Система линейных уравнений (СЛУ)
Матрица коэффициентов при неизвестных. Матричный способ решения системы. Вычисление алгебраических дополнений. Побочные определители системы, разложенные по столбцу свободных членов. Доказательство теоремы Кронекера-Капелли. Изучение понятия определителя.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.09.2013 |
| Размер файла | 44,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Лекция
Система линейных уравнений (СЛУ)
Определение 1
Системой линейных уравнений (СЛУ) называют систему уравнений первого порядка:
матрица алгебраический кронекер капелли
(4.1),
где .
Матрица коэффициентов при неизвестных
называется основной матрицей системы.
Матрица
называется расширенной матрицей системы.
Определение 2
1). Множество всех значений , подстановка которых в систему уравнений (4.1) каждое уравнение обращает в тождество, называется решением данной системы.
2). Если все свободные члены системы равны нулю, то есть , то система называется однородной.
Определение 3
Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение называется совместной, если решение только одно, то система называется определенной, если решений множество, то система называется неопределенной. Если решений нет, то система несовместная.
Определение 4
Две системы называются равносильными, если каждое решение первой системы является решением второй и наоборот.
Над системами можно производить следующие линейные преобразования:
менять уравнения местами
умножать обе части уравнения на любое не равное нулю число
прибавлять к обеим частям одного из уравнений системы соответствующие части другого уравнения, умноженное на любое действительное число.
Система n линейных уравнений с n неизвестными
(4.2)
1). Матричный способ решения системы (4.2)
Назовем
(4.3)
матричным уравнением системы (4.2)
или (4.4),
где
Каждую часть равенства (4.4) умножим слева на обратную матрицу :
(4.5)- решение системы (4.2).
Запишем (5) в развернутом виде:
Таким образом, из определения равенства матриц (2.1) следует:
(4.6)
Пример 1
Решить систему матричным способом:
Далее вычисляются алгебраические дополнения и составляется матрица .
.
, тогда
.
2). Решение системы (4.2) по формулам Крамера
Определение 5
Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется главным определителем системы (4.2):
.
- побочные определители системы (4.2), которые составляются следующим образом: при составлении в определителе -й столбец заменяется на свободные члены, например:
.
Возвращаясь к формулам (4.6), нетрудно заметить, что суммы, стоящие в числителях есть ни что иное, как побочные определители, разложенные по столбцу свободных членов и тогда формулы (4.6) примут вид:
(4.7) - формулы Крамера.
Пример
Решим систему линейных уравнений из примера 4.1 с помощью формул Крамера:
,
Теорема Кронекера-Капелли 4.1
Система линейных уравнений (4.1) совместна тогда и только тогда, когда (4.8).
Следствия
1). Система линейных уравнений (4.1) имеет единственное решение, если , где -число неизвестных в системе.
2). Если , то система линейных уравнений (4.1) имеет бесконечное множество решений (т.е. система неопределенная).
Пример
Как видно, , поскольку ранги не равны, то по теореме 6 данная СЛУ решений не имеет (несовместна).
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Основные действия над матрицами, операция их умножения. Элементарные преобразования матрицы, матричный метод решения систем линейных уравнений. Элементарные преобразования систем, методы решения произвольных систем линейных уравнений, свойства матриц.
реферат [111,8 K], добавлен 09.06.2011Метод главных элементов, расширенная матрица, состоящая из коэффициентов системы и свободных членов. Метод квадратных корней для решения систем с симметричной матрицей коэффициентов. Практическая реализация метода Халецкого: программа на языке Pascal.
контрольная работа [761,7 K], добавлен 22.08.2010Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы. Нахождение ранга матрицы. Вычисление определителя с помощью теоремы Лапласа. Исследование на совместимость системы уравнений, нахождение общего решения методом Гауса.
контрольная работа [97,3 K], добавлен 24.05.2009Метод Гаусса - последовательное исключение переменных из системы уравнений. Определение понятия расширенной матрицы. Метод Крамера, расчет определителя системы. Метод обратной матрицы. Расчет алгебраических дополнений для элементов полученной матрицы.
презентация [184,4 K], добавлен 21.09.2013Основные понятия и теоремы систем линейных уравнений, характеристика методов их решения. Критерий совместности общей системы. Структура общих решений однородной и неоднородной систем. Матричный метод решения и обобщение. Методы Крамера и Гаусса.
курсовая работа [154,5 K], добавлен 13.11.2012Определители второго и третьего порядков, свойства определителей. Два способа вычисления определителя третьего порядка. Теорема разложения. Теорема Крамера, которая дает практический способ решения систем линейных уравнений используя определители.
лекция [55,2 K], добавлен 02.06.2008Решение системы линейных уравнений методом Гауса. Преобразования расширенной матрицы, приведение ее к треугольному виду. Средства матричного исчисления. Вычисление алгебраических дополнений матрицы. Решение матричного уравнения по правилу Крамера.
задача [26,8 K], добавлен 29.05.2012Вычисление определителя, алгебраических дополнений. Выполнение действий над матрицами. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера, методом Гауса. Определение плана выпуска химикатов на заводе. Составление экономико-математической модели задачи.
контрольная работа [184,8 K], добавлен 25.03.2014Основные правила решения системы заданных уравнений методом Гаусса с минимизацией невязки и методом простых итераций. Понятие исходной матрицы; нахождение определителя для матрицы коэффициентов. Пример составления блок-схемы метода минимизации невязок.
лабораторная работа [264,1 K], добавлен 24.09.2014Матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем. Примеры вычисления определителя матрицы. Блок-схема программы, описание объектов. Графический интерфейс, представляющий собой стандартный набор компонентов Delphi.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 29.06.2014