Основи теорії ймовірностей
Випробовування як наявність певного комплексу умов або дій, при яких спостерігається відповідне явище, подія як його можливий результат. Відносна частота та її стабільність. Аксіоматична побудова теорії ймовірності, аналогії між подіями та множинами.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 05.11.2013 |
| Размер файла | 42,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
1. Класифікація подій
Випробовування (спостереження, дослід) - наявність певного комплексу умов або дій, при яких спостерігається відповідне явище. Випробуванням є, наприклад, стрілянина в мішень, підкидання монети, акт вибору одного виробу з множин інших готових виробів тощо.
Подія - можливий результат випробовування. Так, при стрілянині в мішень подіями будуть попадання і промах; при киданні монети поява «герба» або «цифри»; при виборі з множини готових виробів - поява бракованого виробу.
Подія позначається великими буквами латинського алфавіту. Наприклад, А - попадання в ціль, В-поява «герба», С - поява бракованого виробу.
Серед подій вирізняють такі: достовірні, неможливі, випадкові, несумісні, сумісні, протилежні, рівноможливі та елементарні.
Подія називається достовірною в даному досліді, якщо вона обов'язково матиме місце в результаті його проведення.
Наприклад, якщо в урні лише кульки одного кольору, то подія «з урни взяли кульку певного кольору» - достовірна.
Подія називається неможливою, якщо в даному досліді вона мати місце не може, тобто не настане.
Так, якщо в урні є лише зелені кульки, то подія «з урни взяли білу кульку» неможлива.
Подія називається випадковою, якщо в даному досліді вона може мати місце, а може й не мати.
Випадковою подією є, наприклад, попадання і промах при стрілянині, «герб» або «цифра» на монеті.
Подія називається несумісною, якщо поява однієї виключає появу іншої у тому ж досліді.
Так, поява стандартної деталі виключає появу нестандартної
Дві події називаються сумісними в даному досліді, якщо поява однієї з них не виключає появи іншої в цьому ж досліді.
Так, при підкиданні двох монет подія А («цифра» на першій монеті) та В («герб» на другій монеті) - сумісні.
Множина подій А1, А2,… А» називається повною групою, якщо вони попарно-несумісні, тобто в результаті проведення випробовування обов'язково матиме місце поява однієї і лише однієї з цих подій.
Пояснимо це на прикладі підкидання кубика для гри, на гранях якого нанесені цифри 1, 2, 3, 4, 5, 6. Якщо кубик впаде, то на верхній грані буде тільки одна з названих цифр. Подію, якій відповідатиме «верхня грань з цифрою п», позначимо А», де п =1, 2, З, 4, 5, 6. Події А1 А2, А3> А4 А5, А6 утворюють повну групу. Вони є попарно-несумісними. Поява однієї події і лише однієї з них буде достовірною подією, бо лише одна з граней виявиться верхньою. На ній буде лише одна з цифр від 1 до 6.
Дві події називаються протилежними, якщо поява однієї з них рівносильна не появі іншої.
Наведемо приклади протилежних подій: попадання та промах при стрілянині, «герб» та «цифра» при підкиданні монети, червона та біла кульки при виборі однієї кульки серед двох таких кульок.
Якщо одну з протилежних подій позначимо буквою А, то іншу - А. Наприклад, якщо А - «герб», то А - «цифра» при підкиданні монети.
Події називаються рівноможливими, якщо немає необхідності вважати, що одна подія є більш імовірною ніж інша.
Наприклад, при підкиданні монети подія А (поява «герба») та подія В (поява «цифри») - рівноможливі.
Кожна подія, яка може наступити в результаті проведення досліду, називається елементарною подією.
Наприклад, при підкиданні кубика для гри події А1 А2, А3, А4 А5, А6 є елементарними подіями.
Елемантарні події, при яких одна подія наступає, називається сприятливими цій події, або сприятливими можливостями.
Так, при підкиданні кубика для гри елементарні події А3 і А6 є сприятливими подіями до події «число очків, що випали, діляться на 3»
2. Відносна частота та її стабільність
Відносна частота, як і ймовірність, належать до основних понять теорії ймовірностей.
Відносною частотою події називається відношення числа дослідів, у яких подія з'явилася, до загального числа фактично проведених дослідів. Відносна частота події А визначається формулою:
де т - число появи події, п - загальне число дослідів.
Співставляючи класичне визначення ймовірності та відносної частоти, помічаємо, що
а) класичне визначення ймовірності не вимагає проведення дослідів у дійсності; тоді як
б) визначення відносної частоти вимагає, щоб досліди були обов'язково проведені.
Іншими словами, ймовірність розраховують до досліду, а відносну частоту - після досліду.
Довготривалі спостереження в однакових умовах проведення досить великого числа дослідів показали, що відносна частота проявляє властивість стабільності.
Властивість стабільності відносної частоти полягає у тому, що в різних дослідах відносна частота змінюється мало (тим менше, чим більше проведено дослідів), коливаючись біля деякого сталого числа. Це стале число є ймовірністю появи події.
Таким чином, якщо на досліді встановлюється відносна частота, то число, яке при цьому отримуємо, можна прийняти за наближене значення ймовірності.
Проілюструємо тепер властивість стабільності відносної частоти на прикладі.
Приклад 1.7. Проводили низку дослідів з підкиданням монети і підраховували, скільки раз появиться «герб». Результати таких дослідів наведені в табл.
Дані появи «герба» в дослідах з підкиданням монети
|
Число підкидань |
Число появи «герба» |
Відносна частота (ймовірність появи події) |
|
|
4040 |
2048 |
0,5069 |
|
|
12000 |
6019 |
0,5016 |
|
|
24000 |
12012 |
0,5005 |
Аналізуючи цю таблицю, помічаємо, що відносна частота незначно відрізняється від числа 0,5. Більше того, вона тим менше відрізняється від половини, чим більше дослідів було проведено. Так, різниця становить 0,0069 та 0,0005 після проведення 4040 та 24000 дослідів, відповідно. Враховуючи, що ймовірність появи «герба» становить 0,5, переконуємося, що відносна чистота коливається біля цього значення ймовірності з боку більших величин.
випробування ймовірність подія аксіоматичний
3. Аксіоматична побудова теорії ймовірності
Теорія ймовірності може бути побудована аксіоматичним методом, тобто на основі аксіом - незаперечних істин, положень, що приймаються без доведень. Такий підхід у 1929 році вперше запропонував академік А М. Колмогоров. Це дозволило завершити аксіоматичну побудову теорії ймовірностей як самостійної математичної науки.
Аксіоми теорії ймовірності вводяться таким чином, щоб імовірність події мала основні властивості частоти.
При побудові теорії ймовірностей аксіоматичним методом виходять з аналогії між подіями та множинами: кожна подія пов'язується з певною множиною наслідків випробовувань. Вона настає при появі одного з результатів, що належить цій множині, і не настає при появі одного з результатів, що не належать цій множині. Так, при підкиданні кубика для гри події «випадання непарної кількості очок» пов'язані з множиною результатів А1, А3, А5, а парної - з множиною результатів А2, А4, А6.
При розгляді ж геометричної ймовірності наслідком кожного випробовування є попадання в певну точку, причому кожна подія є попаданням на певну множину точок (область g).
Одним з основних понять теорії ймовірностей є простір елементарних подій - сукупність можливих наслідків випробовувань, тобто довільна множина подій, а його елементи (W є елементарними подіями (У загальному випадку простір може мати різну природу: кінцеву, нескінчену, дискретну або неперервну).
Подіями будемо називати підмножини множини і позначати А, В, С…
Порожню множину називають неможливою подією, а множину П - достовірною подією.
Подія А = ( - А) називається протилежною до події А і означає, що подія А не настала.
Події А та. В називаються несумісними, якщо АВ =
Випадкова подія - це будь-яка власна відмінна від і підмножина множин .
Ймовірні події ототожнюються з множиною елементарних подій, а неможливі події - з порожньою множиною . Для множин визначене поняття відношення порядку (включення множин) та алгебраїчної дії:
1) (об'єднання множин);
2) (перетин множин);
3) (доповнення множини А);
4) (різниця множин).
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Основні напрямки теорії ймовірностей. Сутність понять "подія", "ймовірність події". Перестановки, розміщення та сполучення. Безпосередній підрахунок ймовірностей. Основні теореми додавання та множення ймовірностей. Формула повної ймовірності та Байєса.
контрольная работа [89,9 K], добавлен 27.03.2011Основні поняття теорії ймовірностей, означення випробування, випадкової, масової, вірогідної та неможливої події. Правило суми і множення. Теорема додавання і теорема добутку ймовірностей. Використання геометричної ймовірності, Парадокс Бертрана.
научная работа [139,9 K], добавлен 28.04.2013Вивчення закономірностей, властивих випадковим явищам. Комплекс заданих умов. Експериментальна перевірка випадкових явищ в однотипних умовах та необмежену кількість разів. Алгебра випадкових подій. Сутність, частота і ймовірність випадкової події.
реферат [151,8 K], добавлен 16.02.2011Сприймання і усвідомлення понять: випадкова подія, вірогідна подія, неможлива подія, повна група подій, попарно несумісні події, рівно можливі події, елементарні події. Вивчення ймовірнісних закономірностей масових однорідних випадкових подій.
реферат [24,9 K], добавлен 17.02.2009Предмет теорії ймовірностей. Означення та властивості імовірності та частості. Поняття та принципи комбінаторики. Формули повної імовірності та Байєса. Схема та формула Бернуллі. Проста течія подій. Послідовність випробувань з різними ймовірностями.
курс лекций [328,9 K], добавлен 18.02.2012Етапи розвитку теорії ймовірностей як науки. Ігри казино як предмет математичного аналізу. Біологічна мінливість і імовірність. Застосування розподілів ймовірностей як спосіб опису біологічної мінливості. Помилкова точність та правила округлення чисел.
реферат [26,4 K], добавлен 27.02.2011Основні поняття теорії ймовірності. Аналіз дискретної випадкової величини, характеристика закону розподілу випадкової величини. Знайомство з властивостями функції розподілу. Графічне та аналітичне відображення законів ймовірності дискретних величин.
реферат [134,7 K], добавлен 27.02.2012Зародження основних понять теорії ймовірностей. Розподіл ймовірностей Фішера-Снедекора, Пуассона та Стьюдента, їх характеристика та приклади. Емпірична функція розподілу. Точечний та інтервальний підходи до оцінювання невідомих параметрів розподілів.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 30.04.2009Введення поняття інтеграла Стільєса та його розробка. Визначення проблеми моментів. Загальні умови та класи випадків існування інтеграла Стільєса. Теорема про середній. Застосування інтеграла Стільєса в теорії ймовірностей та у квантовій механіці.
дипломная работа [797,1 K], добавлен 25.02.2011Вивчення поняття випадкових подій. Ознайомлення із класичним, статистичним, геометричним, аксіоматичним означеннями, предметом та методами аналізу (комбінаторний), основними співвідношеннями теорії ймовірності. Розгляд залежності та сумісністю подій.
реферат [202,5 K], добавлен 11.06.2010
