Определение математической структуры

Размещено на http://www.allbest.ru/

Определение математической структуры

Дать в настоящее время общее представление о математической науке - значит заняться таким делом, которое, как кажется, натолкнется на почти непреодолимые трудности благодаря обширности рассматриваемого материала. В соответствии с общей тенденцией в науке с конца XIX века число математиков и число работ, посвященных математике, значительно выросло. Статьи по чистой математике, публикуемые в течение одного года, охватывают многие тысячи страниц. Не все они имеют одинаковую ценность, но, тем не менее, оказывается, что математическая наука обогащается массой новых результатов, приобретает все более разнообразное содержание и постоянно дает ответвления в виде теорий, которые беспрестанно видоизменяются, перестраиваются и комбинируются друг с другом.

Но можно спросить себя, является ли это обширное разрастание развитием крепко сложившегося организма, который с каждым днем приобретает все больше и больше согласованности и единства между своими вновь возникающими частями, или оно является только внешним признаком тенденции к идущему все дальше и дальше распаду, обусловленному самой природой математики? Не стоит ли математика на пути к скоплению автономных дисциплин, изолированных друг от друга, как по своим методам, так и по своим целям и даже по языку?

В начале XX века, казалось, почти полностью отказались от взгляда на математику, как на науку, характеризуемую единым предметом и единым методом. В настоящее же время внутренняя эволюция математической науки вопреки видимости более чем когда-либо упрочила единство ее различных частей и создала своего рода центральное ядро, которое является гораздо более связным целым, чем когда бы то ни было. Существенное в этой эволюции заключается в систематизации отношений, существующих между различными математическими теориями. Ее итогом явилось направление, которое обычно называют «аксиоматическим методом».

Определение 1.1 Аксиоматический метод - способ построения научной теории, при котором в основу кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные предложения получаются как логические следствия аксиом.

Аксиоматический метод построения научной теории заключается в следующем: выделяются основные понятия, формулируются аксиомы теории, а все остальные утверждения выводятся логическим путём, опираясь на них.

Основные понятия выделяются следующим образом. Известно, что одно понятие должно разъясняться с помощью других, которые, в свою очередь, тоже определяются с помощью каких-то известных понятий. Таким образом, мы приходим к элементарным понятиям, которые нельзя определить через другие. Эти понятия и называются основными, или неопределяемыми.

Когда мы доказываем утверждение, теорему, то опираемся на предпосылки, которые считаются уже доказанными. Но эти предпосылки тоже доказывались, их нужно было обосновать. В конце концов, мы приходим к недоказуемым утверждениям и принимаем их без доказательства. Эти утверждения называются аксиомами. Набор аксиом должен быть таким, чтобы, опираясь на него, можно было доказать дальнейшие утверждения.

Основные понятия делятся на два вида: одни обозначают объекты, которыми занимается теория, другие обозначают отношения между ними. Так, точка и прямая - это объекты геометрии, а то, что точка принадлежит прямой, - отношение между ними. Необходимость введения основных понятий очевидна, так как процесс, состоящий в том, чтобы определить одни объекты через другие, более простые, а эти в свою очередь через еще более простые, не будет ограничен до тех пор, пока некоторые объекты не будут считаться неопределяемыми.

Чтобы проиллюстрировать примером только что описанный метод, рассмотрим некоторые множества . Всякое непустое подмножество называют отношением, определенным во множествах . Если , то говорят, что элементы находятся в отношении . Пусть на заданы некоторые отношения . Обозначим через свойства этих отношений, которые не сформулированы явно.

Определение 1.2 Математической структурой называется множество где отношения обладают свойствами .

Список является списком аксиом, а элементы называют основными, или неопределяемыми понятиями, а отношения - неопределяемыми отношениями. Таким образом, математическая структура определяется списком аксиом .

Теперь объясним, что надо понимать в общем случае под математической структурой. Общей чертой различных понятий, объединенных этим родовым названием, является то, что они применимы к множеству элементов, природа которых не определена. Чтобы определить структуру:

1. Задают одно или несколько отношений, в которых находятся его элементы;

2. Затем постулируют, что данное отношение или данные отношения удовлетворяют некоторым условиям, которые перечисляют и которые являются аксиомами рассматриваемой структуры.

Построить аксиоматическую теорию данной структуры - это значит вывести логические следствия из аксиом структуры, отказавшись от каких-либо других предположений относительно элементов. В частности от всяких гипотез относительно их природы.

математический наука аксиоматический

Размещено на Allbest.ru