Некоторые задачи на прямую и плоскость в пространстве

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция

Некоторые задачи на прямую и плоскость в пространстве



1) Найти угол между прямой и плоскостью.

Углом между и называется угол между и ее проекцией на .

. .

или . (15.1)

2) Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки на прямую , заданную уравнением:

и найти расстояние от точки до прямой.

Построим плоскость , содержащую точку и прямую . Уравнение этой плоскости имеет вид:

Построим также плоскость , проходящую через точку , перпендикулярно прямой :

.

Система этих двух уравнений и дает искомый перпендикуляр.

. (15.2)

.

3) Написать уравнение общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым и .

Пусть,

, и

, , тогда

- является направляющим вектором искомого перпендикуляра.

а) - вектор нормали плоскости , которая содержит прямую и (или содержит искомый перпендикуляр).

.

Система этих двух уравнений задает искомый перпендикуляр.

Замечание: прямая плоскость поверхность гиперболоид

1) , т.е. .

2) , т.е. .

Поверхности II порядка. Алгебраическое уравнение II степени относительно 3-х переменных вида:

, (*)

где , ,

определяет поверхность II порядка.

Будем изучать случаи, когда . Уравнение (*) при перечисленных условиях может определять сферу, эллипсоид, параболоид, цилиндрическую поверхность, коническую поверхность и гиперболоиды в зависимости от коэффициентов.

I тип задач (по геометрическим свойствам поверхности определяется уравнение):

1) Сфера.

Определение 15.1. Множество точек пространства, равноудаленных от данной точки , называемой центром, называется сферой.

Выберем произвольную точку принадлежащую сфере, тогда:

или

. (15.3)

- каноническое уравнение сферы с центром и радиусом .

2) Цилиндрические поверхности.

Определение 15.2. Цилиндрической поверхностью называется поверхность, описываемая прямой (образующей), движущейся вдоль некоторой линии (направляющей) и остающейся параллельной исходному направлению.

Если , то - определяет линию в плоскости .

(не содержит переменной ).

Цилиндром II-го порядка называется цилиндрическая поверхность, направляющими которой являются эллипс, гипербола, парабола:

А) Эллиптический цилиндр.

.

Б) Гиперболический цилиндр.

.

В) Параболический цилиндр.

.

3) Конические поверхности.

Определение 15.3. Поверхность, образованная прямыми, пересекающимися в одной точке и проходящими через каждую точку линии - называется конической поверхностью.

.

II тип задач (по виду уравнения определяются свойства поверхности). Основным методом решения таких задач является метод сечений, который заключается в поиске линий пересечений данной поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям:

4) Эллипсоид.

Определение 15.4. Эллипсоидом называется поверхность, которая в прямоугольной системе координат определяется уравнением:

. (15.4)

Установим геометрический вид эллипсоида.

Рассмотрим сечения эллипсоида плоскостями параллельными ( число).

Линия сечения определяется системой:

. (**)

Исследуем (**).

А) , тогда

- эллипс в плоскости , причем самый большой.

Б) , тогда

- линия (**) вырождается в точки .

Плоскости касаются эллипсоида.

В) , тогда

.

Таким образом, плоскость пересекает эллипсоид по эллипсу, причем, если , то , поэтому при , получается самый большой эллипс.

Г) , то

- мнимый эллипс, точек пересечения с не .

- полуоси эллипсоида. Если , то эллипсоид является сферой.

Аналогично, если или .

5) Однополостной гиперболоид.

Определение 15.5. Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая в прямоугольной системе координат определяется уравнением:

. (15.5)

Установим его геометрический вид.

Рассмотрим сечения с координатными плоскостями:

и .

В сечения получаются гиперболы.

Также рассмотрим сечения поверхности плоскостями :

.

А) , - самый маленький эллипс.

Б) , .

В) , , , то .

Г) , , то .

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополостной гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере удаления. - полуоси (чтобы изобразить , следует построить основной прямоугольник какой-нибудь из гипербол).

6) Двуполостный гиперболоид.

Определение 16.1. Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в прямоугольной системе координат определяется уравнением:

. (16.1)

С помощью аналогичного исследования нетрудно установить вид поверхности.

В сечениях плоскости oXZ (y=o) и oYZ (x=0) получаются гиперболы:

.

При сечениях z=h:

а) при плоскость пересекает поверхность по эллипсу;

б) при плоскости касаются поверхности в точках (0;0;);

в) при точек пересечения плоскости с поверхностью не существует (мнимый эллипс).

Итак, двуполостный гиперболоид состоит из двух отдельных "полостей", каждая из которых имеет вид бесконечной выпуклой чаши.

7) Эллиптический параболоид.

Определение 16.2. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в прямоугольной системе координат определяется уравнением:

, (16.2)

где - параметры.

С помощью сечений исследуем эту поверхность:

1) и (16.3).

(В сечениях параболы: OZ - ось симметрии, O(0;0;0) - вершина):

2) .

а) при h>0 сечения - эллипсы;

б) при h=0 плоскость z=0 касается параболоида (эллипс вырождается в точку);

в) при h<0 - мнимый эллипс.

Если p=q, эллиптический параболоид можно рассматривать, как поверхность, образованную вращением параболы вокруг ее оси (параболоид вращения). Эллиптический параболоид - бесконечно выпуклая чаша.

8) Гиперболический параболоид.

Определение 16.3. Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в прямоугольной системе координат определяется уравнением:

(p,q>0). (16.3)

Установим геометрический вид поверхности:

Рассмотрим сечения:

1) .

В сечении парабола, OZ - ось симметрии, ветви направлены вверх, вершина - в начале координат.

2).

В сечении - такие же (как в (1)) параболы .

3) .

В сечении парабола, OZ - ось симметрии, ветви направлены вниз, вершина - в начале координат.

4) .

В сечении такие же параболы, как в (3).

5) или .

а) при h>0 в сечении гиперболы в плоскости OXZ;

б) при h<0 в сечении гиперболы в плоскости OYZ;

в) при h=0 в сечении гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых.

Таким образом, имеем седлообразную поверхность. (0;0;0) - вершина, p,q - параметры.

Размещено на Allbest.ru