Билинейные и квадратичные функционалы
Определение симметричных и кососимметричных билинейных функций. Закон изменения матрицы билинейной формы. Определение квадратичного функционала, его матричный вид. Основные методы приведения к канонической форме. Нормальный вид квадратичного функционала.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 24.09.2013 |
| Размер файла | 1,2 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
36
Размещено на http://www.allbest.ru/
Билинейные и квадратичные функционалы
Выполнила: Гуцу Алла
Введение
билинейный квадратичный функционал
Понятие билинейного функционала является одной из главных понятий линейной алгебры. Ее можно рассматривать как мост между алгебры, векторной алгебры, геометрии и математического анализа.
Билинейный функционал представляет функцию двух переменных определена на векторном пространстве. Если в математическом анализе, функция двух переменных определена на или на некотором подмножестве, то в линейном алгебре данная функция определена на пространств вектором, пространство матриц определённого вида, пространство непрерывных функций. Таким образом мы можем сказать что билинейный функционал представляет продолжение функции двух переменным.
В тоже время, билинейный функционал можно определить аналитическим способом, как функцию, или в виде матрицы. Последнее показывает что данные объекты всё-таки связаны с линейной алгеброй.
В больше свах случаев, билинейный функционал связан с пространством векторов. Это уже показывает что функционалы связаны с аналитической геометрии. Кроме того некоторый действия с векторами являются являются билинейные функционалы. К примеры скалярное произведение векторов в координаты является симметричным билинейный функционал.
В тоже время задача нахождения канонического уравнения кривой второго порядка сводится к задачи нахождения канонической форме билинейного функционала который определяет данную кривую. В результате приведения билинейного функционала к каноническому виду, получается и преобразование системы координат (параллельный перенос и поворот системы координат).
Цель данной работы является изучение билинейного функционала и решение задач по теоретическому материалу.
В данной работе были исследованы методы определения билинейного функционала, метод приведения билинейного функционала к каноническому виду, ядро, методы преобразования билинейного функционала при замене базиса пространства.
Глава 1. Билинейные формы
1.1 Определение билинейной функции
Определение. Пусть - векторное пространство над полем Функция называется били1нейной функцией, если она линейна по каждому аргументу, т.е.[manu]
(1)
(2)
(3)
(4)
Отношения (1)-(4) называются аксиомами билинейной функции.
Пример 1.Покажите, что следующий функционал является билинейным
Решение
Для того что бы проверить что некоторый функционал является билинейным, достаточно проверить аксиомы (1)-(4).
Пусть и
Тогда
и
Проверяем дальше вторую аксиому билинейной функции, т.е.
Третью аксиому проверяем аналогично первому.
В самом деле,
Пример 2. Покажите, что следующий функционал является билинейным
Решение
Для того что бы проверить что некоторый функционал является билинейным, достаточно проверить аксиомы (1)-(4).
Пусть и
Тогда
и
Проверяем дальше вторую аксиому билинейной функции, т.е.
Третью аксиому проверяем аналогично первому.
В самом деле,
1.2 Матрицы билинейных функций
Пусть на векторном пространстве , система векторов определяет базис. Тогда каждый вектор этого пространства является линейной комбинации данных векторов, т.е. если тогда
В силу свойствам билинейных функций, получаем:
где
Определение. Матрица называется матрицей билинейной формы f на V в базисе
Пример 3. Найти матрицу билинейной функции
по базису
Решение
Составляем матрицу билинейного функционала
Ответ. Билинейный функционал по базису имеет матрицу
Пример 4.Запишите матрицу билинейной функции
в базисе
Решение. Как известно из аналитической геометрии, векторы являются ортами и имеют координаты
Тогда
Также из аналитической геометрии, известно что
Составляем матрицу билинейного функционала
К тому же билинейный функционал определенным таким образом является симметричным.
Ответ.
Пример 5. Запишите матрицу билинейной функции
в базисе
Решение
Составляем матрицу билинейного функционала
К тому же билинейный функционал определенным таким образом является симметричным.
Ответ.
Если рассмотреть вектор как координатную матрицу (матрицу столбик) в виде
то билинейную функцию можно представить в виде
Пример 6. Билинейный функционал в некоторым базисе имеет матрицу
Найти аналитическую форму данного функционала и вычислить значение функции для векторов и
Решение. Как замечаем, билинейная функция определена на пространстве Пусть
и
Тогда
По последней формуле находим билинейный функционал.
Для того чтобы найти значение функционала от определенных векторов достаточно поставить в полученную формулу координаты векторов или использовать тужу формулу в виде произведение матриц, но с конкретными числами.
Ответ. и
1.3 Симметричные и кососимметричные билинейные функции
Определение. Билинейная форма называется симметричной, если для любых элементов справедливо равенство
Теорема. Билинейная форма, определена на линейном пространстве симметрична тогда и только тогда, когда ее матрица в любом базисе симметрична, т.е.
Пример 7. Функционал
является симметричным. Матрица этого функционала имеет следующий вид
Определение. Билинейная форма называется кососимметричной, если для любых элементов справедливо равенство
Теорема. Билинейная форма, определена на линейном пространстве симметрична тогда и только тогда, когда ее матрица в любом базисе кососимметрична, т.е.
Пример 8. Функционал
является кососимметричным. Матрица этого функционала имеет следующий вид
Пусть в некоторым базисе симметричная билинейная функция имеет вид
где
Такой вид симметричной билинейной функции называется каноническим. Числа называются каноническими коэффициентами, а базис каноническим базисом билинейной функции.
Матрица билинейной функции имеющий канонический вид является диагональной матрицы. К тому же, по диагонали находится канонические коэффициенты, остальные элементы матрицы равны нулю.
На пример, билинейный функционал из примера 2 имеет канонический вид.
Теорема. Для любой симметричной билинейной форму существует канонический базис.
Пример 9. Найти канонический вид симметричной билинейной форму, заданной в базисе выражением
Решение. Составляем квадратичную форму к билинейной формы
Находим канонический вид квадратичной форме.
Делаем замену переменных:
Тогда квадратичная форма принимает вид:
Так как
Получаем
Из каноническое форме квадратичного функционала получаем каноническую форму билинейного функционалы
Находим канонический базис
или
Ответ. Билинейный функционал имеет каноническую форму
По базису
1.4 Закон изменения матрицы билинейной формы
Пусть в пространстве определены два базиса и вместе с матрицей перехода Тогда
Пусть это некоторый вектор пространства Тогда, одной стороны
С другой стороны
Так как в одном пространстве это один и тот же вектор получаем
Приравнивая обе часть предыдущего равенства, получаем:
То что показывает что
Пусть теперь матрица билинейной функции по базису а матрицатой же билинейной функции по базису т.е. и
Так как Но
Сравнивая левую и правую часть этого равенства, заключаем, что имеет место
Теорема. Матрицы и билинейной формы на в базисах связаны соотношением
где это матрица перехода от
Пример 10. Найти матрицу билинейного функционала в базисе если функционал в базисе имеет матрицу
Решение. Как известно, векторы имеют координаты
Вычисляем координаты векторов
Тогда
Вычисляем матрицу функционала в новом базисе.
Ответ.
Определение. Матрицы и с называются конгруэнтными.
Пример 11. Для предыдущего функционала, матрицы
являются конгруэнтными.
Определение. Рангбилинейной формы называется ранг соответствующей ей в каком -нибуть базисе матрицы
1.5 Ядро билинейное функции
Определение. Множество
называется левое ядро билинейной функции
Определение. Множество
называется левое ядро билинейной функции
Пример 12. Найти ядра билинейной функции
Решение. Заметим, что данная форма определена на векторном пространстве Тогда каждый вектор этого пространства имеет вид
Вычисляем левое ядро. По определению имеем:
Пусть
Тогда
Ответ. Ядра билинейного функционала являются множество и соответственно.
Глава 2. Квадратичные функционалы
2.1 Определение квадратичного функционала
Пусть симметричная билинейная функция, заданная на линейном пространстве
Определение. Числовая функция одного аргумента которая получается из билинейной функции при называется квадратичной формой (функцией, функционалом). [ил, стр. 205]
Пример 1. Найти квадратичную форму полученную из билинейной формы
Решение. Для того что бы получить квадратичную форму, достаточно поставить вместо вектор В результате, получаем:
Ответ.
Определение. Симметричная билинейная форма называется полярной к квадратичной форме [глухов, стр. 205]
Полярная билинейная форма и квадратичная форма связаны следующем соотношением:
(1)
Пример 2. [беклемишева, задача 32.2.(3), стр. 303] Восстановить симметричную билинейную форму в 3-мерном пространстве по квадратичной форме
и составить ее матрицу.
Решение. В 3-мерном пространстве, имеем векторы
Тогда
Используя формулу для вычисляем и
На основание формулы (1), получаем:
2.2 Методы приведения квадратичного функционала к канонической форме.
Метод Якоби
Метод Якоби основанным на треугольное преобразование базисных векторов.
Определение. Преобразование базисных векторов называется треугольным, если оно имеет следующий вид:
(2)
Рассмотрим угловые миноры матрицы квадратичной форме в базисе е и обозначаем их символами где:
(3)
Теорема[iliin, 2000, стр.52]. Пусть миноры матрицы квадратичной формы отличны от нуля. Тогда существует базис в котором принимает канонический вид:
Метод Лагранжа
Одним из более простым методом приведения квадратичного функционала к каноническому виду, является так называемый метод Лагранжа или метод выделения полных квадратов.
Теорема. [мальцев, стр.264]Любая квадратичная форма заданая в мерном линейном пространстве, с помощью невырожденного линейного преобразования координат может быть приведена каноническому виду.
1. Функционал содержит хотя бы один квадрат.
Пусть, например Тогда представим квадратичный функционал следующим образом:
где является квадратичный функционал и не зависит от переменной
Производя подстановку
Тогда квадратичный функционал принимает следующий вид:
2. Пусть но, например,
Переписываем форму в виде
и делаем замену
В результате, получаем форму:
которое содержит квадрат переменной
Метод ортогональных преобразований.
Пусть квадратичный функционал имеет матрицу:
Уравнение
называется характеристическое уравнение квадратичного функционала.
Решая данное уравнение, получаем собственные значения функционала
Для каждого находим ортонормированный вектор
которое является ортогональной матрицей, т.е.
Тогда, квадратичный функционал имеет каноническую форму
Пример. [проскуряков 1249, стр.154] Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду и написать этот канонический вид:
Решение. Составляем характеристическое уравнение:
Разложим определители по правилам треугольников:
Для каждого находим собственный вектор.
Для получаем матрицу
Приводим матрицу к треугольной форме. Для этого умножаем первую строку на (-4) и складываем со второй, а из третей строке отнимаем первую. В результате получаем:
Если первую строку делим на 2, вторую строку делим на -18, а третью делим на 9 и складываем со второй, получаем:
Из последней матрицей, получаем однородную систему уравнений:
Пусть тогда
Для получаем матрицу
Приводим матрицу к треугольной форме. Для этого умножаем первую строку на 8, вторую на 7 и складываем с первой, а из третей строке отнимаем первую. В результате получаем:
Если первую строку делим на 2, вторую строку делим на -18, а третью делим на 9 и складываем со второй, получаем:
Из последней матрицей, получаем однородную систему уравнений:
Пусть тогда
2.3 Нормальный вид квадратичного функционала
Нормальный вид это такой канонический вид в котором коэффициенты квадратах неизвестных равны 1 или -1.
Пример 1. Найти нормальный вид в области вещественных чисел квадратичную форму[pr/ 1177, p/]
Решение. Находим канонический вид данного функционала Методом Лагранжа.
Подставляем
Тогда квадратичный функционал получает следующий нормальный вид:
Ответ.
Пример 2. (Смирнов, 1258(3), стр.209) Методом Лагранжа привести квадратичную функцию к нормальному виду, найти матрицу соответствующего линейного преобразования
Решение. Так как коэффициент при отличен от 1 и -1, то в преобразование переменных берем коэффициент для коэффициент
Применяя формулу сокращенного умножения, получаем:
Делаем замену переменных:
Тогда, квадратичный функционал принимает следующий вид:
или
Делаем еще одну замену переменных:
Тогда
Находим связь между переменами х и у.
Пример 3. (проскуряков, 1178, стр.155) Найти нормальный вид, в области вещественных чисел, квадратичной форме:
Решение. Так как все коэффициенты квадратов равны нулю, делаем сначала замена переменных:
Тогда
Или
Применяем метод Лагранжа и получаем:
Или
Делаем еще одну подстановку
Тогда мы получаем нормальный вид квадратичного функционала:
Ответ.
Заключение
В результате изучения данной темы, я пришла к выводу что для того что бы провести полное исследование билинейного функционала нужно сначала изучить по алгебре темы квадратичный матрицы и действия над ними, определители. В противном случае, не возможно найти канонический вид билинейного функционала или матрицу преобразования при замене базиса пространства.
Также полное исследование билинейного функционала невозможно без методы решения линейных уравнений, которые используются для вычисления ядра функционала.
Список литературы
1. Onoi Vasile. ALGEBRA LINIARA I GEOMETRIE ANALITICA. Chi?inau, Editura Evrica, 2000.
2. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.,А. СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ. Москва, Издательство «Наука», 2004.
3. Булгаков Д.Н., Попов А.М. Билинейные и квадратичные формы. Москва, Издательство Российского университета дружбы народов, 2001.
4. Бурдун А.А. Сборник задач по алгебре и аналитической геометрии. Минск, 1999.
5. Бутузов В. Ф., Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. Москва, ФИЗМАТЛИТ, 2002.
6. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. Москва, 1998.
7. Глухов М.М., Елизаров В.П., Нечаев А.А. Алгебра. Москва, «Гелиос АРВ», 2003.
8. Ефимов Н.В. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ И МАТРИЦЫ. Москва, Наука, 1967.
9. Золотых Н. Ю., Ильичев А.П., Таланов В.А. БИЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ПРИМИНЕНИЕ. Нижний Новгород, 2005.
10. Зыков А.А. Лекции по алгебры. Одесса, Астропринт, 2007.
11. Ильин В.А., Позняк В.Г. Линейная алгебра. Москва, ФИЗМАТЛИТ, 1999.
12. Ильин В.А., Позняк В.Г. Линейная алгебра. Москва, ФИЗМАТЛИТ, 2002.
13. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра. Москва, 2002.
14. Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА В ВОПРОСАХ И ЗАДАЧАХ. Москва, Высшая школа, 1985.
15. Мануйлов В.М. Курс лекций по линейной алгебре и геометрии. Москва, 2008.
16. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. Москва, Бином, 2005.
17. Смирнов Ю.М. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. Москва, Издательство «Логос», 2005.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Особенности выполнения задачи минимизации функционала. Свойства билинейной формы. Формулирование обобщенного способа решения вариационной задачи для краевых задач с самосопряженным дифференциальным оператором (вследствие квадратичности функционала).
презентация [79,5 K], добавлен 30.10.2013Фундаментальные понятия теории квадратичных форм. Линейные, квадратичные и билинейные функционалы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Классификация комплексных квадратичных функционалов. Определенные вещественные квадратичные функционалы.
контрольная работа [378,5 K], добавлен 24.08.2015Понятие функционала и оператора. Задачи, приводящие к экстремуму функционала, и необходимые условия его минимума. Связь между вариационной и краевой задачами. Функционалы, зависящие от нескольких функций. Вариационные задачи с подвижными границами.
курсовая работа [313,3 K], добавлен 23.05.2010Основные способы приведения квадратичных форм к каноническому виду. Выделение полных квадратов по стандартной схеме метода Лагранжа. Запись матрицы перехода. Линейное и невырожденное преобразование координат. Метод ортогональных преобразований.
лекция [362,9 K], добавлен 05.09.2013Понятия и термины вариационного исчисления. Понятие функционала, его первой вариации. Задачи, приводящие к экстремуму функционала, условия его минимума. Прямые методы вариационного исчисления. Практическое применение метода Ритца для решения задач.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 08.04.2015Понятие квадратичной формы и способы ее записи. Действительные и недействительные, вырожденные и невырожденные формы, ранг матрицы. Знакоопределенность квадратичных форм, определение ее миноров. Критерии положительной и отрицательной определенностей.
контрольная работа [41,2 K], добавлен 03.08.2010Теорема Куна-Такера. Побудування функції Лагранжа. Задача квадратичного програмування. Узагальнення симплексного метода лінійного програмування згідно методу Біла. Правила переходу від однієї таблиці до іншої. Система обмежень у допустимої області.
курсовая работа [252,9 K], добавлен 08.05.2014Определение вероятности для двух несовместных и достоверного событий. Закон распределения случайной величины; построение графика функции распределения. Нахождение математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения случайной величины.
контрольная работа [97,1 K], добавлен 26.02.2012Понятие матрицы и ее основные элементы. Пример нахождения ее ранга путем приведения к ступенчатому виду. Описание действий над матрицами. Разбор умножения их на примере. Особенности алгебраического дополнения. Алгоритм определения обратной матрицы.
презентация [617,0 K], добавлен 15.09.2014Симплексный метод как универсальное решение задач линейного программирования. Применение метода Жордана-Гаусса для системы линейных уравнений в канонической форме. Опорное решение системы ограничений. Критерий оптимальности. Задача канонической формы.
презентация [2,0 M], добавлен 11.04.2013
