Основы вычислительной математики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекционный курс

Тема 1. Основы вычислительной математики (3 часа)

План

Введение

1. Классификация задач ЧМ

2. Основы теории погрешностей

3. Прямая задача теории погрешностей

4. Обратная задача теории погрешностей

Литература

Введение

Численные методы решения задач на ЭВМ - часть вычислительной математики. Исторически вычислительная математика развивалась параллельно общей математике и часто ее просто заменяла. Постепенно выделился абстрактный метод описания математики и вычислительная математика стала частью всей математики. Отсутствие вычислительной техники заставляло математиков разрабатывать методы удобные для ручных расчетов, составлять таблицы специальных коэффициентов и т.д.. По мере развития инженерной техники расчетов требовалось все больше, справочники с таблицами росли и создавались все новые специальные методы ручного расчета (в том числе и методы для арифмометров, логарифмических линеек и т.д.). Появление вычислительной техники (ЭВМ) определило развитие специальных методов удобных именно для расчетов на ЭВМ. Так появились численные методы ЭВМ.

Сфера применения ЧМ чрезвычайно велика, практически всегда, когда используется ЭВМ то нужны те или иные ЧМ. Это компьютерная графика, компьютерное моделирование, обработка данных, различные расчеты и вычисления, реализация алгоритмов сжатия и преобразования информации и т.д.. Фактически знание ЧМ является базовым элементом знаний, необходимых для эффективного использования ЭВМ.

1. Классификация задач ЧМ

1. Теория погрешностей.

2. Методы решения нелинейных уравнений.

3. Методы решения систем линейных уравнений.

4. Методы решения систем нелинейных уравнений.

5. Методы интерполяции и аппроксимации.

6. Методы оптимизации.

7. Методы численного дифференцирования и интегрирования.

8. Методы решения задачи Коши для ОДУ.

9. Методы решения краевой задачи для ОДУ.

10. Методы решения ДУ в частных производных.

2. Основы теории погрешностей

Погрешность - это разница между точным значением величины и известным значением. Известное значение называют приближенным.

Абсолютной погрешностью приближённой величины А называется модуль разности точного (АТ) и приближённого значения (А).

Относительной погрешностью г называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближённой величины.

Абсолютную погрешность обычно невозможно определить, так как неизвестно точное значение, поэтому пользуются оценками этой величины.

Оценка погрешности d - это положительная величина заведомо превышающая реальную абсолютную погрешность. По данному определению понятно, что оценок бесконечно много. Среди всех возможных при данной информации оценок погрешностей есть наименьшая. Такая оценка называется предельной погрешностью. В некоторых случаях предельная погрешность равна абсолютной, а в некоторых - больше. Целью оценки погрешности всегда является максимальное приближение к предельной погрешности.

Замечание. Если у нас известна абсолютная погрешность или какая-то её оценка d(A), то мы можем утверждать, то точное значение точно находится на отрезке [A-d(A),A+d(A)]. Данный отрезок принято называть интервалом неопределённости величины А. Для удобства интервал неопределённости записывают в виде A d(A) .

Существует так же специальное правило записи погрешности:

1. Все цифры, которые по разряду больше погрешности, называются верными, остальные - приближёнными.

2. При записи чисел записывают только одну приближённую цифру, при записи погрешности используют одну или две значащие цифры.

С помощью определения абсолютной и относительной погрешности можно построить формулы для оценки погрешности математических операций - для суммы:

- получили удобную для практики оценку: абсолютная погрешность суммы равна сумме погрешностей.

Для разности формула аналогична:

3. Для произведения получим следующую формулу:

.

4. Формула для оценки погрешности отношения (без вывода):

3. Прямая задача теории погрешностей

Прямая задача: заданы значения приближённых величин А, В, С и их погрешности d(A), d(B), d(C) и функция этих величин F(A,B,C). Требуется найти погрешность этой функции d(F).

Наиболее распространенным методом решения прямой задачи является метод последовательных приближений, когда погрешность оценивается разложением в ряд Тейлора:

=>

Для последовательных приближений учитывается конечное число членов ряда. В первом приближении

,

во втором -

,

в третьем -

.

Формула для n - го приближения:

.

Для функций двух аргументов F(A,B) разложение будет гораздо сложнее

На практике (для таких функций) ограничиваются первым приближением.

Решить прямую задачу можно и традиционным способом - используя определения абсолютной или относительной погрешности и оценки для основных математических операций (+, -, *, / ).

4. Обратная задача теории погрешностей

Обратная задача: заданы значения приближённых величин А, В, С, функция этих величин F(A,B,C) и погрешность этой функции d(F). Необходимо найти подходящие погрешности d(A), d(B), d(C). Эта задача имеет множество решений и является более сложной

Существуют несколько методов решения:

1. Равных погрешностей.

2. Равных вкладов.

3. Оптимизации (линейной или нелинейной).

Метод равных погрешностей

Суть метода - все погрешности величин считаются равными между собой. Введем обозначение:

Теперь выражение для первого приближения погрешности будет таким:

Окончательно формула оценки для погрешности

Метод равных вкладов

Суть метода - все вклады погрешностей величин считаются равными между собой. Введем обозначение:

численный погрешность оптимизация

Теперь для оценки погрешности получим

Здесь N - количество равных вкладов, окончательно будем иметь оценку

Метод оптимизации

Суть метода - все погрешности величин считаются разными и их вклады тоже считаются разными. Тогда существует бесконечное множество решений задачи с разным выбором величин погрешностей. Для того чтобы выбрать 1 решение, мы должны ввести дополнительное условие - критерий оптимизации. Это условие должно определять (математически как max или min) наилучший вариант выбора величин погрешностей. Такую задачу называют задачей оптимизации. Если критерий будет линейным, то это линейная оптимизация. В противном случае мы имеем дело с нелинейной оптимизацией. Разработаны специальные методы численного решения таких задач, которые изучаются в курсе «Исследование операций».

Литература

1. Бахвалов Н. и др. Численные методы. - М.: Лаборатория базовых знаний. 2000.-624с.

2. Бахвалов Н.С. и др. Численные методы в задачах и упражнениях. -М.:Высшая школа.2000. -190с.

3. Вержбицкий В.М. Численные методы. Математический анализ и ОДУ.-М.: Высшая школа. 2001. -382 с.

4. Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения.-М.: Высшая школа. 2000. -266 с.

5. Гриненко Е.В., Емельянова М.В., Пушечкин Н.П. Численные методы (учебно-методическое пособие).- Славянск-на-Кубани. ч.1 ООО «Берегиня». 2003. -64 с. ч.2 Изд. СГПИ. 2005. -56 с.

Размещено на Allbest.ru