Частные производные
Сущность частного приращения по переменной в определенной точке, особенности наличия предела и его определение. Понятие дифференцируемости функции двух переменных, необходимое условие и достаточные. Характеристика основных теорем частных производных.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.09.2013 |
| Размер файла | 30,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Лекция 1
1. Частные производные
Пусть функция определена в окрестности точки . Зададим переменной в точке приращение , оставляя неизменным, т.е. перейдем к точке , принадлежащей области (области определения функции).
Определение 1.
называется частным приращением по переменной в точке
Определение 2.
Если существует предел , то он называется частной производной функции в точке по переменной .
Обозначение:
.
Аналогично определяется
.
Если рассматривать частную производную по переменной в любой точке области определения функции на области , то частные производные можно рассматривать как новые функции на области .
Таким образом, частная производная функции двух переменных по переменной есть обычная производная одной переменной при фиксированном значении .
Пример 1.
Найти частные производные функций: , , .
1) .
, .
2)
.
3) .
2. Понятие дифференцируемости функции двух переменных
Определение 3.
Пусть определена функция , тогда - полное приращение функции.
Определение 4.
Пусть функция определена в окрестности точки .
Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде:
(26.1),
где -константы, -бесконечно малые функции при .
Теорема 1.
Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.
Доказательство.
Очевидно из (26.1):
.
Теорема 2 (необходимое условие дифференцируемости).
Если функция дифференцируема в точке , то она имеет в этой точке частные производные , причем:
(26.2)
Доказательство.
Пусть имеет место формула (26.1).
Положим
,
где при - бесконечно малая функция.
Разделив на , и переходя к пределу при , получим:
,
то есть частная производная по переменной существует и равна .
Второе равенство доказывается аналогично.
Замечание 1. Из непрерывности не следует ее дифференцируемость!
Пример 2.
непрерывна в точке (0,0), но не существует.
Аналогично, не существует частной производной по . Следовательно, функция не дифференцируема.
Замечание 2. Из существования частных производных не следует дифференцируемость функции.
Пример 3.
Функция имеет частные производные в точке (0,0), но не является в этой точке непрерывной, следовательно - не дифференцируема.
Теорема 3 (достаточное условие дифференцируемости).
Если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точки и эти производные непрерывны в самой точке , то функция дифференцируема в точке .
Следствие.
Если частные производные непрерывны, то функция непрерывна.
Определение 5.
Если функция дифференцируема в точке , то дифференциалом называется линейная относительно приращений часть полного приращения этой функции в точке , т.е.
, или (26.3)
Дифференциалами независимых переменных называются их приращения
(26.3')
3. Производная сложной функции двух переменных
Пусть - функция двух переменных и каждая из них является функцией от переменной :. Тогда - сложная функция переменной .
Теорема 4.
Если функции дифференцируемые в точке , - дифференцируема в точке , то сложная функция также дифференцируема в точке . При этом:
переменный предел дифференцируемость
(26.4)
Пример 4.
1)
.
2)
.
Замечание 3.
Если и , то .
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Нахождение частных производных по направлению вектора. Составление уравнения касательной плоскости к поверхности в заданной точке. Исследование на экстремум функции двух переменных. Определение условного максимума функции при помощи функции Лагранжа.
контрольная работа [61,5 K], добавлен 14.01.2015Понятие функции двух и более переменных, ее предел и непрерывность. Частные производные первого и высших порядков. Определение полного дифференциала. Необходимые и достаточные условия существования экстремума и его нахождение на условном множестве.
реферат [145,4 K], добавлен 03.08.2010Понятие, предел и непрерывность функции двух переменных. Частные производные первого порядка, нахождение полного дифференциала. Частные производные высших порядков и экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия существования экстремума.
контрольная работа [148,6 K], добавлен 02.02.2014Условия существования предела в точке. Расчет производных функции, заданной параметрически. Нахождение точки экстремума, промежутков возрастания и убывания функций, выпуклости вверх и вниз. Уравнение наклонной асимптоты. Точка локального максимума.
курсовая работа [836,0 K], добавлен 09.12.2013Определение точки экстремума для функции двух переменных. Аналог теоремы Ферма. Критические, стационарные точки. Теорема "Достаточное условие экстремума", доказательство. Схема исследования функции нескольких переменных на экстремум, практический пример.
презентация [126,2 K], добавлен 17.09.2013Понятие и характерные свойства обобщенных функций и обобщенных производных, их отличительные признаки и направления анализа. Решение и определение данных величин на основе специальных теорем. Сущность и структура, элементы пространства Соболева.
презентация [179,4 K], добавлен 30.10.2013Расчет частных производных первого порядка. Поиск и построение области определения функции. Расчет полного дифференциала. Исследование функции на экстремум. Поиск наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой области. Производные второго порядка.
контрольная работа [204,5 K], добавлен 06.05.2012Метод интегрирования по частям. Задача на нахождение частных производных 1-го порядка. Исследование на экстремум заданную функцию. Нахождение частных производных. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Условия признака Лейбница.
контрольная работа [90,0 K], добавлен 24.10.2010Определение предела функции в точке. Понятие односторонних пределов. Геометрический смысл предела функции при х, стремящемся в бесконечности. Основные теоремы о пределах. Вычисление пределов и раскрытие неопределенностей. Первый замечательный предел.
презентация [292,4 K], добавлен 14.11.2014Определение второго замечательного предела. Понятие бесконечно малых функций. Математическое описание непрерывности зависимости одной переменной величины от другой в точке. Точки разрыва функции. Свойства и непрерывность ее в интервале и на отрезке.
презентация [314,4 K], добавлен 14.11.2014