Тройной интеграл
Сущность и физический смысл тройного интеграла как предела интегральной суммы, полученной путем разбиения объема на элементарные области. Вычисление повторных интегралов при учете конфигурации области интегрирования в зависимости от системы координат.
| Рубрика | Математика |
| Вид | практическая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 18.10.2013 |
| Размер файла | 38,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Тройной интеграл
Задача о вычислении массы тела
Имеем объем V заполненный массой с переменной плотностью f (x, y, z). Вычислим общую массу по всему объему методом интегральной суммы.
Опр. Тройным интегралом от функции трех переменных f (x, y, z) по объему V наз. предел интегральной суммы, полученной путем разбиения объема V на элементарные области Vi с постоянной плотностью f ()
тройной предел интеграл координата
m = lim f () Vi = (1)
Физический смысл тройного интеграла - масса тела переменной плотности.
Вычисление тройных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов при детальном учете конфигурации области интегрирования и зависит также от выбранной системы координат.
Прямоугольные координаты - x, y, z.
1. V - прямоугольный параллепипед (a x b, c y d, p z q), тогда
J = f (x, y, z) dx dy dz = dxdyf (x, y, z) dz (2)
При вычислении внутренних интегралов оставшиеся переменные рассматриваются как константы. Возможен любой порядок интегрирования по х, у, z.
2. V - цилиндрический брус, который ограничен двумя гладкими поверхностями z = z1(x, y), z = z2(x, y) и его проекция на плоскость хОу образует правильную область D, например, a x b, y1(x) y y2(x), тогда
J =f (x, y, z) dx dy dz =dxdyf (x, y, z) dz =
= dxdyf (x, y, z) dz (3)
При f (x, y, z) = 1 интеграл определяет объем бруса.
Пример 1. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
z = 0, z = x2 + y2, y = x, y + x = 2, y = 0
Решение.
z = 0 (степень 1, нет y, z) плоскость координатная xOy (низ)
z = x2 + y2 (степени 1, 2) параболоид вращения (верх)
y = x (степень 1, нет z) плоскость через Oz (стенка)
y + x = 2 (степень 1, нет z) плоскость || Oz (стенка)
y = 0 (степень 1, нет x, z) плоскость координатная xOz (стенка)
V = dx dy dz = dxdydz, J1 = dz = x2 + y2
D: y = x, y + x = 2, y = 0
Точки пересечения линий
(1; 1),(2; 0),(0; 0)
Построение рис. области D.
Выберем коридор || Оx, его ширина 0 y 1,
а движение по коридору от y = x до y + x = 2. D: 0 y 1, y x 2 - y
V = , J2 = = [y2x + x3/3] |y2 - y =
= 1/3 [-7y3 + 12y2 - 12y + 8], V = 1/3[-7y3 + 12y2 - 12y + 8] dy =
= 1/3 [-7y4/4 + 12y3/3 - 12y2/2 + 8y] |01 = 17/12 куб. ед.
Пример 2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
z = 10x, z = 0, x2 + y2 = 4, y =, y = 0
Решение.
z = 0 (степени1, нет y, x)плоскость координатная xOy (низ)
z = 10x (степени 1, нет у) плоскость через Оу (верх)
x2 + y2 = 4 (степени 2, нет z) круговой цилиндр || Oz (стенка)
y = или у2 = 3х (степени 1, 2, нет z)параболический цилиндр || Oz (стенка)
у = 0 (степени 1, нет х, z)плоскость координатная zOх(стенка)
V = dx dy dz = dxdydz, J1 = dz = 10x,
D: x2 + y2 = 4, у2 = 3х, у = 0
Точки пересечения линий
(2; 0),(0; 0),(1;)
Построение рис. области D.
Выберем коридор || Оx, его ширина 0 y ,
а движение по коридору от у2 = 3х до x2 + y2 = 4,
D: 0 y , y2/3 x
V = , J2 = = 5 [4 - y2 - y4 /9],
V = 5[4 - y2 - y4 /9] dy = 5 [4y - y3/3 - y5/45] = куб. ед.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Рассмотрение задач численного интегрирования по простейшим формулам. Понятие тройных интегралов и их применение для вычисления объема, массы, площади, моментов инерции, статистических моментов и координат центра масс тела на конкретных примерах.
курсовая работа [348,5 K], добавлен 17.12.2013Специфика декартовых координат и способ их использования при вычислении двойного интеграла, сведенного к повторному интегрированию. Примеры решения задач и особенности определения тройного интеграла в системе цилиндрических и сферических координат.
презентация [69,7 K], добавлен 17.09.2013Понятие определенного, двойного, тройного, криволинейного и поверхностного интегралов. Предел интегральной суммы. Вычисление двойного интеграла. Кратные интегралы в криволинейных координатах. Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым.
курсовая работа [241,3 K], добавлен 13.11.2011Понятие двойного интеграла. Интегральная сумма, ее зависимость от способа разбиения отрезка и выбора точек. Конечный предел интегральной суммы, не зависящий от способа разбиения области и выбора точек. Интегрирующая функция и область интегрирования.
презентация [28,9 K], добавлен 17.09.2013Понятие двойного интеграла по плоской области. Конечный предел интегральной суммы при стремлении к 0. Способы разбиения поверхности и выбора точек. Свойства поверхностных интегралов. Интегрирование по поверхности. Непрерывная функция на поверхности.
презентация [45,9 K], добавлен 17.09.2013Интегралы, у которых один или оба предела интегрирования бесконечны, и у которых функция не ограничена на отрезке интегрирования. Понятие несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования. Геометрический смысл несобственного интеграла.
презентация [104,1 K], добавлен 18.09.2013Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы по формуле Ньютона–Лейбница, замена переменной и интегрирование по частям. Длина дуги в полярной системе координат.
контрольная работа [345,3 K], добавлен 22.08.2009Способы вычисления интегралов. Формулы и проверка неопределенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции. Неопределенный, определенный и сложный интеграл. Основные применения интегралов. Геометрический смысл определенного и неопределенного интегралов.
презентация [1,2 M], добавлен 15.01.2014Понятие определённого интеграла, расчет площади, объёма тела и длины дуги, статического момента и центра тяжести кривой. Вычисление площади в случае прямоугольной криволинейной области. Применение криволинейного, поверхностного и тройного интегралов.
курсовая работа [2,1 M], добавлен 19.05.2011Изучение теории кратных интегралов. Исследование понятия "двойной и тройной интеграл". Применение кратных интегралов для вычисления объема, массы, площади, моментов инерции, статистических моментов и координат центра масс тела на конкретных примерах.
курсовая работа [469,0 K], добавлен 13.12.2012
