Ранг матрицы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция

Ранг матрицы

Определение 1

Определитель с элементами, стоящими на пересечении произвольных строк, и столбцов матрицы, называется минором -го порядка этой матрицы.

Замечание 1. Не путать с минором элемента!

Пример 1

матрица минор ранг

здесь - один из миноров 2-го порядка.

Сравнить их с нулем.

Сколько миноров второго порядка?

Сколько миноров третьего порядка? (четыре)

Есть ли минор четвертого порядка? (нет)

Каждый отдельный элемент матрицы является минором первого порядка.

Определение 2

Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы называется рангом матрицы.

Обозначение: (3.1).

Таким образом, обозначение (3.1) означает, что среди всевозможных миноров матрицы имеется хотя бы один отличный от нуля минор, -го порядка, а все миноры -го и высших порядков равны нулю.

Определение 3

Каждый отличный от нуля минор, порядок которого совпадает с рангом матрицы, называется базисным минором.

Сколько может быть базисных миноров у матрицы? (несколько)

В матрице из примера 3.1 все миноры 3-го порядка равны нулю

(Проверить.)

но имеются отличные от нуля миноры 2-го порядка, значит, .

Правило вычисления ранга матрицы (метод «окаймляющих миноров»).

При вычислении ранга матрицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам больших порядков. Если уже найден минор k-го порядка D, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минор D: если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.

.

Матрица большого размера имеет много миноров различных порядков и нахождение ранга только на основании определения 3.2 (перебором всех возможных миноров) или даже методом «окаймляющих миноров» требует много времени. Эта задача существенно упрощается с помощью перехода от данной матрицы так называемыми элементарными преобразованиями к ступенчатой матрице:

Определение 4

Элементарными преобразованиями называются следующие преобразования:

1). Умножение ряда (строки или столбца) на число, не равное нулю.

2). Прибавление к одному ряду другого, умноженного на любое число, не равное нулю.

3). Перестановка двух рядов.

Замечание 2. Как правило, получается эквивалентная матрица неравная данной.

.

Определение 4

Матрица, у которой в каждой следующей строке, начиная со второй, первый отличный от нуля элемент стоит правее первого отличного от нуля элемента предыдущей строки, а все нулевые строки (состоящие только из нулей) стоят ниже ненулевых строк (строк, содержащих хотя бы один ненулевой элемент), называется ступенчатой.

Например: .

Пример 2

Базисным минором, к примеру, является минор:

.

Пример 3

С помощью элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду.

Теорема 3.1

Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.

Теорема 3.2 (О ступенчатой матрице):

1). Каждая матрица элементарными преобразованиями строк приводится к ступенчатой матрице.

2). Ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых строк.

Доказательство

Возьмем первый слева столбец, содержащий ненулевые элементы. Переставим строки матрицы так, чтобы один из ненулевых элементов этого столбца оказался в первой строке (если первый элемент взятого столбца был равен нулю).

С помощью преобразований строк можно получить новую матрицу, в которой все элементы под окажутся равными нулю. Чтобы получить нуль на месте элемента , достаточно умножить -ю строку матрицы (где стоит ) на число и прибавить к -ой строке (где стоит ). Действительно, на месте элемента получим

Обратим указанным способом в нуль все элементы под этим ненулевым элементом. Первая строка ступенчатой матрицы готова: все ненулевые элементы второй и нижних строк теперь стоят правее первого ненулевого элемента первой строки. Применим ту же операцию к матрице, начинающейся со второй строки и так далее. Так как строк - конечное число, то в результате получим ступенчатую матрицу.

2). Пусть в ступенчатой матрице имеется ненулевых строк. Тогда каждый минор -го и высшего порядка содержит нулевые строки (хотя бы одну) и потому равен нулю. Но имеется хотя бы один минор -го порядка отличный от нуля: наверняка треугольный минор не равен нулю, главную диагональ которого образуют первые ненулевые элементы всех ненулевых строк. Действительно, такой минор равен произведению элементов главной диагонали и поэтому не равен нулю. Значит .

Пример 3.3. Придумать ступенчатую матрицу шестого порядка, чтобы

.

.

Пример 3.4. Определить ранг матрицы:

методом «окаймляющих миноров»:

приведением матрицы к ступенчатому виду.

2)

Размещено на Allbest.ru