Предел монотонной последовательности. Теорема Вейерштрасса

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФГБОУ ВПО «УДМУРТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Курсовая работа

"Предел монотонной последовательности. Теорема Вейерштрасса"

Лекомцев Петр Сергеевич

Научный руководитель

К. ф-м. н. - Федоров Д.Л.

Ижевск, 2013 г.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

1.1 Свойства пределов последовательностей

1.2 Примеры нахождения пределов последовательности

2. ПРЕДЕЛ МОНОТОННОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

2.1 Теорема «Вейерштрасса»

2.2 Примеры на применение теоремы Вейерштрасса

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

теорема вейерштрасс предел последовательность

Одним из основополагающих разделов курса математического анализа является раздел, изучающий теорию предела последовательности и предела функции. Данная теория является значимой для изучения многих других разделов математического анализа, а также других дисциплин математики.

Целью данной курсовой работы является доказательство теоремы Вейерштрасса. В работе подробно рассмотрены следующие аспекты: понятие предела последовательности, характерные примеры вычисления пределов последовательности с подробным разбором решения, теорема Вейерштрасса и примеры её применения.

Тема данной курсовой работы «Предел последовательности. Теорема Вейерштрасса». Для того чтобы углубиться в изучение данного вопроса, для начала, вспомним некоторые определения, утверждения и теоремы из начального изучения математического анализа, вплотную касающиеся основной проблемы затронутой в курсовой работе. В физике и в других науках о природе встречалось множество различных величин: время, длина, объём, вес и т.п. Любая из них, смотря по обстоятельствам, то принимала различные значения, то лишь одно. В математике, однако, мы отвлекаемся от физического смысла рассматриваемой величины, интересуясь лишь числом, которым она выражается физический смысл величины, снова приобретает важность, лишь, когда занимаются приложениями математики. Таким образом, для нас переменная величина (или - переменная) является отвлечённой или числовой переменной. Её обозначают каким-либо символом (буквой, например, х), которому приписывают числовые значения.

Переменная считается заданной, если указанно множество Х={х} Постоянную величину (или - постоянную) удобно рассматривать как частный случай переменной; он отвечает предположению, что множество Х={х} состоит из одного элемента.

Перейдём к установлению понятия числовой последовательности.

1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Определение: если каждому n є N, поставлено в соответствие x_n є N, то говорят, что

(1)

образуют числовую последовательность.

- члены последовательности

- общий член последовательности

Введённое определение подразумевает, что любая числовая последовательность должна быть бесконечна, но не означает, что все члены должны быть различные числа.

Числовая последовательность считается заданной, если указан закон, по которому можно найти любой член последовательности.

Члены или элементы последовательности (1) занумерованы всеми натуральными числами в порядке возрастания номеров. При n+1 > n-1 член следует за членом ( предшествует ), независимо от того, будет ли само число больше, меньше или даже равно числу .

Определение: Переменную x, принимающую некоторую последовательность (1) значений, мы - следуя Мерэ (Ch. Meray) - будем называть вариантой.

В школьном курсе математики можно встретить переменные именно такого типа, типа варианты.

Например, последовательность вида

(арифметическая) или вида

(геометрическая прогрессия)

Переменный член той или другой прогрессии есть варианта.

В связи с определением длины окружности обычно рассматривается периметр правильного вписанного в окружность многоугольника, получаемого из шестиугольника последовательным удвоением числа сторон. Таким образом, эта варианта принимает последовательность значений:

Упомянем ещё о десятичном приближении (по недостатку) к , со всё возрастающей точностью. Оно принимает последовательность значений:

и также представляет варианту.

Переменную x, пробегающую последовательность (1), часто обозначают через , отождествляя её с переменным («общим») членом этой последовательности.

Иногда варианта x_n задаётся тем, что указывает непосредственно выражение для x_n; так, в случае арифметической или геометрической прогрессии имеем, соответственно, x_n =а+(n-1) d или x_n =aq^n-1. Пользуясь этим выражением, можно сразу вычислять любое значение варианты по заданному его номеру, не вычисляя предыдущих значений.

Для периметра правильного вписанного многоугольника такое общее выражение возможно лишь, если ввести число р; вообще периметр р_m правильного вписанного m-угольника даётся формулой

Определение 1: Числовая последовательность {х_n} называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число М (т), что для любого элемента этой последовательности имеет место неравенство , при этом число М (т) называют верхней (нижней) гранью.

Определение 2: Числовая последовательность {х_n} называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу, т.е. существуют М, т, что для любого

Обозначим А = max {|M|, |m|}, тогда очевидно, что числовая последовательность будет ограничена, если для любого выполняется равенство |x_n|?А, последнее неравенство есть условие ограниченности числовой последовательности.

Определение 3: числовая последовательность называется бесконечно большой последовательностью, если для любого А>0, можно указать такой номер N, что для всех n>N выполняется ||>A.

Определение 4: числовая последовательность {б_n} называется бесконечно малой последовательностью, если для любого наперёд заданного е > 0, можно указать такой номер N(е), что для любого n > N(е) будет выполняться неравенство | б_n | < е.

Определение 5: числовая последовательность {х_n} называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность {х_n - а} является бесконечно малой последовательностью. При этом само а - предел исходной числовой последовательности.

Из этого определения следует, что все бесконечно малые последовательности являются сходящимися и предел этих последовательностей = 0.

В связи с тем, что понятие сходящейся последовательности увязано с понятием бесконечно малой последовательности, то определение сходящейся последовательности можно дать в другой форме:

Определение 6: числовая последовательность {х_n} называется сходящейся к числу а, если для любого сколь угодно малого найдётся такой , что для всех n > N выполняется неравенство

при ,

а - предел последовательности

Т.к. равносильно , а это означает принадлежность интервалу х_n є (a - е; a+ е) или, что то же самое, принадлежит е - окрестности точки а. Тогда мы можем дать ещё одно определение сходящейся числовой последовательности.

Определение 7: числовая последовательность {х_n} называется сходящейся, если существует такая точка а, что в любой достаточно малой е - окрестности этой точки находится сколь угодно элементов этой последовательности, начиная с некоторого номера N.

Замечание: согласно определениям (5) и (6), если а - предел последовательности {х_n}, то x_n - а является элементом бесконечно малой последовательности, т.е. x_n - а = б_n, где б_n - элемент бесконечно малой последовательности. Следовательно, x_п = а +б_n, и тогда мы в праве утверждать, что если числовая последовательность {х_n} сходится, то её всегда можно представить в виде суммы своего предела и элемента бесконечно малой последовательности.

Верно и обратное утверждение: если любой элемент последовательности {х_n} можно представить в виде суммы постоянного числа и элемента бесконечно малой последовательности, то это постоянная и есть предел данной последовательности.

Определение 8. Последовательность не возрастает(не убывает), если для .

Определение 9. Последовательность возрастает (убывает), если для .

Определение 10. Строго возрастающая или строго убывающая последовательность называется монотонной последовательностью.

1.1 Свойства пределов последовательностей

Теорема (о единственности предела). Если -- предел последовательности и -- предел последовательности , то .

Доказательство. Предположим, что . Возьмем . Найдется такой номер , что

также существует

Возьмем , которое больше и . Тогда

Обозначение. есть предел :

,

-- стремится (сходится) к ,

Определение. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.

Определение. Последовательность называется строго возрастающей (возрастающей) [строго убывающей] убывающей, если каждый ее член, начиная со второго, больше (не меньше) [меньше] не больше предыдущего члена.

Последовательности (строго) возрастающая и (строго) убывающая называются (строго) монотонными.

Определение. Последовательность называется ограниченной, если существует .

Теорема. Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть -- предел последовательности . Тогда найдется такой номер , что

Тогда .

Замечание. Тем самым, мы доказали ограниченность последовательности , поскольку, выбрав , получим.

Определение. Говорят, что последовательность отделена от нуля, если найдется такое положительное число , что все члены этой последовательности по модулю больше .

Теорема (о предельном переходе в неравенствах). Пусть и -- последовательности, причем . Пусть , . Тогда .

Доказательство. Предположим, что утверждение теоремы неверно, т.е. . Рассмотрим промежутки

Возьмем . Тогда

Получили противоречие, т.к.

Замечание. Если в условии теоремы заменить неравенство на , то все равно можно утверждать лишь то, что . Действительно,

Теорема (принцип сжатой последовательности, теорема о двух милиционерах). Пусть даны последовательности и существует : . Известно, что . Тогда .Доказательство. Возьмем произвольный промежуток .

Обозначим . Тогда

Значит, .

Замечание. Принцип сжатой последовательности является теоремой существования и не следует из теоремы о предельном переходе в неравенствах.

Определение. Говорят, что , если

Последовательность при этом называется бесконечно большой;

, если

, если

Определение. Последовательность называется бесконечно малой, если .

1.2 Примеры нахождения пределов последовательности

Числовая последовательность задана общим членом x_п, рассмотрим его:

при нахождении такого предела говорят, что будем раскрывать неопределённость вида .

при нахождении такого предела, говорят, что будем раскрывать неопределенность вида .

Для раскрытия неопределённости доделим числитель и знаменатель на наибольшую степень n.

Таким образом, имеет место правило:

Предел отношения двух многочленов равен бесконечности, если степень числителя больше степени знаменателя, нулю, если степень числителя меньше степени знаменателя и отношению коэффициентов при старших членах, если степени числителя и знаменателя равны.

Основные свойства пределов. Нижеприведенные свойства пределов справедливы не только для числовых последовательностей, но и для функций.

Если { u_n } и { v_n } ? две сходящиеся последовательности, то:

Если члены последовательностей { u_n }, { v_n }, { w_n } удовлетворяют неравенствам

2. ПРЕДЕЛ МОНОТОННОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Определение. Последовательность называется

- монотонно возрастающей (неубывающей), если ;

- строго монотонно возрастающей (неубывающей), если ;

- монотонно убывающей (невозрастающей), если ;

- строго монотонно убывающей (невозрастающей), если ;

Монотонно возрастающие последовательности обозначают символом , монотонно убывающие - символом .

Сейчас докажем одну из важнейших теорем.

Теорема:

1. Если последовательность монотонно возрастает и ограниченна сверху, то она сходится к конечному пределу;

2. Если последовательность монотонно возрастает, но неограниченна сверху, то .

Доказательство.

Часть 1. Пусть ограниченны сверху, т.е. такое, что . Тогда, согласно теореме о существовании супремума мы можем утверждать, что .

Вспомним свойства . Их было два

1.

2.

Но учтем теперь что . Это значит, что . Тогда имеем следующую цепочку неравенств

Выбрасывая лишнее получим, что или , что и говорит о том, что .

Заметьте, что предел равен как раз супремуму множества .

Часть 2. Пусть теперь неограниченна сверху. Это значит, что.

Но . Значит, и поэтому можно записать . Выбрасывая в этом неравенстве , получим окончательно

что и говорит о том, что.

Для упрощения задачи нахождения предела последовательности, вышеуказанного вида, мы прибегаем к помощи теоремы Вейерштрасса.

2.1 Теорема Вейерштрасса

Теорема. Если - не убывает и ограничена сверху, то она сходится. Если - не возрастает и ограничена снизу, то она сходится.

Доказательство. При выполнении условия теоремы последовательность ограниченна.

В силу ограниченности ,

1) Если последовательность не убывает, то

2) Если последовательность не возрастает, то

Рассмотрим первый случай.

По определению :

Т.к. не убывает, то при

при

при .

Аналогично определяется точная нижняя граница множества -- .

1.2 Примеры на применение теоремы Вейерштрасса

Доказать, что последовательность, у которой

a₁ = 2; a_n = (a_n-1 + 1) / 2; n > 2

имеет предел, и найти его.

Решение:

1. Найти несколько первых членов.

2. 2, 3/2, 5/4, 9/8, 17/16

3. Делаем предположение, что

1 < a_n < 2 (1)

4. Докажем, что (1) верно для любого натурального n > 2

Доказательство:

Применим метод математической индукции:

n = 1 - очевидно.

Предположим, что это верно и для n = k 1 < a_k < 2

n = k + 1 1 < a_{k + 1} < 2

a_{k + 1} = (a_k + 1) / 2

1 < a_k < 2

2 < a_k + 1 < 3

1 < (a_k + 1) / 2 < 3/2

1 < a_{k + 1} < 2.

Ограниченность доказана.

5. Теперь докажем монотонность.

a_{n + 1} - a_n = (a_n + 1) / 2 - a_n = (a_n + 1 - 2a_n) / 2 = (1 - a_n) / 2 < 0

1 < a_n < 2

-1 > -a_n > -2

0 > 1 - a_n > -1

Находим предел

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, в данной работе мы рассмотрели теорему Вейерштрасса и её применение на практике. В работе подробно рассмотрены следующие аспекты: понятие предела последовательности, характерные примеры вычисления пределов последовательности с подробным разбором решения, теорема Вейерштрасса и примеры её применения. Рассмотренные примеры показывают, что данная теорема достаточной мере облегчает процесс нахождения пределов, помогая вычислить искомый предел, не прибегая к вспомогательным неравенствам.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Г.М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1, М., 1969.

2. Б.П. Демидович, Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М., 1977.

3. Л.Д Кудрявцев, Курс математического анализа, т. 1, М., 1988.

Размещено на Allbest.ru