Бесконечно малые функции

Размещено на http://www.allbest.ru/

Бесконечно малые функции (Б.М.Ф.)

Содержание

1. Определения и основные теоремы

2. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией

3. Основные теоремы о пределах

4. Признаки существования пределов

5. Первый замечательный предел

6. Второй замечательный предел

1. Определения и основные теоремы

Функция у=f(х) называется бесконечно малой при х>x_0,если

По определению предела функции равенство (17.1) означает: для любого числа е>0 найдется число д>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству

0<|х-x₀|<д,

выполняется неравенство

|ѓ(х)|<е.

Аналогично определяется б.м.ф. при

х>х_о+0, х>x₀-0, х>+?, х>-?

во всех этих случаях ѓ(х)>0.

Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми; обозначают обычно греческими буквами б, Я и т. д.

Пример:

х_n=1/n,

nєN, -- бесконечно малая последовательность.

Теорема 1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Пусть б(х) и Я(х) -- две б.м. функции при х>хо. Это значит, что lim б(х)=0, при х>х₀ т.е. для любого е>0, а значит, и е/2>0 найдется число д₁>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству

0<|х-х₀|<д₁,

выполняется неравенство

Пусть д -- наименьшее из чисел д₁ и д₂.Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х-х_о|<д, выполняются оба неравенства (17.2) и (17.3). Следовательно, имеет место соотношение

Таким образом

Аналогично проводится доказательство для любого конечного числа б.м. функций.

Теорема 2. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.

Пусть функция ѓ(х) ограничена при х>хо. Тогда существует такое число М>0, что

для всех х из д₁-окрестности точки х_о. И пусть б(х) - б.м.ф. при х>x₀. Тогда для любого е >0, а значит, ие /М> 0 найдется такое число д₂>О, что при всех х, удовлетворяющих неравенству

0<|х-х_о|<д₂,

выполняется неравенство

Обозначим через д наименьшее из чисел д₁ и д₂. Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенству

0<|х-х_о|<д,

выполняются оба неравенства (17.4) и (17.5). Следовательно,

|ѓ(х)-б(х)|=|ѓ(х)|-|а(х)|<е.

А это означает, что произведение ѓ(х)*б(х) при х>х₀ есть бесконечно малая функция.

Следствие 1. Так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы (17.2) вытекает: произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая.

Следствие 2. Произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая.

Теорема 3. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.

Теорема .4 . Если функция б(х) -- бесконечно малая (б№ 0), то функция 1/б(х) есть бесконечно большая функция и наоборот: если функция ѓ(х)-- бесконечно большая, то 1/ѓ(х) -- бесконечно малая.

А это означает, что функция 1/б(х) есть бесконечно большая. Аналогично доказывается обратное б(х) утверждение.

Замечание: Доказательства теорем приводились для случая, когда х > хо, но они справедливы и для случая, когда х>?.

Пример:

Показать, что функция

при х>1 является бесконечно малой.

2. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией

Теорема 5. Если функция ѓ(х) имеем предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции б(х), т. е. если limѓ(х)=А, при Х>Хо то ѓ(х)=А+а(х).

Пусть

Следовательно,



т. е. |ѓ(х)-А-0|<е.

Это означает, что функция ѓ(х)-А имеет предел, равный нулю, т. е. является б.м.ф., которую обозначим через б(х):

ѓ(х)-А=б(х).

Отсюда

ѓ(х)=А+б(х).

Теорема. 6 (обратная). Если функцию ѓ(х) можно представить в виде суммы числа А и бесконечно малой функции б(х), то число А является пределом функции ѓ(х), т. е. если ѓ(х)=А+б(х), то lim ѓ(х)=А при Х>Хо

Пример:

Доказать, что

Решение: Функцию 5+х можно представить в виде суммы числа 7 и б.м.ф. х-2 (при х>2), т. е. выполнено равенство 5+х=7+(х-2). Следовательно, по теореме 17.6 получаем



3. Основные теоремы о пределах

Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функции. Формулировка и доказательство теорем для случаев, когда х>x₀ и х>?, аналогичны. В приводимых теоремах будем считать, что пределы limѓ(х), limц(х) существуют при Х>Хо

Теорема 7. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:

В случае разности функций доказательство аналогично. Теорема справедлива для алгебраической суммы любого конечного числа функций.

Следствие 3. Функция может иметь только один предел при х>х_о.

Пусть

По теореме 17.7 имеем:

Отсюда А-В=0, т. е. А=В.

Теорема 8. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

Доказательство аналогично предыдущему, проведем его без особых пояснений. Так как

где б(х) и Я(х) -- б.м.ф. Следовательно,

Выражение в скобках есть б.м.ф. Поэтому

Отметим, что теорема справедлива для произведения любого конечного числа функций.

Следствие 4 . Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Следствие 5. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:

Теорема 9. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

Доказательство аналогично предыдущему. Из равенств

Второе слагаемое есть б.м.ф. как частное от деления б.м.ф. на функцию, имеющую отличный от нуля предел.

Рассмотрим примеры:

Пример:

Вычислить



Решение:

Вычислить

Решение: Здесь применить теорему о пределе дроби нельзя, т. к. предел знаменателя, при х>2, равен 0. Кроме того, предел числителя равен 0. В таких случаях говорят, что имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители, затем сократим дробь на х-2?0 (х>2, но х№ 2):

Вычислить

Решение: Здесь мы имеем дело с неопределенностью вида . Для нахождения предела данной дроби разделим числитель и знаменатель на х²:



Функция 2+3/х+1/х² есть сума числа 2 и б.м.ф. ,поетому

4. Признаки существования пределов

предел функция алгебраический тригонометрический

Не всякая функция, даже ограниченная, имеет предел. Например, функция у = sin х при х®? предела не имеет. Во многих вопросах анализа бывает достаточно только убедиться в существовании предела функции. В таких случаях пользуются признаками существования предела.

Теорема 10 (о пределе промежуточной функции). Если функция ѓ(х) заключена между двумя функциями ц(х) и g(х), стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т. е. если

то

Из равенств (17.6) вытекает, что для любого е>0 существуют две окрестности д₁ и д₂ точки х_о, в одной из которых выполняется неравенство

|ц(х)-А|<е,

т. е.

-е<ц(х)-А<е, (17.8)

а в другой

|g(х)-А|<е,

т. е.

-е<g(х)-А<е. (17.9)

Пусть д - меньшее из чисел д₁ и д₂. Тогда в д-окрестности точки x₀ выполняются оба неравенства (17.8) и (17.9). Из неравенств (17.7) находим, что

ц(x)-A?f(x)-A?g(x)-A (17.10)

С учетом неравенств (17.8) и (17.9) из неравенства (17.10) следуют неравенства

-е<ѓ(х)-А<е

или

|ѓ(х)-А|<е.

Мы доказали, что

е>0 $ д>0 " x: 0<|х-х₀|<д Ю |ѓ(х)-А|<е,

то есть lim ѓ(х)=А при х -> x₀.

Теорему 10 иногда шутливо называют "принципом двух милиционеров". Роль "милиционеров " играют функции ц(х) и g(х), функция ѓ(х) "следует за милиционерами "

Теорема 11 (о пределе монотонной функции). Если f(x) монотонна и ограничена при х<х_о или при х>х_о, то существует соответственно ее левый предел или ее правый предел

Доказательство этой теоремы не приводим.

Следствие 6. Ограниченная монотонная последовательность x_n, nєN, имеет предел.

5. Первый замечательный предел

При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел

называемый первым замечательным пределом. Читается: предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю. Докажем равенство (17.11).

Возьмем круг радиуса 1, обозначим радианную меру угла MOB через х (см. рис. 113).



Пусть 0<х<p /2. На рисунке |АМ|=sinx, дуга MB численно равна центральному углу х, |ВС|=tgx. Очевидно, имеем S_{D MOB} <S_{сектораMOB}<S_{D COB.} На основании соответствующих формул геометрии получаем

Ѕsinx<Ѕx<Ѕtgx.

Разделим неравенства на Ѕsinx>0, получим

1<x/sinx<1/cosx или cosx<sinx/x<1.

Так как limcosx=1 и lim1=1 при х->0, то по признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов

Пусть теперь х < 0. Имеем

Где -x>0. Поэтому



Из равенств (17.12) и (17.13) вытекает равенство (17.11). ^

Пример:

Решение: Имеем неопределенность вида . Теорема о пределе дроби неприменима. Обозначим 3х=t; тогда при х>0 и t>0, поэтому

Пример:

6. Второй замечательный предел

Как известно, предел числовой последовательности

nєN, имеет предел, равный е (см. (15.6)):



Докажем, что к числу е стремится и функция

1. Пусть х>+?. Каждое значение х заключено между двумя положительными целыми числами:

n?х<n+1,

где n=[х]-- это целая часть х. Отсюда следует

Если х>+?, то n>?. Поэтому, согласно (17.14), имеем:

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов

2. Пусть х>-?. Сделаем подстановку -х= t, тогда

Из равенств (17.16) и (17.17) вытекает равенство (17.15).

Если в равенстве (17.15) положить 1/x=а (а>0 при х>?), оно запишется в виде

Равенства (17.15) и (17.18) называются вторым замечательным пределом. Они широко используются при вычислении пределов. В приложениях анализа большую роль играет показательная функция с основанием е. Функция у=е^х называется экспоненциальной, употребляется также обозначение

е^х=ехр(х).

Пример:

Найти

Решение: Обозначим х=2t, очевидно, t>?. при х>?. Имеем

Размещено на Allbest.ru