Метод Ньютона
Общая характеристика метода Ньютона, знакомство с особенностями применения. Анализ способов записи формального представления по формуле Тейлора, основные проблемы. Рассмотрение процесса вычисления приближенного значения корня, использование выражений.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лабораторная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 02.10.2013 |
| Размер файла | 114,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
"Метод Ньютона"
формальный вычисление приближенный корень
1. Постановка задачи
С заданной точностью найти интервал, на котором находится решение уравнения , используя метод Ньютона.
2.Краткие теоретические сведения
Предположим, что f(x)єD2 на [a;b], содержащем корень уравнения. Пусть хk - некоторый известный член последовательности, полученный каким-либо методом или заданное в начале приближения х0 (k=0), а также имеем е - минимально необходимую точность вычисления. Для любого хє[a,b] можно записать формальное представление по формуле Тейлора:
Т.к. x* - решение уравнения - теоретически произвольная точка на [a;b], то предыдущее разложение справедливо и для (х - х*). Затем, считая, что значение хk близко к х*, можем отбросить третье слагаемое из-за его малости. В итоге получаем следующую формулу:
Следует правильно выбрать начальную точку, чтобы обеспечить хорошую сходимость найденных значений xi к значению х* (корню).
, если .
Но в процессе вычисления приближённого значения корня нам необходимо иметь меру погрешности, с помощью которой задаём критерий останова. Это задаётся с помощью следующих выражений:
, где
- критерий останова.
3. Алгоритм
Пусть имеем интервал [a;b], некоторое е, задающее точность и начальная точка x0, такая, что . Тогда алгоритм будет иметь вид:
1) Находим величины б и в для приближённой оценки погрешности вычислений. б = min(), в=max(). Переход к шагу 2).
2) Каждую следующую точку находим по рекуррентной формуле:
. Переход к шагу 3).
3) Если (в/(2*б))*(хk+1- xk)2<=е, то идём на конец алгоритма. Иначе - к шагу 2).
4. Код программы
unit Unit1;
interface
uses
Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,
Dialogs, StdCtrls, XPMan, Math;
type
TForm1 = class(TForm)
mmo1: TMemo;
lbl1: TLabel;
lbl2: TLabel;
lbl3: TLabel;
edt1: TEdit;
edt2: TEdit;
edt3: TEdit;
btn1: TButton;
edt4: TEdit;
xpmnfst1: TXPManifest;
procedure btn1Click(Sender: TObject);
private
{ Private declarations }
public
{ Public declarations }
end;
var a,b,x0,x1,al,bet:real;
Form1: TForm1;
implementation
{$R *.dfm}
function func(x:real):real; //Собственно функция
begin
if x=0 then x:=(b-a)/100;
func:=sqrt(x+1)-1/x;
if x=(b-a)/100 then x:=0;
end;
function firstpro(x:real):Real; //Первая производная функции
begin
if x=(-1) then x:=x+(b-a)/100;
if x=0 then x:=(b-a)/100;
firstpro:=1/(2*sqrt(x+1))+1/(x*x);
if x=(b-a)/100 then x:=0;
if x=(-1)+(b-a)/100 then x:=(-1);
end;
function secondpro(x:real):Real; //Вторая производная функции
begin
if x=(-1) then x:=x+(b-a)/50;
if x=0 then x:=(b-a)/50;
secondpro:=-0.25*Power((x+1), -1.5)-2/(x*x*x);
if x=(b-a)/50 then x:=0;
if x=(-1)+(b-a)/50 then x:=(-1);
end;
function alpha(a,b:Real):Real;
var x,min:Real;
begin
x:=a;
min:=Abs(firstpro(x));
while x<b do begin
x:=x+(b-a)/20;
if min>Abs(firstpro(x)) then min:=Abs(firstpro(x))
end;
alpha:=min;
end;
function beta(a,b:real):Real;
var x,max:real;
begin
x:=a;
max:=Abs(secondpro(x));
while x<b do begin
x:=x+(b-a)/20;
if max<Abs(secondpro(x)) then max:=Abs(secondpro(x))
end;
beta:=max;
end;
procedure TForm1.btn1Click(Sender: TObject);
var eps:real;
begin
a:=StrToFloat(edt1.Text);
b:=StrToFloat(edt2.Text);
x0:=StrToFloat(edt3.Text);
eps:=0.001;
if func(x0)*secondpro(x0)>0 then
if func(a)*func(b)>0 then edt4.Text:='На данном отрезке нет корней'
else begin
al:=alpha(a,b);
bet:=beta(a,b);
x1:=x0-(func(x0)/firstpro(x0));
while ((bet/(2*al))*sqr(abs(x1-x0)))>eps do begin
x0:=x1;
x1:=x0-(func(x0)/firstpro(x0));
end;
edt4.Text:=FloatToStr(x1);
end
else ShowMessage('Неудачно выбрана стартовая точка! Желательный интервал выбора стартовых значений (где f(x)*f"(x)>0) - [0,1; 0,7]');
end;
end.
5. Тестовый пример
Рисунок 1 - иллюстрация работы программы
6.Проверка в MathCad
Рис.
1. Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Приближенные решения кубических уравнений. Работы Диофанта, Ферма и Ньютона. Интерационный метод нахождения корня уравнения. Геометрическое и алгебраическое описания метода хорд. Погрешность приближенного решения. Линейная скорость сходимости метода.
презентация [255,1 K], добавлен 17.01.2011Векторная запись нелинейных систем. Метод Ньютона, его сущность, реализации и модификации. Метод Ньютона с последовательной аппроксимацией матриц. Обобщение полюсного метода Ньютона на многомерный случай. Пример реализации метода Ньютона в среде MATLAB.
реферат [140,2 K], добавлен 27.03.2012Приближенные значения корней. Метод дихотомии (или деление отрезка пополам), простой итерации и Ньютона. Метод деления отрезка пополам для решения уравнения. Исследование сходимости метода Ньютона. Построение нескольких последовательных приближений.
лабораторная работа [151,3 K], добавлен 15.07.2009Осуществление интерполяции с помощью полинома Ньютона. Уточнение значения корня на заданном интервале тремя итерациями и нахождение погрешности вычисления. Применение методов Ньютона, Сампсона и Эйлера при решении задач. Вычисление производной функции.
контрольная работа [155,2 K], добавлен 02.06.2011Способы определения точного значения интеграла по формуле Ньютона-Лейбница и приближенного значения интеграла по формуле трапеций. Порядок нахождения координаты центра тяжести однородной плоской фигуры ограниченной кривой, особенности интегрирования.
контрольная работа [459,6 K], добавлен 16.04.2010Смысл метода Ньютона для решения нелинейных уравнений. Доказательства его модификаций: секущих, хорд, ложного положения, Стеффенсена, уточненного для случая кратного корня, для системы двух уравнений. Оценка качества метода по числу необходимых итераций.
реферат [99,0 K], добавлен 07.04.2015Интерполяция с помощью полинома Ньютона исходных данных. Значение интерполяционного полинома в заданной точке. Уточнение значения корня на заданном интервале тремя итерациями и поиск погрешности вычисления. Методы треугольников, трапеций и Симпсона.
контрольная работа [225,2 K], добавлен 06.06.2011Характеристика важнейших типов сходимости итерационных последовательностей. Специфические особенности применения метода Ньютона для определения кратных корней. Алгоритм нахождения корней трансцендентного уравнения с использованием метода секущих.
дипломная работа [964,9 K], добавлен 09.06.2019Модифицированный метод Ньютона. Общие замечания о сходимости процесса. Метод простой итерации. Приближенное решение систем нелинейных уравнений различными методами. Быстрота сходимости процесса. Существование корней системы и сходимость процесса Ньютона.
дипломная работа [1,8 M], добавлен 14.09.2015Биография Исаака Ньютона, его основные исследования и достижения. Описание порядка нахождения корня уравнения в рукописи "Об анализе уравнениями бесконечных рядов". Методы касательных, линейной аппроксимации и половинного деления, условие сходимости.
реферат [1,6 M], добавлен 29.05.2009
