Численное решение нелинейных уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Численное решение нелинейных уравнений

1. Решение квадратного уравнения

1.1 Определение корней квадратного уравнения аналитическим способом

Используя формулу аналитического решения

получим следующие значения корней уравнения

Размещено на http://www.allbest.ru/

1.2 Построение графика разрешающей функции в окрестности наибольшего из корней

Воспользовавшись методическими рекомендациями, составим таблицу расчётных значений разрешающей функции в окрестности наибольшего из корней

Таблица 1 - Расчёт значений разрешающей функции

Размещено на http://www.allbest.ru/

При расчёте значений аргумента здесь использованы следующие формулы



График разрешающей функции представлен ниже на рисунке 1.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 1 - Разрешающая функция квадратного уравнения

1.3 Численное определение наибольшего корня с использованием простейшей итерационной формулы первого вида

Воспользовавшись итерационной формулой первого вида

выполним вычисления и приведём полученные результаты в таблице 2.

Таблица 2 - Итерация первого вида

Размещено на http://www.allbest.ru/

Расчёт ограничим четвёртой итерацией, так как очевидно, что процесс расходящийся.

1.4 Расчёт базисной и цепной погрешностей итерационного процесса первого вида

Базисные и цепные погрешности текущих итераций приведены в таблице 2, они определяются по формулам

1.5 Графическое представление итерационного процесса первого вида

Графическая иллюстрация реализованного итерационного процесса приведена на рисунке 2.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 2 - Итерационный процесс первого вида

1.6 Численное определение корня с использованием простейшей итерационной формулы второго вида

Воспользовавшись итерационной формулой второго вида

Выполним вычисления и приведём полученные результаты в таблице 3.

Таблица 3 - Итерация второго вида

Размещено на http://www.allbest.ru/

Из приведенной таблицы 3 видно, что более восьми итераций здесь делать не требуется.

1.7 Расчёт базисной и цепной погрешностей итерационного процесса второго вида

Базисные и цепные погрешности текущих итераций приведены в таблице 3, анализируя их значения можно сделать вывод о достаточно быстрой сходимости используемого итерационного процесса.

1.8 Графическое представление итерационного процесса второго вида

Графическая иллюстрация реализованного итерационного процесса приведена на рисунке 3.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3 - Итерационный процесс второго вида

1.9 Численное решение по методу Ньютона-Рафсона

Итерационная формула метода Ньютона-Рафсона имеет следующий вид

Результаты расчёта итерационного процесса приведены в таблице 4.

Таблица 4 - Метод Ньютона-Рафсона

Размещено на http://www.allbest.ru/

1.10 Расчёт базисной и цепной погрешностей итерационного процесса

Вычисленные погрешности итераций приведены в таблице 4, откуда видно, что процесс сходится на третьей итерации.

1.11 Графическое представление итерационного процесса по методу Ньютона-Рафсона

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 4 - Метод Ньютона-Рафсона

1.12 Заключение о сходимости использованных итерационных процессов решения квадратного уравнения

Первый из рассмотренных итерационных процессов решения заданного квадратного уравнения оказался расходящимся. Метод Ньютона-Рафсона сходится быстрее, чем рассмотренный второй итерационный процесс.

2. Решение кубического уравнения вида

2.1 Определение корня уравнения аналитическим способом

2.2 Построение графика разрешающей функции в окрестности найденного корня

Воспользовавшись методическими рекомендациями, составим таблицу расчётных значений разрешающей функции в окрестности найденного корня

Таблица 5 - Расчёт значений разрешающей функции

Размещено на http://www.allbest.ru/

При расчёте значений аргумента здесь использованы следующие формулы

График разрешающей функции представлен ниже на рисунке 5.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 5 - Разрешающая функция кубического уравнения

2.3 Численное определение корня уравнения с использованием итерационной формулы первого вида

Результаты расчёта сведены в таблицу 6.

Таблица 6 - Итерация первого вида

Размещено на http://www.allbest.ru/

2.4 Расчёт базисной и цепной погрешностей итерационного процесса первого вида

Расчёт текущих погрешностей, результаты которого приведены в таблице 6, показывает, что используется расходящийся процесс.

2.5 Графическое представление реализованного итерационного процесса первого вида

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 6 - Итерационный процесс первого вида

2.6. Численное определение корня с использованием итерационной формулы второго вида

Расчёт итерационного процесса сведен в таблицу 7.

Таблица 7 - Итерация второго вида

Размещено на http://www.allbest.ru/

2.7 Расчёт базисной и цепной погрешностей итерационного процесса второго вида

Расчёт погрешностей итерационного процесса второго вида сведен в таблицу 7, из которой видно, что этот процесс имеет колебательный характер и сходится довольно медленно.

2.8 Графическое представление итерационного процесса второго вида

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 7 - Итерационный процесс второго вида

2.9 Численное решение по методу Ньютона-Рафсона

Результаты решения по методу Ньютона-Рафсона приведены ниже в таблице.

Таблица 8 - Метод Ньютона-Рафсона

Размещено на http://www.allbest.ru/

2.10 Расчёт базисной и цепной погрешностей итерационного процесса по методу Ньютона-Рафсона

корень уравнение итерационный график

Расчёт погрешностей итерационного процесса, приведенный в таблице 8, показывает быструю сходимость метода Ньютона-Рафсона.

2.11 Графическое представление итерационного процесса по методу Ньютона-Рафсона

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 8 - Метод Ньютона-Рафсона

2.12 Заключение о сходимости использованных итерационных процессов решения кубического уравнения

Очевидно, что метод Ньютона-Рафсона при решении данного кубического уравнения сходится быстрее, чем второй из рассмотренных методов, а первый метод оказался расходящимся.

Размещено на Allbest.ru