Разложение некоторых функций в цепные дроби

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации

Ставропольский Государственный Университет

Кафедра математического анализа

Дипломная работа

Разложение некоторых функций в цепные дроби

Работу выполнил

студент 5 курса физико-математического факультета,

группы Б, очное отделение Ширяев Е.Ю.

Научные руководители:

Зарудняк Л.В., Корнеев П.К.

Ставрополь 1998 г.

Введение

В современной математике приближенное представление функций обычно разыскивается в виде многочленов от независимых переменных. В тех же случаях, когда нахождение таких многочленов затруднительно, обычно применяются различные численные методы.

При этом сравнительно редко пользуются приближениями, являющимися дробно - рациональными функциями от независимых переменных.

Между тем дробно - рациональные приближения иногда могут успешно заменять данную функцию в тех областях изменения аргумента, где разложение этой функции в степенной ряд расходится и где, следовательно, приближение в виде многочленов в большинстве случаев неприменимы.

Существуют методы, позволяющие получать сколь угодно много дробно - рациональных приближений данной функции и требующие сложных выкладок. Наиболее распространенным из таких методов является метод цепных дробей.

В последнее время интерес к цепным дробям в связи с их большим теоретическим и практическим значениями.

Так например, цепные дроби являются одним из аппаратов приближения функций. Они обладают замечательным свойством малого накопления погрешности при их вычислении.

В настоящее время повышение интереса к теории цепных дробей объясняется еще и тем, что, несмотря на видимую громоздкость представления, процесс их вычислений является цикличным и легко поддаётся программированию при использовании ЭВМ.

Основоположником теории цепных дробей является Леонард Эйлер. Дальнейшие крупные результаты в этой области получены Ж.Л. Лагранжем, П.Л. Чебышевым, А.А. Марковым, О. Перроном, Т.И. Стилтьесом, А.Я. Хинчиным.

Значительное развитие теория цепных дробей получила в работах Н.И. Гаврилова, А.Н. Хованского и других математиков.

В.Я. Скоробогатько и его ученикам мы обязаны появлением ветвящихся цепных дробей, которые являются естественным обобщением обыкновенных цепных дробей. Это новое направление в аналитической теории цепных дробей является весьма перспективным.

1. Некоторые сведения из теории цепных дробей

1.1 Определение цепной дроби

Выражение вида

(1)

называется цепной или непрерывной дробью. Для цепной дроби (1) употребляется также сокращенная запись

В общем случае элементы цепной дроби a0 , ak , bk ( k = 1, 2, . . . ) -это вещественные или комплексные числа, или функции одной или нескольких переменных. При наиболее общем подходе к предмету элементы цепной дроби означают здесь независимые переменные; в зависимости от специальных надобностей эти переменные можно заставить пробегать значения той или иной области. Дроби

(k = 1, 2, . . .)

называются звеньями цепной дроби (1) (соответственно нулевым, первым и т. д.), а числа или функции AK и bk ( ) - членами k-го звена (частными знаменателями или числителями).

Мы будем предполагать, что . Заметим, что в сокращенной записи (1).звенья сокращать нельзя.

Если цепная дробь (1) содержит конечное число звеньев (например, n, не считая нулевого), то она называется конечной или n-звенной (так что п - членная цепная дробь имеет п + 1 звеньев) образом и сокращенно обозначается следующим образом:

(2)

Конечная цепная дробь отождествляется с соответствующей обыкновенной, полученной в результате выполнения указанных действий. Цепная дробь (1), имеющая бесконечное множество звеньев, называется бесконечной, причем употребляется обозначение

(3)

Всякая конечная цепная дробь представляет собою результат конечного числа рациональных действий над её элементами; поэтому в наших предположениях об элементах всякая конечная цепная дробь выражает собой некоторое вещественное число.

Напротив, бесконечной цепной дроби непосредственно невозможно приписать никакого числового значения; она представляет собой, по крайней мере вплоть до дальнейших соглашений, лишь формальную запись, подобно бесконечному ряду, о сходимости которого не ставится вопроса.

Цепная дробь

(4)

у которой все частные числители равны 1, называется обыкновенной или стандартной (простейшей) цепной дробью. Знаменатели звеньев называются неполными частными. Заметим, что в теории чисел неполными частными обычно являются натуральные числа, т. е. целые положительные.

1.2 Обращение цепной дроби в обыкновенную и обратно

Всякую конечную цепную дробь можно обратить в обыкновенную. Для этого достаточно произвести все действия, указанные в изображении цепной дроби.

Пример 1. Обратить цепную дробь

в обыкновенную.

Решение. Последовательно выполняя указанные действия, находим:

1) ; 4) ;

2) ; 5) .

3) ;

Следовательно,

Обратно всякое положительное рациональное число можно представить в виде цепной дроби с натуральными элементами. Пусть, например, дана дробь . Исключив из неё целую часть а0 , будем иметь:

где r0 - остаток (если - правильная дробь, то а0 = 0 и r0 = р).

Разделив теперь числитель и знаменатель дроби на r0, получим:

где а1 - целое частное, r1 - остаток от деления q на r0.

Разделив числитель и знаменатель дроби на r1, получим:



где а2 - целое частное, r2 - остаток от деления r0 на r1. Аналогично можно продолжить процесс дальше.

Так как q > r0 > r1 > r2 >r3 > . . . и ri ( i = 0, 1, 2, . . . ) - целые положительные числа, то в конце концов мы будем иметь остаток rn = 0, т. е.

Подставляя выражение дробей , будем иметь:

Пример 2. Обратить в цепную дробь

Решение. Последовательно имеем:

Таким образом, .

Аналогично преобразуются общие цепные дроби.

Пример 3. Обратить цепную дробь

в обыкновенную.

Решение. Имеем:

Таким образом,

1.3 Подходящие дроби

Пусть дана конечная или бесконечная цепная дробь

(1)

Обыкновенную дробь

(k = 1, 2, . . . ),

где , называют k-подходящей дробью цепной дроби (1). Следуя Эйлеру, обычно полагают:

причем для определенности считают, что

P0 = a0, Q0 = 1

и (2)

P-1 = 1, Q-1 = 0

При работе на ЭВМ подходящие цепные дроби

удобно находить с помощью схемы Горнера для деления

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Указанная последовательность действий легко программируется.

Теорема 1. (Закон составления подходящих дробей). Числа Pk,, Qk ( k= -1, 0, 1, 2,. . .), определяемые из соотношений

(3)

Где P0=a0, Q0=1, P-1=1, Q-1=0 (4)

являются соответственно числителями и знаменателями подходящих дробей цепной дроби (1) (такие подходящие дроби будем называть каноническими).

Замечание. Так как члены подходящих дробей определяются неоднозначно, то в общем случае нельзя утверждать, что числитель и знаменатель подходящих дробей неканонического вида удовлетворяют уравнениям (3). В дальнейшем мы будем предполагать, что рассматриваемые подходящие дроби являются каноническими.

Следствие. Для обыкновенной цепной дроби

числители и знаменатели ее подходящих дробей ( k = 1, 2, . . . ) могут быть определены из соотношений

(3.1.)

где положено p0 = a0 , p--1 = 1 и q0 = 1, q--1 = 0.

Замечание. Для нахождения по формулам (3) членов последовательных подходящих дробей удобно применять следующую схему:

k	-1	0	1	2	3	. . .
bk		1	b1	b2	b3	. . .
ak		a0	a1	a2	a3	. . .
Pk	1	a0	P1	P2	P3	. . .
Qk	0	1	Q1	Q2	Q3	. . .

Для обыкновенной цепной дроби, где bk = 1 ( k = 1, 2, . . .) и имеют место формулы (3.1.), в схеме опускают строку bk..

Теорема 2. Для двух соседних подходящих дробей и цепной дроби (1) справедлива следующая формула

(5)

Следствие 1. Если и - две соседние подходящие дроби цепной дроби (1), то



Следствие 2. Для соседних подходящих дробей обыкновенной цепной дроби справедливо равенство

(6)

Теорема 3. Для двух одинаковой четности соседних подходящих дробей и цепной дроби (1) справедливо соотношение

(7)

Следствие. Если - две соседние подходящие дроби одинаковой четности для обыкновенной цепной дроби

,

то имеет место соотношение

 (8)

Полученный ряд простых результатов позволяет нам легко сделать весьма важные заключения о взаимном расположении подходящих дробей данной цепной дроби. В самом деле, равенство (8) показывает,что подходящие дроби четных порядков образуют возрастающую последовательность, а подходящие дроби нечетных порядков - убывающую последовательность, так что эти две последовательности идут друг другу навстречу (всё это, разумеется, при условии о положительности всех элементов, начиная с а1 ). Так как в силу равенства (6) каждая дробь нечетного порядка больше дроби непосредственно следующего четного порядка, то , очевидно, и любая подходящая дробь нечетного порядка должна быть больше любой подходящей дроби четного порядка, и мы приходим к следующему заключению:

Теорема 4. Если все элементы конечной цепной дроби положительны, то её подходящие дроби четного порядка образуют монотонно возрастающую последовательность, а подходящие дроби нечетного порядка образуют монотонно убывающую последовательность. При этом каждая подходящая дробь четного порядка меньше любой подходящей дроби нечетного порядка. Само же число , выражаемое цепной дробью, содержится между двумя соседними подходящими дробями.

Следствие 1. Если элементы цепной дроби

(9)

положительны и - её подходящие дроби, то справедлива оценка

Следствие 2. Если цепная дробь (9) с положительными элементами - обыкновенная и - её последовательные подходящие дроби, то

Замечание. Если элементы обыкновенной цепной дроби - натуральные, то можно показать , что подходящая дробь является наилучшим приближением числа , т. е. все остальные дроби со знаменателем отклоняются от числа больше, чем дробь .

1.4 Бесконечные цепные дроби

Пусть

 (1)

бесконечная цепная дробь. Рассмотрим её отрезок, т. е. конечную цепную дробь

( п = 1, 2, 3, . . .). (2)

Определение. Бесконечная цепная дробь (1) называется сходящейся, если существует конечный предел

(3)

причём число принимается за значение этой дроби. Если же предел (3) не существует, то цепная дробь (1) называется расходящейся и ей не приписывается никакого числового значения.

Согласно критерию Коши для сходимости последовательности (п = 1, 2, 3, . . .) необходимо и достаточно, чтобы для каждого > 0 существовало число N = N () такое, что

при n > N и любом m>0.

Если , то, очевидно, имеем:

(4)

Отсюда

(5)

т. е. сходимость цепной дроби (1) эквивалентна сходимости ряда (5). Если цепная дробь (1) сходится:

то в силу формул (4) и (5) имеем оценку

Теорема 1. Если все элементы ak , bk ( k = 0, 1, . . .) цепной дроби (1) положительны, причем

и ( k =1, 2, . . .), (6)

то цепная дробь (1) - сходящаяся.

Замечание. Для сходящейся дроби (1) с положительными элементами её значение заключено между двумя последовательными подходящими дробями и . Следовательно,

Следствие. Обыкновенная цепная дробь с натуральными элементами всегда сходится.

Можно доказать также следующие теоремы.

Теорема 2. Каждое положительное число а можно разложить в обыкновенную сходящуюся цепную дробь с натуральными элементами, причем это разложение единственно. Полученная цепная дробь конечна, если - рациональное число, и бесконечна, если - иррациональное число.

Теорема 3 (Принсгейма) Если для бесконечной цепной дроби

(7)

выполнены неравенства

( п = 1, 2, . . .) (8)

то эта дробь - сходящаяся, причем абсолютное её значение не превышает единицы.

Замечание 1. Для сходимости цепной дроби (7) достаточно, чтобы неравенство (8) имело место при , причем при .

2. Решение одного уравнения Риккати с помощью цепных дробей

В математике существует несколько способов разложения функций в цепные дроби. Один из них связан с составлением и решением дифференциального уравнения. Суть этого способа состоит в следующем. Составляется дифференциальное уравнение, решением которого является заданная функция. При помощи последовательной подстановки

( n = 1, 2, 3, . . .; y0 = y )

находят решение этого уравнения в виде цепной дроби

Для того, чтобы получить цепную дробь с известным общим звеном, ап выбирают так, чтобы в результате подстановки тип дифференциального уравнения не менялся. Однако, в большинстве случаев таким способом очень трудно получить общее звено цепной дроби.

Лагранж предложил следующий способ решения дифференциальных уравнений с помощью цепных дробей.

Пусть дано дифференциальное уравнение, связывающее у с х. Пусть при малых . Положим и подставим это соотношение в исходное уравнение. Получим дифференциальное уравнение, связывающее у1 с х. Пусть при малых . Положим и повторим тот же процесс. В итоге мы придем к решению исходного уравнения в виде цепной дроби . удобнее искать в виде , где .

При решении дифференциальных уравнений по методу Лагранжа далеко не всегда удаётся найти общий член цепной дроби, являющейся решением уравнения. Поэтому представляет интерес рассмотреть такое дифференциальное уравнение, решение которого по метолу Лагранжа выражается цепной дробью с известным общим членом и из которого получаются разложения в цепные дроби многих употребительных функций. В качестве такого уравнения мы возьмём уравнение, решенное Санелевичи по методу Лагранжа,

(1)

где - постоянные, причем .

Заметим, что почти все уравнения, решения которых были разложены в цепные дроби Лагранжем и Эйлером, являются частным случаем уравнения

(2)

где - постоянные.

Выясним связь между уравнениями (1) и (2). Для этого исключим из уравнения (1) параметр и освободимся в этом уравнении от знаменателей, считая, что . Имеем:

Разделив правую и левую части уравнения на , получим после небольших преобразований

Введем обозначения

Тогда предыдущее уравнение примет вид

(3).

3. Об одном способе разложения функции в присоединенную цепную дробь

Как известно, одним из основных источников получения дробно - рациональных приближений функций f ( z ) является разложение их в правильные с - цепные дроби или присоединенные цепные дроби.

Присоединенные цепные дроби имеют вид:

(1)

(2)

Один из первых и основных методов разложения функций в цепные дроби состоит в преобразовании соответствующих степенных рядов или их соотношений в правильную с - цепную дробь. Исследованиями этого метода занимались Висковатов, Чебышев, Гаусс, Стилтьес, Хайлерманн, Фробениус, Перрон и другие.

Известно, что сжимая правильную с - цепную дробь

в два раза по формулам сжатия, получим цепные дроби (1) или (2). Однако не всякую функцию можно разложить в правильную с - цепную дробь. К таким функциям относятся, в частности, sin z, cos z, arcsin z, arccos z и другие. Важно отметить следующую замечательную особенность из теории цепных дробей: «область сходимости присоединенной цепной дроби значительно больше, чем область сходимости соответствующего степенного ряда».

Далее приводится один из первых способов разложения функций в присоединенные цепные дроби (1) и (2) без предварительного их разложения в степенные ряды и правильные с - цепные дроби. При этом коэффициенты цепных дробей (1) и (2) вычисляются по рекуррентным формулам, зависящим от производных.

Этот способ позволяет получить все разложения функций в присоединенную цепную дробь, найденные ранее методами Лагранжа, Гаусса, Висковатова с последующим сжатием в два раза.

В работе Зарудняк Л.В. «Интерполирование функций цепными дробями вида » была построена интерполяционная цепная дробь

(3)

которая интерполирует данную функцию f ( z ) на любом конечном четном множестве заранее выбранных различных точек из области существования этой функции. Очевидно, что если в цепной дроби (3) отбросить последнее звено, то получим приближенное значение функции f ( z ) в виде рациональной функции , где Pn ( z ) и Qn ( z ) суть полиномы степени соответственно n и n-1.

Подходящие дроби (здесь i = 1, 2, . . .) цепной дроби (3) определяются по известным формулам или в виде отношения определителей.

,

где .

Рассмотрим предельный случай, когда все . Тогда из (4) последовательно находим

и т. д.

Отсюда и из (3) имеем

Продолжая этот процесс, на п - м шаге получим

 (5)

Переходя к пределу в равенстве (3) при , находим

(6)

Таким образом, формула (6) позволяет получить разложение в присоединенную цепную дробь типа (2) для функции f (z) в окрестности некоторой фиксированной точки а подобно формуле Тейлора в теории рядов. Если взять интерполяционную цепную дробь

(7)

дробь горнер риккати

которая интерполирует данную функцию f ( z ) в различных точках zj c любым нечетным числом узлов интерполяции, то аналогичным методом получим другую функциональную формулу, а именно:

(8)

i = 2, 3, . . .

Формула (8) даёт способ разложения в присоединённую цепную дробь типа (1) для функции f ( z ) в окрестности некоторой фиксированной точки а.

Пример 1. Разложить функцию f ( z ) =cos( z ) в цепную дробь по формуле (6) в окрестности точки z = 0.

Получаем



По формуле (6) получим известное разложение

Пример 2. Разложить функцию f ( z ) =sin z в цепную дробь по формуле (8) в окрестности точки z = 0.

Получаем

Следовательно, используя формулу (8), получаем известное разложение

Таким образом, получен метод разложения функций sin z и cos z в цепную дробь без предварительного преобразования соответствующих степенных рядов или их отношений. Кроме того, по формулам (6) и (8) получаются разложения функций в присоединённые цепные дроби, ранее не известные. Покажем это на примере.

Пример 3. Разложить функцию f ( z ) = arcsin z в цепную дробь по формулам (8) в окрестности точки z = 0.

Получаем

По формуле (8) находим

Аналогично можно получить разложение в присоединённую цепную дробь функции f ( z ) = arccos z и другие. Путём применения формул (6) и (8) можно получить все известные разложения функций в цепные дроби вида (1) и (2).

Пример 4. Разложим в окрестности точки z = 0. Последовательно находим:

Тогда, подставляя в формулу (6), имеем:

с последовательностью подходящих дробей:

Например, при z = 0.125 По формуле Тейлора имеем: S3 = 1.132812, а по таблице

Пример 5. Разложить функцию ln (1+z) в окрестности точки z = 0. Последовательно находим:

Тогда, используя (6), имеем:

с последовательностью подходящих дробей

Например, при z = 0.35, получим:

По формуле Тейлора имеем: S5 = 0.30034 ; S9 = 0.300107 , а по таблице ln(1.35) = 0.300105.

Теорема (о сходимости цепной дроби вида (6)). Если цепная дробь (6) равномерно сходится в ограниченной связной области D ,содержащей внутри себя нулевую точку, то она внутри этой области представляет собой аналитическую функцию. Внутри всякого круга , включенного в D , эта цепная дробь равна соответствующему степенному ряду.

Доказательство. Поскольку цепная дробь (6) равномерно сходится в области D , то в этой области равномерно сходится последовательность её подходящих дробей , для , то есть равномерно сходится ряд

(9)

По рекуррентным формулам для числителей и знаменателей подходящих дробей можно убедиться, что подходящие дроби цепной дроби (6) являются рациональными функциями вида , отсюда следует, что они являются аналитическими в любой области, кроме полюсов. Но в следствии равномерной сходимости последовательности подходящих дробей, для , а значит, , являются аналитическими во всей области D. Значит, все члены ряда (9) будут аналитическими функциями в области D. Отсюда по теореме Вейерштрасса для функциональных рядов следует, что сумма ряда (9) есть аналитическая функция, а значит, и цепная дробь (6) будет аналитической функцией в области D.

Далее известно, что цепной дроби (6) однозначно соответствует степенной ряд так, что для каждого ряд Тейлора для подходящей дроби до степени включительно совпадает с ним.

Следовательно, разложение в степенной ряд частной суммы Sn-m-1 ряда (9) совпадает с рядом K0 ( z ) до степени 2п+1 включительно. Но так как являются аналитическими в области D , то они аналитические и в любом круге, лежащем в D , то есть разлагаются в степенной ряд, совпадающий с рядом K0 ( z ) до степени 2п+1 в любом круге из D.

Поскольку ряд (9) и K0 ( z ) равномерно сходятся, следовательно их равенство в любом круге из D.

Теорема доказана.

Размещено на Allbest.ru