Дифференциальные уравнения Ньютона

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дифференциальные уравнения Ньютона

В декартовой системе координат формула ускорения точки определяется формулой:

Одним из фундаментальных разделов динамики является раздел динамики материальной точки, в котором под материальной точкой понимается простейшая механическая система, обладающая минимально возможным числом степеней свободы при данной размерности пространства.

Основной закон динамики устанавливает, как изменяется скорость точки при действии на нее какой-нибудь силы, а именно: произведение массы материальной точки на ускорение, которое она получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы. Математически этот закон выражается векторным равенством:

декартовый материальный точка математический

Мы имеем уравнение, в левой и правой части которого стоят векторные величины. Если мы выберем ортогональную (декартову) систему координат, то спроецировав вектор перемещения и вектор силы на оси X и Y координат, мы получим систему из двух уравнений:

Это система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка разрешимых относительно старшей производной.

Полярная система координат:

Единичный вектор, направленный вдоль оси Х, обозначается i, единичный вектор, направленный вдоль оси Y, обозначается j. Векторы i, j называются ортами, они имеют единичные модули.

Проекции вектора ускорения на орты имеют вид:

Основное уравнение динамики в полярных координатах

Основное уравнение динамики: в проекциях на подвижные орты легко получить сразу, воспользовавшись формулами проекций ускорений:

В точке кривой построены векторы касательной (), главной нормали () и бинормали (). Показана также соприкасающаяся плоскость, содержащая касательную и главную нормаль. Если «s» - натуральный параметр вдоль кривой, то векторы связаны соотношениями:

Называемыми формулами Френе. Величины:

называют, соответственно, кривизной и кручением кривой в данной точке.

Второй закон Ньютона математически выражается в виде дифференциального уравнения:

Здесь учтено, что сила F, вызывающая ускорение тела массы m, в общем случае зависит от положения тела (если тело движется в каком-либо поле), его скорости (учет сопротивления движению), а также может меняться во времени.

1.

Квазиупругая сила - переменная сила F, действующая на материальную точку М, пропорциональная и противоположная по направлению смещению r точки из положения равновесия О (см. рис.): F = - kr, где k - коэффициент квазиупругой силы.

Интеграл энергии:

Интеграл энергии называется интегралом исходного дифференциального уравнения, если оно получено как следствие исходного дифференциального уравнения.

Вопрос о единственности решения остается открытым.

Дифференциальное уравнение колебаний.

Координата центра шарика есть функция от времени . Поставим задачу найти эту функцию.

Ускорение движения центра шарика есть производная второго порядка от . По закону Ньютона произведение массы шарика на ускорение его центра равно действующей на него силе. Если пренебречь весом шарика и сопротивлением воздуха, то придется учесть только силу напряжения в пружине. По закону Гука эта сила равна , где - положительный коэффициент, характеризующий упругие свойства пружины. Если , то пружина растянута, и сила напряжения направлена вверх, т. е. в наших обозначениях отрицательна, а если , то пружина сжата и указанная сила направлена вниз, т. е. положительна. В обоих случаях сила равна .

Итак, справедливо равенство

или

Мы видим, что искомая функция удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению второго порядка.

Общее его решение имеет вид:

где

Общее решение линейно по константам.

=-kx+вm

m=-kx+вm

Получили обыкновенное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

Уравнение затухающих колебаний:

3.

Для случая резонанса дифференциальное уравнение колебаний запишется так:

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Бесконечное увеличение амплитуды колебаний возникает в том случае кода частота колебаний щ совпадает с частотой вынужденных колебаний с.

Замечание. 1) Периодическое механическое движение. 2) Явление резонанса (резкое увеличение амплитуды колебаний).

В механике возможна бесконечность, что приводит к разрушению механической системы.

Размещено на Allbest.ru