Особенности гипотезы Бернулли

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

гипотеза мысленный сечение сопротивление

Сопротивление материалов базируется на понятии «прочность», что является способностью материала противостоять приложенным нагрузкам и воздействиям без разрушения. Сопротивление материалов оперирует такими понятиями как: внутренние усилия, напряжения, деформации. Приложенная внешняя нагрузка к некоторому телу порождает внутренние усилия в нём, противодействующие активному действию внешней нагрузки. Внутренние усилия, распределенные по сечениям тела, называются напряжениями. Таким образом, внешняя нагрузка порождает внутреннюю реакцию материала, характеризующуюся напряжениями, которые в свою очередь прямо пропорциональны деформациям тела. Деформации бывают линейными (удлинение, укорочение, сдвиг) и угловыми (поворот сечений). Основные понятия сопротивления материалов, оценивающие способность материала сопротивляться внешним воздействиям:

1. Несущая способность -- способность материала воспринимать внешнюю нагрузку не разрушаясь;

2. Жесткость -- способность материала сохранять свои геометрические параметры в допустимых пределах при внешних воздействиях

3. Устойчивость -- способность материала сохранять в стабильности свою форму и положение при внешних воздействиях

1.Гипотеза Бернулли

В названии техническая теория стержней ударение на термин «техническая» подчёркивает тот факт, что в сопротивлении материалов задачи механики деформируемого твёрдого тела решаются приближёнными методами, основанными на ряде упрощающих предположений (гипотез) о характере напряжённо-деформированного состояния стержней. Благодаря этим гипотезам существенно упрощается вывод расчётных формул, позволяющих судить о прочности, жёсткости и устойчивости разнообразных конструкций и их элементов с приемлемой для практики точностью.

Одной из фундаментальных гипотез, принятием которой сопротивление материалов отличается от теорий упругости и пластичности, является гипотеза плоских сечений, или гипотеза Бернулли(по имени учёного Якова Бернулли, впервые её высказавшего в 1705 г.).

Рис.

Гипотеза плоских сечений. Плоские сечения, нормальные к оси стержня до деформации, остаются плоскими и нормальными к оси стержня после деформации.

Обычно данная традиционная формулировка дополняется (явно или неявно) следующим важным уточнением: в процессе деформирования расстояние между точками поперечного сечения не меняется.

Формулировка гипотезы плоских сечения: поперечные сечения, плоские и перпендикулярные к оси балки до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными к изогнутой оси после ее деформации.

Это обстоятельство свидетельствует: при изгибе выполняется гипотеза плоских сечений, как при растяжении и кручении

Помимо гипотезы плоских сечений принимается допущение: продольные волокна балки при ее изгибе не надавливают друг на друга.

С точки зрения логики подобная гипотеза подразумевает наложение на материал специфических внутренних связей, которые обеспечивали бы абсолютную твердость сечений, а также отсутствие изменения угла, заключенного между осью стержня, которая подвергается деформации, и поперечными сечениями последнего. В связи с этим напряжения, возникающие под воздействием сил реакции вышеупомянутых внутренних связей накладываются на те напряжения, которые возникают из-за деформации материала, из которого выполнен стержень.

А определить их возможно исключительно из уравнений движения, или же равновесия для определенных элементарных объемов стержня. Следовательно, неизменным атрибутом деформации прямого стержня является искривление оси последнего, которая носит название изогнутой, или же упругой оси.

Внутренние усилия в растянутом стержне:

Рис.

Используя метод мысленных сечений, определим внутренние усилия в растянутом стержне:

а) стержень, нагруженный растягивающими силами F и находящийся в равновесии, рассекаем произвольным сечением;

б) отбрасываем одну из частей стержня, а ее действие на другую часть компенсируем внутренними усилиями, интенсивностью у;

в) осевое внутреннее усилие N, возникающее в сечении стержня, определим, составляя уравнения равновесия для отсеченной части:

x N F=У

Проецируя внешнюю силу F, действующую на отсеченную часть стержня, на другие оси (y и z), а также составляя уравнения моментов относительно координатных осей, легко убедится, что осевое усилие N является единственным внутренним усилием, возникающим в сечении стержня (остальные тождественно равны нулю).

Таким образом, при растяжении (сжатии) из шести внутренних усилий в сечении стержня возникает только одно - осевое усилие N.

Нормальные напряжения уx, возникающие в сечении стержня, связаны с осевым усилием N следующим образом: xdNdAу=, или xANdA =у??.

Учитывая, что в соответствии с гипотезой Бернулли напряжения равномерно распределены по поперечному сечению (т. е. уx=const), можно записать:

xNA=у?.

Таким образом, нормальные напряжения при растяжении (сжатии) опреде-ляютсякак:уx=NA.

Гипотеза плоских сечений при изгибе:

Гипотезу плоских сечений при изгибе можно объяснить на примере: нанесем на боковой поверхности недеформированной балки сетку, состоящую из продольных и поперечных (перпендикулярных к оси) прямых линий. В результате изгиба балки продольные линии примут криволинейное очертание, а поперечные практически останутся прямыми и перпендикулярными к изогнутой оси балки.

Таким образом, в общем случае деформация прямого стержня сопровождается искривлением его оси, называемой изогнутой или упругой осью. При этом согласно гипотезе Бернулли поперечные сечения стержня перемещаются как абсолютно твёрдые плоские фигуры, которые совершают поступательное перемещение вместе со своим центром тяжести и поворачиваются на угол вокруг некоторой оси, проходящей через этот центр (рис. 1.12). Здесь - некоторая фиксированная точка оси недеформированного стержня, взятая за начало координат ; , - радиус-векторы центров тяжести , произвольного поперечного сечения в недеформированном и деформированном состоянии стержня соответственно; - координата точки , - криволинейная координата точки ; , - орты осей и , жестко связанных с сечением. При деформировании стержня оси и занимают новое положение и с направляющими ортами , . Наконец, и - орты касательных к оси (исходной и изогнутой) стержня, совпадающие с ортами нормали , поперечного сечения до и после деформирования:

, .

Забегая вперёд, можно отметить, что в приближении малых перемещений, когда угол поворота достаточно мал, из формулы Эйлера вытекают приближённые равенства

, , .

2.Общий случай деформации стержня

Замечание. Формула Эйлера описывает распределение скоростей в абсолютно твёрдом теле при его вращении с угловой скоростью относительно неподвижной точки (например, центра тяжести тела). За малый промежуток времени тело поворачивается на малый угол , а радиус-вектор произвольной точки тела получает малое приращение . Поэтому . Отсюда, полагая поочерёдно , , , приходим к выражениям.

Рис.

Заключение

Методы сопротивления материалов широко используются при расчете несущих конструкций зданий и сооружений, в дисциплинах связанных с проектированием деталей машин и механизмов.

Как правило, именно из-за оценочного характера результатов, получаемых с помощью математических моделей этой дисциплины, при проектировании реальных конструкций все прочностные характеристики материалов и изделий выбираются с существенным запасом (в несколько раз относительно результата, полученного при расчетах).

В студенческой среде сопротивление материалов считается одной из наиболее сложных общепрофессиональных дисциплин, в основном из-за тяжелой сухой подачи теории, отсутствия хороших наглядных учебных пособий, компьютерного моделирования и учебного видео, что дало богатую пищу студенческому фольклору и породило целый ряд шуток и анекдотов.

1. Размещено на Allbest.ru