Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Изучение определенного множества, на примере производной функции имеющей бесконечную правостороннюю и левостороннюю производную. Очерк нахождения функции путем дифференцирования в точке. Характеристика геометрического и физического смысла производной.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.09.2013 |
| Размер файла | 114,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Лекция
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
1. Производная функции
Пусть функция определена на множестве :
Определение 1.
Производной функции в точке называют:
- если он существует и конечен.
Замечание 1. Если:
- то говорят, что функция имеет бесконечную производную знака «+» или «-».
Обозначения:
Пример 1.
Найти производную функции:
Пример 2.
Найти производную функции:
Определение 2:
Теорема 1.
Функция имеет производную в точке хо, тогда и только тогда, когда существуют левые и правые производные и они равны.
Замечание 2. Операция нахождения производной называется дифференцированием.
2. Дифференциал функции
Определение 3.
Функция:
- называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке можно представить в виде:
(1)
Замечание 3. В формуле (1) (читают: А от ) - главная линейная относительно часть приращения называется дифференциалом функции в точке и обозначается или :
(2)
Таким образом:
Если обозначить:
(3)
Теорема 2.
Для того чтобы функция:
- была дифференцируема в некоторой точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.
Теорема 3.
Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.
Замечание 4. Обратное утверждение неверно.
Обозначение:
Итак:
Или:
(4)
3. Геометрический и физический смысл производной и дифференциала
множество дифференцирование геометрический
Пусть функция определена на интервале (a,b), причем точки М(хо, уо), принадлежат графику функции, тогда, МР - секущая.
Если существует предел:
Тогда прямую с угловым коэффициентом:
- называют предельным положением секущей MP при (или касательной) (MS). (То есть ).
Геометрический смысл производной.
Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке .
- уравнение касательной.
Физический смысл производной.
Пусть:
- закон движения точки; тогда за время будет пройден путь:
За время:
- средняя скорость за время .
Таким образом:
- мгновенная скорость точки в момент времени .
Геометрический смысл дифференциала:
Дифференциал функции в данной точке равен приращению ординаты касательной в соответствующей точке графика.
Физический смысл дифференциала.
Если производная позволяет оценить скорость изменения некоторой величины, то:
- равен расстоянию, которое прошла бы точка за , если бы двигалась равномерно со скоростью, равной мгновенной скорости момент .
4. Использование дифференциала для приближенных вычислений
Тогда есть дифференциал по определению есть главная часть приращения функции .
(5)
Или:
Где:
(6)
Замечание 5. В практическом вычислении производных обычно пишут не , а просто , но при этом считают фиксированным.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Поиск производной сложной функции как равной производной функции по промежуточному аргументу, умноженной на его производную по независимой переменной. Теорема о связи бесконечно малых величин с пределами функций. Правило дифференцирования сложной функции.
презентация [62,1 K], добавлен 21.09.2013Предел отношения приращения функции к приращению независимого аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Обозначения производной. Понятие дифференцирования функции производной и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к кривой.
презентация [246,0 K], добавлен 21.09.2013Определение производной функции, геометрический смысл ее приращения. Геометрический смысл заданного отношения. Физический смысл производной функции в данной точке. Число, к которому стремится заданное отношение. Анализ примеров вычисления производной.
презентация [696,5 K], добавлен 18.12.2014Геометрический смысл производной. Анализ связи между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Производные основных элементарных функций. Правила дифференцирования. Нахождение производной неявно заданной функции. Логарифмическое дифференцирование.
презентация [282,0 K], добавлен 14.11.2014Правило нахождения производной произведения функций. Формулы нахождения производных для функций, заданных параметрически. Геометрический смысл производной. Приращение и дифференциал функции. Наибольшее и наименьшее значения на замкнутом множестве.
контрольная работа [75,5 K], добавлен 07.09.2010Методика и основные этапы нахождения производной функции. Исследование методами дифференциального исчисления и построение графика функции. Порядок определения экстремумов функции. Вычисление неопределенных и определенных интегралов заменой переменной.
контрольная работа [84,3 K], добавлен 01.05.2010Дифференциальное исчисление функции одной переменной: определение предела, асимптот функций и глобальных экстремумов функций. Нахождение промежутков выпуклости и точек перегиба функции. Примеры вычисления неопределенного интеграла, площади плоской фигуры.
задача [484,3 K], добавлен 02.10.2009Вычисление производной функции и ее критических точек. Определение знака производной на каждом из интервалов методом частных значений. Нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции. Разложение подынтегральной функции на простейшие дроби.
контрольная работа [134,7 K], добавлен 09.04.2015Производная - основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Исследование правил дифференцирования, которые используют при нахождении производных. Определение производной алгебраической суммы конечного числа.
презентация [175,0 K], добавлен 21.09.2013Нахождение частной производной первого порядка. Определение области определения функции. Расчет производной от функции, заданной неявно. Полный дифференциал функции двух переменных. Исследование функции на экстремум, ее наименьшее и наибольшее значения.
контрольная работа [1,1 M], добавлен 12.11.2014
