняння паралельного перенесення для асоційованої зв'язності на відповідному головному розшаруванні та інтерпретувати останні як представлення типу Лакса для вихідної динамічної системи на джет-многовиді. В застосуванні цих результатів до динамічної системи Бюргерса встановлено її нове нестандартне матричне представлення типу Лакса, яке дало можливість побудувати нескінченну ієрархію її скінченно-вимірних редукцій на спеціальні нелокальні скінченно-вимірні інваріантні підмноговиди та довести їх повну інтегровність за Ліувіллем. Для багатьох таких динамічних систем була встановлена інтегровність за Лаксом, базуючись на методі побудови так званого еквіваріантного відображення моменту на матричних многовидах. Побудова цього відображення для редукованих потоків динамічної системи Бюргерса та гамільтонових потоків на многовидах Грассмана теж становить важливу задачу теорії гамільтонових динамічних систем на многовидах нетривіальної топологічної структури.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилась згідно з загальним планом досліджень відділу звичайних диференціальних рівнянь Інституту математики НАН України.

Мета і задачі дослідження. Метою даної роботи є розробка ефективного аналітичного методу побудови відображення вкладення інваріантних тороїдальних многовидів для цілком інтегровних алгебраїчно-поліноміальних гамільтонових систем, аналіз існування адіабатичних інваріантів для таких гамільтонових систем та їх побудова, узагальнення підходу Пуанкаре дослідження деформацій лагранжевих многовидів слабкозбурених гамільтонових систем в околі особливих точок та встановлення критерію трансверсального розщеплення сепаратрисних многовидів, еквівалентному критерію Мельнікова, узагальнення диференціально-геометричної теорії Картана дослідження геометричних об'єктів, транзитивно-інваріантних відносно діє груп Лі у випадку груп Лі, заданих неявно за допомогою замкнутих ідеалів в алгебрі Грассмана диференціальних форм на підмноговиді деякого джет-многовиду.

Наукова новизна одержаних результатів. Основними результатами, які визначають наукову новизну та виносяться на захист, є такі:

Розроблено ефективний аналітичний метод побудови відображення вкладення інваріантних многовидів для цілком інтегровних алгебраїчно-поліноміальних систем, проведено дослідження існування адіабатичних інваріантів для адіабатично-збурених гамільтонових систем.

Узагальнено підхід Пуанкаре дослідження деформацій лагранжевих многовидів слабко-збурених гамільтонових систем в околі особливих точок та встановлено критерій трансверсального розщеплення сепаратрисних многовидів.

Узагальнено диференціально-геометричний підхід Картана дослідження геометричних об'єктів, транзитивно-інваріантних відносно дії груп Лі у випадку груп Лі, заданих неявно за допомогою замкнутих ідеалів в алгебрі Грассмана диференціальних форм на підмноговиді деякого джет-многовиду.

Побудовано рівняння паралельного перенесення зв'язності на асоційованому розшаруванні до джет-многовиду для динамічної системи Бюргерса та проведено його інтерпретацію як матричного зображення типу Лакса, а також досліджено ієрархію скінченно-вимірних редукцій динамічної системи Бюргерса і встановлено їх гамільтоновість та повну інтегровність.

Практичне значення отриманих результатів. Отримані результати та запропоновані підходи узагальнюють та доповнюють відповідні дослідження нелінійних динамічних систем. Отримані результати можуть бути застосовані для дослідження конкретних цілком інтегровних алгебраїчно-поліноміальних гамільтонових систем.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану та напрямок досліджень, постановка задач належать науковому керівнику - А.М. Самойленку. Формулювання і доведення всіх результатів дисертації, які виносяться на захист, проведено особисто автором. Співавторам належать постановки проблем та визначення загальної схеми досліджень, а також обговорення отриманих результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались i обговорювались на семінарах вiддiлу звичайних диференціальних рівнянь Інституту математики НАН України; на конференції "Нелiнiйнi проблеми аналізу" (Івано-Франківськ, 1996 р.); на конференції EUROMECH, 2-nd European Nonlinear Oscillations Conference (Прага, Чехія, 1996 р.); на міжнародному симпозіумі The 30th Symposium on Mathematical Physics (Торунь, Польща, 1998 р.); на міжнародному науковому семінарі "Асимптотичні та якісні методи в теорії диференціальних рівнянь" (Ужгород, 1998 р.).

Публiкацiї. За темою дисертаціє опубліковано 6 наукових праць, з них 4 - у наукових журналах, 2 - у збірниках наукових праць.

Структура та об'єм дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, двох розділів та списку цитованої літератури з 67 назв і викладена на 114 сторінках.

1. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

інтегровний гамільтоновий система многовид

У вступі обґрунтовано актуальність теми, проаналізовано сучасний стан проблеми, сформульовано задачі дослідження та коротко викладено основні результати.

У першому роздiлi дисертації досліджується диференціально-геометричний підхід до побудови відображення вкладення інтегрального підмноговиду цілком інтегровної за Ліувіллем гамільтонової системи в її фазовий простір. Розглядається гамільтонова система як векторне поле $K:M^{2n} \to T(M^{2n})$ на гладкому $2n$-вимірному ($dim~M=2n \in {\bf Z}_{+}$) многовиді, що називається фазовим простором, на якому задана симплектична структура $\Omega ^{(2)} \in \Lambda (M^{2n})$, тобто замкнута невироджена диференціальна 2-форма з алгебри Грассмана $\Lambda (M^{2n})$.

Векторне поле $K:M^{2n} \to T(M^{2n})$ буде гамільтоновим, якщо існує така функція:

$H \in { D}(M^{2n}):={\bf C}^{\infty}(M^{2n};{\bf R})$,

що задовольняється умова:

$$ i_{K} \Omega ^{(2)}=-dH, \eqno (0.1) $$

де $i_{K}: \Lambda (M^{2n}) \to \Lambda (M^{2n})$ - так зване внутрішнє диференціювання вздовж векторного поля $K:M^{2n} \to T(M^{2n})$.

Використовуємо таке означення.

\Defin {\it Гамільтонове векторне поле $$ \frac{du}{dt}=K(u) \eqno(0.2) $$ на симплектичному многовиді $M^{2n}$ розмірності $2n \in {\bf Z}_{+}$ з умовою (0.1),

де $t \in {\bf R}$ - еволюційний параметр, називається цілком інтегровною за Ліувіллем (в квадратурах) динамічною системою, якщо існує рівно $n \in {\bf Z}_{+}$ гладких функцій $H_1=H,~H_2,...,H_n$\ $\in { D}(M^{2n}) $, таких, що відповідні векторні поля $K_j:

M^{2n} \to T(M^{2n})$,

де $i_{K_j} \Omega ^{(2)}=-dH_j,~j= \overline {1,n}$, утворюють скінченновимірну розв'язну алгебру Лі $K$ над ${\bf R}$, тобто існують такі числа $c^{i}_{jk} \in {\bf R},~i,j,k=\overline{1,n}$, що $[K_i,K_j]=\sum ^{n}_{k=1} c^{k}_{ij}K_k$ для всіх $i,j= \overline{1,n}$, і на підмноговиді $M^n _h :=\{ u \in M^{2n}:~H_j =h_j \in {\bf R},~j= \overline{1,n} \}$ розмірність алгебри Лі $K$ векторних полів дорівнює $dimK=n$.} Розглянемо спеціальний випадок інтегровних гамільтонових систем на симплектичному многовидів:

$M^{2n}=T^*({\bf R}^n),~n \in {\bf Z}_+$,

який допускає ефективний опис відповідної симплектичної структури:

$\Omega ^{(2)} \in \Lambda ^2 (T^*({\bf R}^n))$.

А саме, як відомо з теореми Дарбу, для певного околу $U$ будь-якої точки $u \in M^{2n}$ існує така локальна система координат на атласі многовиду $M^{2n}$, в термінах якої має місце наступне канонічне зображення симплектичної структури:

$\Omega ^{(2)} \in \Lambda ^2 (T^*({\bf R}^n))$: $$ \Omega ^{(2)}(u)= \sum ^n _{j=1}dp_j \wedge dq_j \eqno(0.3) $$ де $(p_j,q_j):U \to {\bf R}^2,~j= \overline {1,n}$, - відповідні відображення, які не завжди продовжуються глобально з карти $U \subset M^{2n}$ на весь многовид $M^{2n}$.

Ситуація є кардинально відмінною, коли $M^{2n}=T^*({\bf R}^n)$.

В цьому випадку, як відомо, можна завжди записати для будь-якої 1-форми $\alpha \in \Lambda ^1 ({\bf R}^n) \simeq T^* ({\bf R}^n)$ наступний розклад по базисних лінійно-незалежних 1-формах:

$dq_j \in \Lambda ^1 ({\bf R}^n),~j= \overline {1,n}$:

$$ \alpha ^{(1)} (q)= \sum ^n _{j=1}p_j(q)dq_j \eqno(0.4) $$ в будь-якій точці $q \in {\bf R}^n$,

де $p_j : {\bf R}^n \to {\bf R},~j= \overline {1,n}$, - деякі гладкі функції з $D({\bf R}^n)$.

Очевидно, що ці функції $p_j \in D({\bf R}^n),~j= \overline {1,n}$, служать глобальними координатами кодотичного простору $T^*({\bf R}^n)$.

На $T^*({\bf R}^n)$ існує глобально задана 2-форма $\Omega ^{(2)} \in \Lambda ^2 (T^*({\bf R}^n))$ в канонічній формі Дарбу:

$$ \Omega ^{(2)} := d \alpha ^{(1)} = \sum ^n _{j=1}dp_j \wedge dq_j. \eqno(0.5) $$

Враховуючи апріорну замкнутість 2-форми (0.5) та невиродженість на $T^*({\bf R}^n)$, її вибираємо як канонічну симплектичну структуру $\Omega ^{(2)} \in \Lambda ^2 (T^*({\bf R}^n))$ на кодотичнім многовиді $M^{2n}=T^*({\bf R}^n)$.

Вважаємо також, що в канонічних змінних симплектичної структури $\Omega ^{(2)} \in \Lambda ^2 (T^*({\bf R}^n))$ задана гамільтонова система, яка володіє системою точних $n \in {\bf Z}_+$ 1-форм $\beta ^{(1)} _j \in \Lambda ^1 (T^*({\bf R}^n)),~j= \overline {1,n}$, в інволюції.

В термінах функції Гамільтона $H:=H_1 \in D(T^*({\bf R}^n))$ динамічна система має наступний канонічний запис:

$$ \frac{dq_j}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_j}, ~~~~~ \frac{dp_j}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_j},~~~ j= \overline {1,n}, \eqno(0.6) $$

причому надалі вважатимемо, що всі вище визначені функції $H_j \in D(T^*({\bf R}^n)),~j= \overline {1,n}$, є алгебраїчно-поліноміальними на $T^*({\bf R}^n))$.

Ґрунтуючись на теоремі Галіссо-Ріба, ми можемо, поклавши $\beta ^{(1)} _j=dH \in \Lambda ^1 (T^*({\bf R}^n)),~j= \overline {1,n}$, сформулювати допоміжні леми. {\bf Лема 1.2.1. } %\begin{Lemma} {\it.

Для цілком інтегровної алгебраїчно-поліноміальної гамільтонової системи (0.6) існує система раціональних 1-форм $f^{(1)} _j \in \Lambda ^1 $ \ $(T^*({\bf R}^n)),~j= \overline {1,n}$, які є точними та лінійно-незалежними на інтегральному многовиді $M^n _h$, вкладеному в $T^*({\bf R}^n))$ за допомогою відображення $\pi _h :

M^n _h \to T^* ({\bf R}^n),~h \in {\bf R}^n$. } %\end{Lemma} {\bf Лема 1.2.2. } %\begin{Lemma} {\it На інтегральному підмноговиді $M^n _h$ майже скрізь визначені лінійно незалежні 1-форми $\overline {f}^{(1)} _j \in T^*({\bf R}^n),~j= \overline {1,n}$ у вигляді $$ \overline {f}^{(1)}_j= \sum ^n _{k=1} \overline {b} _{j,k}(q,p)dq_k, \eqno(0.7) $$

де $(q,p) \in \pi _h (M^n _h) \subset T^*({\bf R}^n)$, такі, що визначають майже скрізь локально відображення вкладення $\overline\pi_h : M^n _h \to {\bf R}^n \subset T^*({\bf R}^n)$, незалежне явно від параметрів вкладення $h \in {\bf R}^n$.} %\end{Lemma}.

Відповідь на питання про глобальний координатний опис майже скрізь інтегрального многовиду $M^n _h$ дає твердження. {\bf Твердження 1.2.1.} %\begin{Prop} {\it На інтегральному многовиді $M^n _h$ існують $n \in {\bf Z}_+$ незалежних, можливо гомологічно неоднозначних глобальних координат $t_j:M^n _h \to {\bf R},~j= \overline {1,n}$, таких, що майже скрізь на:

$M^n _h~~t_1=t \in {\bf R}$ і $$ \overline {f}^{(1)}(q,p)= \overline {\pi}^*f^{(1)} _h :=dt_j, \eqno(0.8) $$

де $j= \overline {1,n},~(q,p) \in \pi _h (M^n _h)$, причому вектор $p \in T^* _q ({\bf R}^n)$ є ${\bf R}^n \ni q$- залежним параметром.} %\end{Prop}.

Введені глобальні майже скрізь координати $t_j:M^n _h \to {\bf R},~j= \overline {1,n}$, на інтегральному многовиді $M^n _h$ задають в неявній формі відображення вкладення $\pi _h:

M^n _h \to T^*({\bf R}^n)$.

Нехай на деякій карті $U_h \subset M^n _h$ маємо координатну систему $\mu _j : U_h \to {\bf R},~j= \overline {1,n}$, таку, що відображення вкладення $\pi _h: M^n _h \to T^*({\bf R}^n)$ задається аналітично у формі:

$2n \in {\bf Z}_+~~h$- параметричних відображень $$ q_j= \overline\pi _{j,h}(\mu;h),~~~p_j= \pi _{j,h}(\mu ;h), \eqno(0.9) $$

де $j= \overline {1,n}$ і $\mu := (\mu _1, \mu _2,...,\mu _n) \in {\bf R}^n$.

Задамо на кодотичнім просторі $T^*(U_h)$ до інтегрального многовиду $M^n _h$ локально-канонічні координати $\mu : U_h \to {\bf R}^n$ та $\overline {w}:T^* _{\mu}(U_h) \to {\bf R}^n$, в термінах яких визначається майже скрізь локальний дифеоморфізм $\overline {\pi}_h^*: T^*({\bf R}^n) \to T^* (U_h)$, що задовольняє таку умову канонічності:

$$ (\overline {\pi}^*_h)^* \Omega ^{(2)}\Bigg|_{T^*(U_h)}= \Omega ^{(2)}, \eqno(0.10) $$

де, за визначенням, $$ (\overline {\pi}^* _h)^* \Omega ^{(2)} = \sum ^n _{j=1}dp_j \wedge d q _j, ~~~ \Omega ^{(2)}\Bigg|_{T^*(U_h)}=\sum_{j=1}^ndw_j\wedge d\mu_j. $$.

Використання методу канонічних перетворень Пуанкаре-Картана і принцип розділення змінних Гамільтона-Якобі дає можливість сформулювати наступну основну характеристичну теорему.

{\bf Теорема 1.3.1.} %\begin{Theorem} {\it На інтегральному многовиді існують $n^2 \in {\bf Z}_+$ раціональних по змінних $(\mu ,w) \in {\bf R} \times {\bf R}$ функцій $f_{kj}:{\bf R} \times {\bf R} \to {\bf R},~j,k= \overline {1,n}$,

таких, що справедливі наступні сумісні диференціальні співвідношення:

$$ f_{kj}(\mu _j;w_j)= \frac {\partial w_j(\mu _j;h)}{\partial h_k}, \eqno(0.11) $$

розв'язком яких є набір $n \in {\bf Z}_+$ величин $w_j(\lambda), \lambda \in {\bf R},~j= \overline {1,n}$, що задовольняють алгебраїчні співвідношення такого виду:

$$ w_j ^{m_j}(\lambda)+ \sum ^{m_j} _{k=1}c_{jk}(\lambda ;h)w_j ^{m_j-k}=0, \eqno(0.12) $$,

де числа $m_j \in {\bf Z}_+,~j= \overline {1,n}$, a всі величини $c_{jk}(\lambda ;h),~j= \overline {1,n}$, є лінійними афінними функціоналами параметра $h \in {\bf R}^n$ з раціональними за $\lambda \in {\bf R}$ коефіцієнтами.} %\end{Theorem}.

Отримане твердження розв'язує проблему глобального аналітичного опису інтегрального підмноговиду і дає явні вирази для знаходження відображення вкладення інтегрального підмноговиду цілком інтегровної гамільтонової системи в її фазовий простір. В підрозділі 1.4 і 1.5 розглянуто також використання цього підходу до повільно збурених гамільтонових систем. Отримані результати застосовано до гамільтонової системи типу Хенон-Хейлеса. В підрозділі 1.6 узагальнено геометричний підхід А. Пуанкаре для дослідження лагранжевих многовидів та дано його застосування для знаходження аналітичного критерію типу Мельнікова для адіабатично збурених цілком інтегровних гамільтонових систем. Cформулювано наступну характеристичну теорему, яка дає власне критерій розщеплення лагранжевих многовидів $\Lambda^\pm_\varepsilon$ при $\varepsilon\to 0$. {\bf Теорема 1.6.1. } %\begin{Theorem} {\it Нехай функція Гамільтона $H_\tau:=H_\tau(\nu),~\nu\in {\bf R}^k,~k\geq n$, - вектор числових параметрів, при фіксованих $\tau\in {\bf R}/2\pi {\bf Z}$ володіє сепаратрисним компактним гетероклінічним многовидом $\Gamma_\tau$ з двоасимптотичними орбітами до невироджених точок $(q_{\tau,\pm},p_{\tau,\pm})\in T^*({\bf R}^n)$.

Якщо існує така точка $(\tau_0,s_0;\nu_0)\in {\bf R}/2\pi {\bf Z}\times\Gamma_\tau\times {\bf R}^k$, для якої виконані такі умови:

i) $\mu(\tau_0,s_0;\nu_0)=0$,

де $\mu(\tau_0,s_0;\nu_0)$ - аналог $\mu$-вектора В.К. Мельнікова: $$ \mu(\tau)=\{ \mu_j(\tau)\in {\bf R}:~\mu_j(\tau)= \left< \nabla H_{j,\tau}(q_\tau,p_\tau),\delta(\tau) \right>,~j=\overline{1, n} \}, $$ $\delta(\tau)\in T(U_\tau)$ - вектор розщеплення асимптотичних лагранжевих многовидів $\Lambda^\pm_\varepsilon \subset T^*(U_\tau)$;

ii) вектор-стовпчики матриці $\left|\left|\frac{\partial \mu} {\partial (\tau,s)}\right|\right|(\tau_0,s_0;\nu_0)$ є ненульовими;

iii) $rank\left|\left|\frac{\partial \mu}{\partial \nu}\right|\right|(\tau_0, s_0;\nu_0)=dim\Gamma_\tau =n$, \noindent тоді \ для \ достатньо \ малих \ значень \ $\varepsilon <\varepsilon_0$ \ локально\ стійкий $\Lambda^+_\varepsilon(q_{\tau,+},p_{\tau,+})$ та локально нестійкий $\Lambda^-_\varepsilon(q_{\tau,-},p_{\tau,-})$ лагранжеві многовиди \ відповідного \ відображення \ Пуанкаре перетинаються трансверсально в деякій гетероклінічній точці простору $T^*({\bf R}^n)\times {\bf R}_t$, призводячи до явища адіабатичного за Віггінсом хаосу в околі особливих точок. } %\end{Theorem}

У \underline{другому розділі} узагальнено диференціально-геометричний підхід Картана дослідження геометричних об'єктів, транзитивно-інваріантних відносно діє груп Лі у випадку груп Лі, заданих неявно за допомогою замкнутих ідеалів в алгебрі Грасcмана диференціальних форм на підмноговиді деякого джет-многовиду. Тут розв'язано задачу знаходження за допомогою алгебраїчних перетворень відповідної до алгебри Лі ${\cal G}$ лівоінваріантної 1-форми Маурера-Картана $\overline\omega(a;da)\in T^*_a(G)\otimes{\cal G}$ для будь-яких $a\in G$. {\bf Теорема 2.1.4.} %\begin{Theorem} {\it Нехай заданo алгебру Лі ${\cal G}$ з структурними константами $c^k_{ij}\in{\bf {\bf R}}, \, i,j,k=\overline{1,r=dim\,{\cal G}}$, зв'язаною з деяким базисом $\{A_j\in{\cal G}:\,j=\overline{1,r}\}$.

Тоді приєднана до ${\cal G}$ лівоінваріантна 1-форма $\overline\omega(a;da) $ будується наступним чином:

$$ \overline\omega(a;da)=\sum^r_{k,j=1}A_j\overline\omega^j_k(a)da^k, \eqno(0.13) $$

де матриця $W:=\|\overline w^j_k(a)\|, \,j,k=\overline{1,r}$, задана явно як:

$$ W=\sum^\infty_{n=1}(n!)^{-1}{\cal A}^{n-1}, \quad {\cal A}% ^j_k:=\sum^r_{i=1}c^j_{ki}a^i. \eqno(0.14) $$ } %\end{Theorem}.

Для динамічної системи Бюргерса на функціональному многовиді $M\subset {\bf C}^\infty ({\bf {\bf R}};{\bf {\bf R}})$:

$$ u_t=uu_x+u_{xx}, \eqno(0.15) $$

де $u\in M,\,t\in {\bf {\bf R}}$ є еволюційним параметром, побудовано рівняння паралельного перенесення зв'язності на асоційованому розшаруванні до джет-многовиду:

$$ dy+\Gamma y=0, \eqno(0.16) $$

де $\Gamma\in \Lambda^1(M)\otimes{\cal G}$ - зредукована 1-форма зв'язності $$ \Gamma=(A_0+uA_1)dx+((u_x+u^2/2)A_1-uA_3+A_2)dt, $$ що генерує паралельне перенесення векторів з простору представлень $Y$ голономної алгебри Лі ${\cal G}(h)$.

Результат (0.16) означає також, що динамічна система (0.15) має стандартне представлення типу Лакса з спектральним параметром $\lambda\in{\bf {\bf R}}$ для її інтегровності в квадратурах.

Для узагальненої динамічної системи Бюргерса:

$$ \frac {du}{dt} =uu_x+u_{xx}+v_x,~~~\frac {dv}{dt} =(uv)_x-v_{xx}, \eqno(0.17) $$

Досліджено ієрархію скінченновимірних редукцій і встановлено їх гамільтоновість та повну інтегровність. А саме, справедливі наступні теореми. {\bf Теорема 2.3.2.} %\begin{Theorem} {\it Гамільтонові векторні поля $d/dt$ та $d/dx$ на скінченновимірному інваріантному підмноговиді $\overline M^N\simeq M^N\subset M$ допускають еквівалентне матричне представлення типу Лакса

$$ \frac{d\overline S^{(N)}}{dx}=[l^{(N)},\overline S^{(N)}],~~~ \frac{d\overline S^{(N)}}{dx}=[p^{(N)}(l),\overline S^{(N)}], \eqno(0.18) $$,

де $\overline S^N:{\bf C}^2\to {\bf C}^2$ - матриця монодромії, а

$$ l^{(N)}:=\left[ \begin{array}{cc} \left( 2\sum\limits_{k=1}^Ny^2_{2,k}-\lambda \right) /4 & ~~\sum\limits_{k=1}^Ny_{1,k}y_{2,k} \\ 1 & ~~-\left( 2\sum\limits_{k=1}^Ny^2_{2,k}-\lambda \right) /4 \end{array} \right], \eqno(0.19) $$ $$ p^{(N)}(l):= \left[ \begin{array}{cc} \frac 1{16}\left( -4\sum\limits_{i,k=1}^Ny^2_{2,k}y^2_{2,i}+\lambda^2+\right. & \frac 12\frac{d}{dx}\left( \sum\limits_{k=1}^Ny_{1,k}y_{2,k}\right)- \\ \left. +4\frac{d}{dx}\left( \sum\limits_{k=1}^Ny^2_{2,k} \right) \right) & -\frac 14\left( \lambda +2\sum\limits_{k=1}^Ny^2_{2,k} \right) \\ & \\ \left( 2\sum\limits_{k=1}^Ny^2_{2,k}-\lambda \right) /4 & \frac 1{16}\left( 4\sum\limits_{i,k=1}^Ny^2_{2,k}y^2_{2,i}-\lambda^2-\right. \\ & \left.-4\frac{d}{dx}\left( \sum\limits_{k=1}^Ny^2_{2,k} \right) \right) \end{array} \right], $$

де $\lambda\in {\bf C}$ - довільний параметр.} %\end{Theorem} {\bf Теорема 2.3.3.} %\begin{Theorem} {\it Динамічна система (0.17) допускає інваріантну редукцію на скінченновимірний підмноговид $\overline M_0^N\subset {\bf R}^{2N}$, орбіти на якому векторних полів $d/dt$ та $d/dx$ є гамільтоновими цілком інтегровними за Ліувіллем потоками, які вистилають підпростір періодичних та \ квазіперіодичних \ розв'язків \ динамічної \ системи Бюргерса (0.15).}.

ВИСНОВКИ

Розроблено ефективний аналітичний підхід до побудови відображення вкладення інваріантних многовидів для цілком інтегровних алгебраїчно-поліноміальних систем.

Побудовано канонічні перетворення Пуанкаре-Картана для адіабатично-збурених цілком інтегровних гамільтонових систем в околі інваріантних тороїдальних многовидів і проведено дослідження існування адіабатичних інваріантів для таких систем.

Узагальнено диференціально-геометричний підхід Картана дослідження геометричних об'єктів, транзитивно-інваріантних відносно дії груп Лі у випадку груп Лі, заданих неявно за допомогою замкнутих ідеалів в алгебрі Грассмана диференціальних форм на підмноговиді деякого джет-многовиду.

Побудовано рівняння паралельного перенесення зв'язності на асоційованому розшаруванні до джет-многовиду для динамічної системи Бюргерса та проведено його інтерпретацію як матричного зображення типу Лакса, а також досліджено ієрархію скінченновимірних редукцій динамічної системи Бюргерса і встановлено їх гамільтоновість та повну інтегровність.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНО В РОБОТАХ

1. Прикарпатський Я.А., Самойленко А.М. Симплектичний аналіз деформацій повільно-збурених цілком інтегровних скінченновимірних гамільтонових систем та асоційованих з ними адіабатичних інваріантів // Нелінійні коливання. --1999. --2, N1. --C.83-91.

2. Блекмор Д.Л., Гентош О.Є., Прикарпатський Я.А. Геометрична структура інтегровних за Лаксом потоків на многовидах Граcсмана // Крайові задачі для диференціальних рівнянь: Зб. наук. пр. - Вип.2. - Київ: Ін-т математики НАН України, 1998, - C.41-48.

3. Прикарпатський Я.А., Копич М.І., Притула М.М., Єрченко О.О. Геометричні аспекти методу Пуанкаре-Мельнікова для повільно збурених гамільтонових систем // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения: Сб. науч. тр. - Киев, - 1996. - C.221-222.

4. Прикарпатський Я.А. Структура інтегровних потоків типу Лакса на нелокальних многовидах: динамічні системи з джерелами // Математичні методи та фізико-механічні поля. - 1997. - 40, N4. - C.106-115.

5. Копич М.І., Прикарпатський Я.А., Самуляк Р.В. Адіабатичні інваріанти узагальненої \ гамільтонової \ системи Хенон-Хейлеса та структура хаотичного руху // Доп. НАН України. - 1997. - N2. - C.32-36.

6. Blackmore D., Prykarpatsky Y.A., Samulyak R. The integrability of Lie-invariant geometric objects generated by ideals in the Grassmann algebra // Journal of Nonl.Math.Phys. - 1998. - 5, N1. - P.54-67.

АНОТАЦІЯ

Прикарпатський Я.А. Симплектичний аналіз інтегральних многовидів цілком інтегровних гамільтонових систем та їх адіабатичних збурень. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 -- диференціальні рівняння.-- Інститут математики НАН України, Київ, 1999.

В дисертації розроблено аналітичний підхід до побудови відображення вкладення інваріантних многовидів для цілком інтегровних за Ліувіллем алгебраїчно-поліноміальних систем. На основі даного підходу проведено дослідження існування адіабатичних інваріантів для адіабатично збурених гамільтонових систем. Узагальнено диференціально-геометричний підхід Картана дослідження геометричних об'єктів, транзитивно-інваріантних відносно дії груп Лі у випадку груп Лі, заданих неявно за допомогою замкнутих ідеалів в алгебрі диференціальних форм на підмноговиді деякого джет-многовиду. Для динамічної системи Бюргерса побудовано рівняння паралельного перенесення зв'язності на асоційованому розшаруванні до джет многовиду та дано його інтерпретацію як матричного зображення типу Лакса, досліджено ієрархію скінченновимірних редукцій і встановлено їх гамільтоновість та повну інтегровність.

Ключові слова: симплектичний аналіз, гамільтонові системи, повна інтегровність, відображення вкладення, розщеплення сепаратрисних многовидів.

АННОТАЦИЯ

Прикарпатский Я.А. Симплектический анализ интегральных многообразий вполне интегрируемых гамильтоновых систем и их адиабатических возмущений. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 -- дифференциальные уравнения. - Институт математики НАН Украины, Киев, 1999.

В диссертации разработан аналитический метод построения отображения вложения инвариантных многообразий для интегрируемых по Лиувиллю алгебраично-полиномиальных систем. На основе данного подхода проведено исследование существования адиабатических инвариантов для адиабатически возмущенных гамильтоновых систем. Обобщен дифференциально-геометрический подход Картана исследования геометрических объектов, транзитивно-инвариантных относительно действия групп Ли в случае групп Ли, заданных неявно с помощью замкнутых идеалов в алгебре дифференциальных форм на подмногообразии некоторого джет-многообразия. Для динамической системы Бюргерса построено уравнение параллельного переноса связности на ассоциированном расслоении к джет-многообразию и дана его интерпретация как матричного представления типа Лакса, исследована иерархия конечномерных редукций и установлена их гамильтоновость и полная интегрируемость.

Ключевые слова: симплектический анализ, гамильтоновые системи, полная интегрируемость, отображение вложения, расщепление сепаратрисных многообразий.

ANNOTATION

Prykarpatsky Y.A. Symplectic analysis of integral manifolds of the completely integrable Hamiltonian systems and its adiabatic perturbations. - Manuscript.

Thesis for candidate degree by speciality 01.01.02 - differential equations. - Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 1999.

We suggest an analytical approach to construct in the explicit form the embedding mapping of the invariant manifolds of completely integrable via Liouville algebraic-polynomial dynamical systems using the methods of differential geometry, method of the Poincar\'{e}-Cartan canonical transformations and Hamilton-Jacoby principle of separated variables. Based on this approach, the existence of the adiabatic invariants for a slowly perturbed Henon-Heiles dynamical systems is investigated. We construct the Poincar\'{e}-Cartan canonical transformations for adiabatically perturbed completely integrable Hamiltonian systems in the neighbourhood of the invariant toroidal manifold. \hspace{3mm}The Poincar\'{e} approach to the study of deformations of the Lagrange manifolds of slowly perturbed Hamiltonian systems in a neighbourhood of the singular point is generalized. We establish a criterion for the transversal splitting of the separatrix manifolds, which is equivalent to the Melnikov criterion. This approach is applied to investigate the transversal splitting of the separatrix manifolds for adiabatically perturbed completely integrable dynamical systems. We generalize Cartan's differential-geometric approach to the study of the integrability of Lie-invariant geometric objects transitively invariant with respect to a Lie-group action in the case when the Lie-group is given implicitly by means of the closed ideals in the Grassmann algebra of the differential forms on the submanifolds of some jet-manifolds. Application of the developed Lie-invariant geometric object theory for the Burgers nonlinear dynamical system has given rise to finding the parallel transfering equation for the connection on associated fiber bundle to the jet-manifold and finding the explicit form of the associated Lax-type representation. The hierarchy of the finite-dimensional reductions for the Burgers dynamical system is investigated.

Key words: symplectic analysis, Hamiltonian system, complete integrability, embedding mapping, separatrix manifolds splitting.

Размещено на Allbest.ru