Криволинейный интеграл
Понятие криволинейного интеграла 1-ого рода от функции как предела интегральной суммы, полученной в результате разбиения этой кривой на малые участки с длиной и постоянной плотностью, механический смысл и порядок определения. Координаты центра тяжести.
| Рубрика | Математика |
| Вид | практическая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 18.10.2013 |
| Размер файла | 34,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задача: Кусочно-гладкая кривая линия L на плоскости соединяет точки А и В и определяется уравнением y = y(x), [a, b] или x = x(t), y = y(t) (t1<t<t2). Вдоль кривой распределены массы с плотностью f(M) для каждой точки М. Вычислим общую массу всей системы метод интегральной суммы.
Опр. Криволинейным интегралом 1-ого рода от функции f (x, y) вдоль кривой L наз. предел интегральной суммы, полученной в результате разбиения этой кривой на малые участки с длиной si и постоянной плотностью f(xi, yi). Переменной интегрирования является длина кривой s.
J = lim f(xi, yi) si f (x, y) ds f (x, y) ds (1)
n
Механический смысл криволинейного интеграла 1 рода: общая масса тел распределенных вдоль кривой с переменной плотностью.
Криволинейный интеграл сводится к обыкновенному определенному интегралу несколькими способами, в зависимости от способа описания кривой L.
1) Кривая L задана параметрически: x = (t), y = (t), t1tt2.
Тогда, длину отдельного отрезка можно представить в виде
s == и при n
sds =dt
J =f (x, y) ds = f((t),(t)) dt (2)
2) Кривая L задана явным уравнением: y = y(x) на [a, b].
Тогда s = или ds = dx. В результате имеем
J = f (x, y) ds = f (x, y(x)) dx (3)
Замена в f (x, y) переменной у на y(x) означает переход к значениям функции на кривой.
При f (x, y) = 1 интеграл определяет длину дуги: S = dx
Пример 1. Определить длину дуги кривой y = x2/2 - 1, отсеченной осью Ох.
Решение
Точки пересечения линий: (-,0), (,0)
y = x2/2 - 1, y` = x, = , - x
S = dx = dx = + ln ()
Пр. 2 Найти координаты центра тяжести дуги циклоиды x = t - sin t, y = 1 - cos t, 0 t
Решение: Координаты центра тяжести однородной дуги кривой L вычисляются по формулам: xc = , yc = , где s - длина дуги. (4)
Имеем (x`t)2 + (y`t)2 = (1 - cos t)2 + (sin t)2 = 2 (1 - cos t) = 4 sin2(t/2), тогда по (2)
ds = 2 sin (t/2) dt и длина дуги S = ds = 2sin (t/2) dt = - 4 cos (t/2) |0 = 4
криволинейный координата интеграл
xc = = 2/4(t - sin t) sin (t/2) dt = 8/3
yc = = 2/4(1 - cos t) sin (t/2) dt = 4/3
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Алгоритм вычисления интегральной суммы для функции нескольких переменных по кривой АВ. Определение понятия криволинейного интеграла второго рода. Представление суммы интегралов двух функций вдоль кривой АВ как криволинейного интеграла общего вида.
презентация [69,4 K], добавлен 17.09.2013Алгоритм вычисления интегральной суммы для функции нескольких переменных f(x, y) по плоской кривой АВ. Ознакомление с понятием криволинейного интеграла первого рода. Представление формулы расчета криволинейного интеграла по пространственной кривой.
презентация [306,9 K], добавлен 17.09.2013Определение криволинейного интеграла по координатам, его основные свойства и вычисление. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Вычисление площадей фигур с помощью двойного интеграла. Использование формулы Грина.
контрольная работа [257,4 K], добавлен 23.02.2011Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, как предел интегральной суммы. Связь между определенным и неопределенным интегралами. Формула Ньютона-Лейбница. Геометрический и механический смысл определенного интеграла.
реферат [576,4 K], добавлен 30.10.2010Интеграл по кривой, заданной уравнением y=y(x). Вычисление криволинейного интеграла. Кривая от точки А к В при изменении параметра. Непрерывные функции со своими производными. Отрезок параболы, заключенный между точками. Решение разными методами.
презентация [44,4 K], добавлен 17.09.2013Способы определения точного значения интеграла по формуле Ньютона-Лейбница и приближенного значения интеграла по формуле трапеций. Порядок нахождения координаты центра тяжести однородной плоской фигуры ограниченной кривой, особенности интегрирования.
контрольная работа [459,6 K], добавлен 16.04.2010Вычисление площади фигуры, ограниченной заданными линиями, с помощью двойного интеграла. Расчет двойного интеграла, перейдя к полярным координатам. Методика определения криволинейного интеграла второго рода вдоль заданной линии и потока векторного поля.
контрольная работа [392,3 K], добавлен 14.12.2012Понятие интеграла Римана, анализ его определений. Интеграл как предела интегральных сумм Римана, единственное число, разделяющее верхние и нижние суммы Дарбу. Интеграл от непрерывной функции как приращение первообразной (формула Ньютона-Лейбница).
курсовая работа [2,2 M], добавлен 30.10.2015Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы по формуле Ньютона–Лейбница, замена переменной и интегрирование по частям. Длина дуги в полярной системе координат.
контрольная работа [345,3 K], добавлен 22.08.2009Криволинейный интеграл первого и второго рода. Площадь области, ограниченной замкнутой кривой. Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой. Центр масс и моменты инерции кривой. Магнитное поле вокруг проводника с током. Сущность закона Фарадея.
реферат [1,4 M], добавлен 09.01.2012