Алгебри, породжені лінійно пов'язаними проекторами, їх зображення та застосування

Структура скінченовимірних алгебр, породжених лінійно пов'язаними ідемпотентами. Опис та аналіз двопараметричної множини коефіцієнтів, для яких алгебра, породжена четвіркою проекторів, лінійна комбінація яких дорівнює одиниці, має ненульові зображення.

Рубрика Математика
Вид автореферат
Язык украинский
Дата добавления 13.09.2013
Размер файла 32,9 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Алгебри, породжені лінійно пов'язаними проекторами, їх зображення та застосування

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми.

Дисертаційна робота належить до одного з напрямків сучасної алгебри - теорії зображень алгебр операторами в гільбертовому просторі. Ця теорія має різноманітні застосування в багатьох галузях математики від теорії груп і алгебраїчної геометрії до топології і математичної фізики. Зокрема, вона знаходить застосування при побудові моделей теоретичної фізики; при побудові символів оборотності сингулярних інтегральних операторів; в теорії квантових однорідних просторів і їх застосуваннях для побудови точних розв'язків диференціальних рівнянь у частинних похідних; при вивчені певних класів несамоспряжених операторів; при побудові топологічних інваріантів вузлів тощо.

У дисертаційній роботі вивчаються алгебри, породжені лінійно пов'язаними ідемпотентами, з інволюцією * (* - алгебри). Зображення відповідних алгебр розглядаються узгодженими з інволюцією *, такою що ідемпотент є проектором (самоспряженим ідемпотентом), що звужує множину зображень, але дозволяє проводити більш детальне їх вивчення. Крім того, факти теорії * - зображень, можуть бути застосовані до вивчення самої алгебри (вже без додаткової структури в ній) та її зображень.

Теорія зображень, зокрема теорія зображень асоціативних алгебр, бере початок наприкінці XIX « - на початку XX сторіччя у роботах Г. Фробеніуса, І. Шура, В. Бернсайда, Ф.Е. Моліна та інших.

Інволюція, задана на групових алгебрах, дозволяє виділяти унітарні зображення відповідних груп. Розвиток теорії зображень * - алгебр у 30-60 рр. XX сторіччя обумовлений значною мірою її застосуваннями у теорії унітарних зображень груп і пов'язаний з вивченням самоспряжених операторних алгебр, зокрема $C^*$-алгебр та $W^*$-алгебр (Дж. фон Нейман, Дж. Діксм'є, І. М. Гельфанд, М.А. Наймарк, Д.А. Райков, А.А. Кирилов, І. Сігал та інші).

Відкриття у 80-х рр. квантових груп і квантових однорідних просторів (В.Г. Дрінфельд, М. Джимбо, С. Воронович, Л.Д. Фаддєєв, С. Клімек, А. Лісневський та інші) та їх застосування у моделях математичної фізики, теорії спеціальних функцій, моделях q-квантової механіки, квантової теорії поля (Б. Зуміно, Дж. Весс, Е. Віттен, А.У. Клімик та інші) породило нову хвилю у розвитку теорії зображень * - алгебр.

На сучасному етапі роботи по теорії зображень * - алгебр значною мірою пов'язані з вивченням алгебр, заданих твірними і співвідношеннями, та їх зображень. Такі * - алгебри виникають у зв'язку з деформаціями класичних співвідношень квантової механіки (А. Макфарлейн, Л. Біеденхарн, С. Воронович, К. Шмюдген, П. Йоргенсен, Д.Б. Фарлі та інші), аніонними статистиками (Г. Голдін, В. Шарп, Р. Менікофф та інші) і їх застосуваннями, зокрема до дробового квантового ефекту Хола (Р. Логлін, Ф. Вілчек, Б. Халперін, И. Чен, Е. Віттен та інші). Цікаві приклади * - алгебр та їх зображень, пов'язані з теорією вузлів, вивчалися у роботах В. Джонса, Г. Венцля (1980-2000 рр.).

У роботах С.А. Кругляка, В. І. Рабановича, Ю.С. Самойленка (2000-2003 рр.) розв'язуються задачі опису зображень алгебр, які породжені скінченною кількістю самоспряжених ідемпотентів, сума яких кратна одиниці.

У дисертаційній роботі вивчаються алгебри, породжені проекторами або ідемпотентами, лінійна комбінація яких дорівнює одиниці алгебри та їх зображення.

У роботах Рабановича В. І., Самойленка Ю.С. і Стрільця О.В. (2001-2003 рр.) вивчалися алгебри, породжені лінійно пов'язаними ідемпотентами, досліджувався їх ріст, наявність у цих алгебрах поліноміальних тотожностей тощо, але алгебраїчна побудова цих алгебр була вивчена недостатньо, зокрема не було відповіді на питання, чи є серед таких алгебр ненапівпрості. У дисертаційній роботі (перший розділ) описана структура скінченновимірних алгебр, породжених ідемпотентами, лінійна комбінація яких дорівнює одиниці. Зокрема виявилося, що серед алгебр, породжених трійкою лінійно пов'язаних ідемпотентів, є ненапівпрості.

У роботах Галінського Д.В., Кругляка С.А. (1997-1999 рр.) вивчались * - зображення алгебр, породжених четвіркою лінійно пов'язаних проекторів. Для алгебр, породжених n-кою лінійно пов'язаних проекторів, Кругляком С.А. (2002 р.) були введені функтори Кокстера, які є еквівалентностями категорій * - зображень відповідних алгебр. У другому і третьому розділах дисертаційної роботи функтори Кокстера застосовуються для опису зображень таких алгебр. Отримані результати застосовуються до задачі опису трійок проекторіву гільбертовому просторі, сума яких має дві точки спектру.

Все зазначене вище свідчить про актуальність теми дисертаційної роботи.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Тематика дисертаційної роботи пов'язана з дослідженнями відділу функціонального аналізу Інституту математики НАН України за темою ``Спектральна теорія операторів та їх застосування до задач математичної фізики'' (номер державної реєстрації 0101U000321) і з наково-дослідницькими роботами кафедри алгебри та математичної логіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка ``Комбінаторно-геометричні, категорні та комп'ютерні методи вивчення алгебраїчних структур та їх зображень'' (номер державної реєстрації 0101U002484).

Мета роботи:

Описати структуру скінченовимірних алгебр, породжених лінійно пов'язаними ідемпотентами. Дослідити, чи є серед таких алгебр ненапівпрості.

Описати, використовуючи функтори Кокстера, множину коефіцієнтів, для яких алгебра, породжена четвіркою проекторів, лінійна комбінація яких дорівнює одиниці, має ненульові зображення.

Описати оператори з двоточковим спектром, які є сумою незвідної трійки проекторів і ті, які є сумою трійки проекторів (не бов'язково незвідної).

Дослідити двопараметричні множини коефіцієнтів, для яких алгебри, породжені n-кою проекторів, мають ненульові зображення.

Знайти приклади * - диких алгебр, породжених лінійно пов'язаними проекторами.

Методи дослідження.

У дисертаційній роботі застосовуються методи теорії асоціативних алгебр, які задані твірними та визначальними співвідношеннями; методи теорії * - зображень алгебр, зокрема, метод функторів Кокстера в теорії * - зображень алгебр, породжених лінійно пов'язаними проекторами, тощо.

Наукова новизна одержаних результатів.

У дисертаційній роботі отримані такі нові результати:

Встановлено, що серед алгебр, породжених лінійно пов'язаними ідемпотентами, є ненапівпрості. Описана будова скіченновимірних алгебр, породжених лінійно пов'язаними ідемпотентами.

Описано, за допомогою функторів Кокстера, множину коефіцієнтів, для яких алгебра, породжена четвіркою проекторів, лінійна комбінація яких дорівнює одиниці, має ненульові зображення.

Описано оператори з двоточковим спектром, які є сумою незвідної трійки проекторів і ті, які є сумою трійки проекторів (не обов'язково незвідної).

Знайдено декілька двопараметричних множин коефіцієнтів, для яких алгебри, породжені $n$-кою проекторів, мають ненульові зображення (при $n=5 $ і $n=6 $).

Наведені приклади * - диких алгебр, породжених лінійно пов'язаними проекторами.

Практичне значення одержаних результатів.

Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані при подальших вивченнях алгебр, породжених лінійно пов'язаними проекторами, їх зображень, застосовані до опису операторів, пов'язаних лінійними співвідношеннями, зокрема до розв'язання проблем Г. Вейля та П. Халмоша.

Апробація результатів дисертації.

Основні положення дисертації доповідалися і обговорювалися на Міжнародній конференції <<Симетрія у нелінійній математичній фізиці>> (Київ, 2001, 2003 рр.), на Міжнародному осінньому математичному симпозиумі з спектральних та еволюційних задач (Севастополь, 2002 р.), на науково-технічній конференції КНУБА (Київ 2000-2003 pp.), на алгебраїчному семінарі Київського національного університету імені Тараса Шевченка (Київ, 2003 р.), на засіданні семінару <<Алгебраїчні питання функціонального аналізу>> в Інституті математики НАН України (Київ, 2001-2003 рр.).

Публікації.

Основні результати дисертаційної роботи опубліковані у наукових статтях [1-5]. З них [1-4] надруковані у фахових виданнях. Роботи [3-4] написані автором самостійно. [5] - тези доповіді. До дисертації включені лише ті результати сумісних робіт, які отримані дисертантом особисто і самостійно.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертації отримані автором особисто і самостійно.

Дисертаційна робота складається із вступу, трьох розділів, висновків та списку літератури, викладених на 105 сторінках машинописного тексту. Cписок літератури містить 44 найменування.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівнику професору Самойленку Юрію Стефановичу та доценту Кругляку Станіславу Аркадійовичу за постійну увагу і підтримку під час написання роботи.

Зміст роботи

алгебра лінійний двопараметричний ідемпотент

Перший розділ присвячений опису структури алгебр, породжених лінійно пов'язаними ідемпотентами, та зображенням і * - зображенням таких алгебр.

У першому розділі роботи наводяться необхідні теоретичні відомості, досліджується структура скінченновимірних алгебр, породжених ідемпотентами, лінійна комбінація яких дорівнює одиниці:

$Q_{n,\vec\a}=\mathbb{C}\langle q_1, q_2,…, q_n | q_k^2=q_k \

(k=1,…, n);\ \sum_{k=1}^n \a_kq_k= e\rangle,$

\noindent де $ \ n\in\mathbb{N}, \vec\a=(\a_1,…,\a_n)\in

\mathbb{C}^n, \forall i: \a_i>0,$ досліджуються властивості * - зображень таких алгебр пов'язані з функторами Кокстера.

У пункті \ref {sec:try} детально досліджена алгебра $Q_{3,\vec\alpha}$, і доведено, зокрема,

що алгебра $Q_{3,\vec\a}$ не є напівпростою при $\a_i=1, \

\a_j+\a_k=1 $ $(i\neq j\neq k$). Структура алгебр $Q_{3,\vec\a}$ описана у наступній теоремі.

Теорема 1.3 Алгебра $Q_{3,\vec\a}\neq 0 $, тоді і тільки тоді, коли виконується одна із умов {\it 1-9} і тоді:

\begin{enumerate}

\item $\a_1+\a_2+\a_3=1 $ і алгебра $Q_{3,\vec\a}$ є одновимірною алгеброю;

\item\label{tryp2} $\a_i=1 $, $\a_j\neq 1 $, $\a_k\neq 1 $, $\a_j+\a_k\neq 1 $ і алгебра $Q_{3,\vec\a}$ є одновимірною алгеброю;

\item $\a_i=\a_j=1 $, $\a_k\neq 1 $ і алгебра $Q_{3,\vec\a}$ є комутативною двовимірною напівпростою алгеброю;

\item $\a_1=\a_2=\a_3=1 $ і алгебра $Q_{3,\vec\a}$ є комутативною тривимірною напівпростою алгеброю;

\item $\a_j+a_k=1 $, $\a_i+\a_j\neq 1 $, $\a_i+\a_k\neq 1 $, $\a_i\neq 1 $ і алгебра $Q_{3,\vec\a}$ є комутативною двовимірною напівпростою алгеброю;

\item $\a_i+\a_j=1 $, $\a_i+\a_k= 1 $, $\a_j+\a_k\neq 1 $ і алгебра $Q_{3,\vec\a}$ є комутативною двовимірною напівпростою алгеброю;

\item $\a_i+\a_j=1 $, $\a_i+\a_k=1 $, $\a_j+\a_k=1 $, тобто $\a_i=\a_2=\a_3=\frac{1} {2}$, і алгебра $Q_{3,\vec\a}$ є комутативною тривимірною напівпростою алгеброю;

\item $\a_1+\a_2+\a_3= 2 $, де $\forall \a_i\neq 1 $, і алгебра $Q_{3,\vec\a}$ є не комутативною чотирьохвимірною напівпростою алгеброю, яка ізоморфна $M_2 (\mathbb{C})$;

\item $\a_i=1 $, $\a_j+\a_ k=1 $ всі алгебри $Q_{3,\vec\a}$ ізоморфні; алгебра $Q_{3,\vec\a}$ є некомутативною чотирьохвимірною ненапівпростою алгеброю; радикал алгебри породжується елементами $ q_jq_k-q_j,$ $ q_jq_k-q_k$; степінь нільпотентності радикала - 2.

\end{enumerate}

Далі доведено, що алгебра має два прості модулі, радикал $R$ такої алгебри має степінь нільпотентності 2, крім того $Q_{3,\vec\a}/ R=\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}$ і $Q_{3,\vec\a}=\langle e_1, e_4\rangle\oplus \langle e_2, e_3\rangle$ розклад лівого регулярного модуля на пряму суму нерозкладних модулів.

У пункті 1.2.2 наводиться конструкція побудови для класу алгебр $P_{n,\vec\alpha}={\mathbb C}\langle p_1, p_2,…, p_n | p_i^2=p_i=p_i^*, (i=i,\ldots, n),\ \sum_{i=1}^n \alpha_i p_i=e\rangle,$ де вектор $\vec\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_n)$, $\alpha_i> 0 $, $i=1,…, n$, функторів $T: Rep{P}_{n,\vec\a}\rightarrow Rep{P}_{n, {(\frac {\alpha_1} {A-1}, \frac {\alpha_2} {A-1},…,\frac {\alpha_n} {A-1})}}$, де $A:=\sum\limits_{i=1}^n\alpha_i>1 $, $S: Rep{P}_{n,\vec\a}\rightarrow Rep{P}_{n, (1-\alpha_1,1-\alpha_2,…, 1-\alpha_n)},\ \vec\a\in (0,1)^n$ \\ та функторів Кокстера $\Phi^+=TS$ і $\Phi^-=ST$, які є еквівалентностями відповідних категорій.

Вводяться позначення $\Sigma_n=\{\vec\alpha:\forall \alpha_i>0,\ * - Rep{P}_{n,\vec\alpha}\neq \O\}$ і $\Sigma_n^1=\{\vec\alpha\in\Sigma_n: 0<\alpha_i<1\}=\Sigma_n\cap (0,1)^n$. Вектор $(d; d_1, d_2,…, d_n)$, де $d=dim H,$ $ d_i=dim Im \pi (p_i)$, називається узагальненою розмірністю зображення $\pi$ в просторі $H$ (для скінченно-вимірного зображення).

Визначені вище функтори індукують дію на на множинах векторів $\vec\alpha$, на сумах їх координат $A$ і на узагальнених розмірностях зображень алгебри

${P}_{n,\vec\alpha}$. Зокрема \[T (\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_n)= (\frac {\alpha_1} {A-1}, \frac {\alpha_2} {A-1},…,\frac {\alpha_n} {A-1}), \] \[S (\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha_n)=(1-\alpha_1,1-\alpha_2,…, 1-\alpha_n),

\[T(A)=\frac{A} {A-1},

\

S(A)=n-A,

\]

\[

T (d; d_1, d_2,…, d_n)=(d; d-d_1, d-d_2,…, d-d_n),

\]

\[S (d; d_1, d_2,… d_n)=(\sum_{i=1}^n

d_i-d; d_1, d_2,…, d_n).

\]

Твердження 1.6 Нехай $\vec \alpha \in\Sigma_n\setminus\Sigma_n^1 $, тоді існує такий набір номерів $1\leq i_1<i_2<<i_k\leq n,\ k<n$, що ${\vec\alpha} '=(\alpha_{i_1},,\alpha_{i_k})\in\Sigma_k^1 $, і при цьому, якщо $\alpha_{i_0}>1 $, то відповідний проектор є нульовим для будь-якого зображення алгебри.

Твердження 1.7 Якщо $\vec\alpha: A>n-1 $, тоді $\vec\alpha\notin\Sigma_n^1 $.

Вводиться означення: $\vec\alpha\in \Sigma_n^1 $ назвемо таким, що задовольняє $S$-умову, якщо або $A=1 $, або $T (\vec\alpha)\notin\Sigma_n^1 $.

Множину $\vec\a$, що задовольняють $S$-умову позначають $\Sigma_{n, S}$.

Доводиться, що $\Sigma_{n, S}\bigcap\Phi^+(\Sigma_{n, S})=\O$.

Твердження 1.8 Якщо $A=1 $, то $\vec\a\in\Sigma_n$, і при цьому алгебра $P_{n,\vec\a}$ має єдине незвідне зображення і його узагальнена розмірність $(1; 1,1,\ldots, 1)$.

Твердження 1.9 Якщо $A>n-1 $, то $T(A)\in (1,1+\frac{1} {n-2})$.

Звідки випливає

Наслідок Якщо $\vec\alpha\in \Sigma_n: A\in [1,1+\frac{1} {n-2})$, то $\vec \alpha$ задовольняє $S$-умову.

Доводиться властивість відображень індукованих функторами на індексах відповідних алгебр.

Твердження 1.12Відображення $T$ або $S$ переводять опуклі множини, що належать області визначення відображення, у опуклі множини.

У пункті 1.3 доводиться аналог твердження 1.12 для функторів Кокстера визначених для іншого класу алгебр

\begin {multline*}

\mathbb{Q}_{n,\vec\beta}=\mathbb{C}\langle

p_1, p_2,…, p_{n+m}\ | \ p_i=p_i^*=p_i^2,\ (i=1,\ldots, n+m), \\

\sum_{i=1}^{n} p_i=\sum_{j=1}^{m}\beta_{j} p_{n+j},\

\sum_{j=1}^{m} p_{n+j}=e,\ p_{n+k} p_{n+l}=0,\ k\neq l\rangle,

\end {multline*}

Твердження 1.13 Відображення, породжені функторами Кокстера, що визначені для алгебр$\mathbb{Q}_{n,\vec\b}$, переводять відрізок, що належить області визначення відображення, у відрізок.

У розділі 2 вивчаються алгебри породжені четвіркою проекторівта їх зображення, описуються оператори з двома точками спектру, які є сумою трійки проекторів.

У пункті 2.1 описується множина $\Delta_2 $ параметрів $(\a,\b)$ при яких алгебра $P_{4, (\alpha,\beta)}:=P_{4, (\alpha,\alpha,\beta,\beta)}$ має зображення та описуються зображення відповідних алгебр.

Вводяться позначення $A_k=(\frac {k-1} {2k},\frac{1} {2})$, $B=(0,1)$ і $C=(\frac{1} {2},\frac{1} {2})$ та визначається відображення $\ ':\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2 $ за формулою $(M (x, y))':=M' (y, x)$. Доводиться

Теорема 2.3 Множина $\Delta_2\cap\{(\alpha,\beta)\in (0,1)^2:\ A\leq 2\}$ є об'єднанням відкритих відрізків $A_k A_k'$, $A_kB'$, $A_k'B$, $BB'$, $A_1C$ і $A_1'C$, де $k\geq 1 $ (див. рис. 1).

\begin{center}

%\includegraphics {mal21.ps}

\includegraphics {mal15.ps}

\end{center}

Далі наводиться опис зображень алгебр $P_{4, (\a,\b)}$.

У пункті \ref{sptry} розглядається задача опису операторів з двома точками спектру, які є сумою трійки проекторів і доводиться теорема:

Теорема 2.7 Для того щоб сума трьох проекторів мала два власних числа $0<\beta_1<\beta_2 $, $\beta_1+\beta_2<3 $, з кратностями $r_1 $ і $r_2 $ необхідно і достатньо, щоб $(\beta_1,\beta_2)$ і $r_1, r_2 $ задовольняли одній із наступних умов:

1) (\beta_1,\beta_2)=(1+\frac {2t-2} {(k+1) t-1}, 2+\frac {2-t} {(k+1) t-1}),\

1<t<\frac{3} {2}$ і

$r_1=2km, r_2=(2k+1) m$, де $k, m\geq 1;$

1') $(\beta_1,\beta_2)=(1+\frac {2-t} {kt+1}, 2+\frac {2t-2} {k+1}),\

1<t<\frac{3} {2}$ і

$r_1=(2k+1) m, r_2=(2k+2) m,\ k\geq 0,\ m\geq 1 $;

2) (\beta_1,\beta_2)=(1+\frac {t-1} {t+k-1}, 2+\frac {2-t} {t+k-1}),\

1<t<2,\ t\neq \frac{3} {2}$ і

$r_1=km, r_2=(k+1) m,\ k, m\geq 1 $;

2') $(\beta_1,\beta_2)=(1+\frac {2-t} {k+1}, 2+\frac {t-1} {k+1}),\

1<t<2,\ t\neq \frac{3} {2}$ і

$r_1=(k+1) m, r_2=(k+1) m,\ k\geq 0,\ m\geq 1 $;

3) (\beta_1,\beta_2)=(1+\frac {t-1} {(2-k) t+3k-2}, 2+\frac {4-2t} {(2-k) t+3k-2}),\

1<t<\frac{3} {2}$ і

$r_1=km, r_2=(k+2) m,\ k, m\geq 1 $;

3')$(\beta_1,\beta_2)=(1+\frac {4-2t} {-kt+3k+2}, 2+\frac {t-1} {-kt+3k+2}),\

1<t<\frac{3} {2}$ і $r_1=(k+2) m, r_2=(k+1) m,\ k\geq 0,\ m\geq 1 $;

5)

$(\beta_1,\beta_2)=(1+\frac{t} {(2-k) t+k}, 2+\frac {1-2t} {t+k-1}),\

\frac{1} {4}<t<1 $ і $r_1=km, r_2=(k+2) m,\ k, m\geq 1 $;

5')

$(\beta_1,\beta_2)=(1+\frac {1-2t} {k+1-kt}, 2+\frac{t} {k+1-kt}),\

\frac{1} {4}<t<1 $ і $r_1=(k+2) m, r_2=(k+1) m,\ k\geq 0,\ m\geq 1 $;

6) $(\beta_1,\beta_2)=(1+\frac{1} {2k+2}, 2+\frac{1} {2k+2})$ і

$r_1=(k+2) m+(k+1) l, r_2=km+kl,\ k, (m+l)\geq 1 $;

6') $(\beta_1,\beta_2)=(1+\frac{1} {2k+3}, 2+\frac{1} {2k+3})$ і

$r_1=(k+1) m+(k+1) l, r_2=(k+2) m+(k+1) l,\

k\geq 0,\ (m+l)\geq 1 $;

8) $(\beta_1,\beta_2)=(1+\frac{1} {k+2}, 2)$ і

$r_1=(k+2) m+l, r_2=km,\ k, m\geq 1, l\geq 0 $;

8') $(\beta_1,\beta_2)=(1,2+\frac{1} {k+2})$ і

$r_1=(k+1) m, r_2=(k+2) m+l,\ k\geq 0,\ m\geq 1, l\geq 0 $.

При $A>2 $, тобто $\b_1+\b_2>3 $, необхідною і достатньою мовою існування незвідної трійки проекторів, сума яких має дві очки спектру $\ 0<\b_1<\b_2 $ (з узагальненою розмірністю \vec d$) є умова існування незвідної трійки проекторів сума яких має дві точки спектру $\ 0<3-\b_2<3-\b_1 $, тоді (3-\b_1)+(3-\b_2)<3 $, в узагальненій розмірності $T (\vec d)$.

У пункті 2.2 вивчаються зображення алгебр $P_{4,\vec\a}$.

Твердження 2.12 Нехай $\vec\alpha\in\Sigma_4 \backslash (0,1)^4 $. Тоді

1) якщо $\exists J\subset \{1,2,3,4\}: \sum_{i\in J}\alpha_i=1 $ та$\exists j: \alpha_j\geq 1 $, то існує незвідне зображення $\pi (p_i)=1, i\in J; \pi (p_j)=0, j\notin J$.

2) якщо $\exists i_0: \sum_{i\neq i_0}\alpha_i=2, \forall i\neqi_0:\alpha_i<1, \alpha_{i_0}\geq 1 $, то існує двовимірне зображення, при якому всі проектори $\pi (p_i), i\in J$ є проекторами на простір розмірності один, а $\pi (p_{i_0})=0 $.

Інших незвідних зображень алгебра $\mathbb{P}_{\vec\alpha}$ не має.

Звідки випливає наступне твердження про опис $\Sigma_{4, S}$ та опис зображень відповідних алгебр:

Твердження 2.13 Нехай $\vec\alpha\in\Sigma_{4, S}$ i $\vec\alpha$ має координати $\alpha_i,\alpha_j,\alpha_k,\alpha_l$, тоді $\vec\alpha\in\Sigma_4^1, \alpha_i+\alpha_j+\alpha_k+\alpha_l<2 $ i для алгебри $\mathbb{P}_{4,\vec\alpha}$:

1) при $A=1 $ існує єдине незвідне зображення і його узагальнена розмірність $(1; 1,1,1,1)$;

2) при $\alpha_i+\alpha_j=1,\alpha_i+\alpha_k+\alpha_l\leq1 $ існує незвідне зображення $\pi:\pi (p_i)=\pi (p_j)=1,\pi (p_k)=\pi (p_l)=0 $;

3) при $\alpha_i+\alpha_j+\alpha_k=1 $ існує одновимірне зображення $\pi:\pi (p_i)=\pi (p_j)=\pi (p_k)=1,\pi (p_l)=0 $;

4) при $\alpha_i+\alpha_j+\alpha_k=2 (1-\alpha_l),\ (\frac {\alpha_i} {A-1},\frac {\alpha_j} {A-1},\frac {\alpha_k} {A-1})\in (0,1)^3,\ \frac{1} {2}\leq \alpha_l< 1 $ існує незвідне двовимірне зображення $\pi$ таке, що проектори $\pi (p_i),\pi (p_j),\pi (p_k)$ є проекторами на простір розмірності 1 і $\pi (p_l)=I$.

Твердження 2.14 Нехай $\vec\alpha\in\Sigma_4^1, 1\leq A< 2 $, тоді для деякого$k_0\geq 0: \Phi^{- (k_0)} (\vec\alpha)$ задовольняє $S$-умову.

У пункті \ref{4zag} доводиться теорема

Теорема 2.15 Множина $\{\vec\alpha\in\Sigma_4:A<2\}=\bigcup_{k\geq 0}\Phi^{+(k)} (\Sigma_{4, S})$, при чому $\Phi^{+(k)} (\Sigma_{4, S})\bigcap \Phi^{+(l)} (\Sigma_{4, S})=\O, k\neq l.$

де $\Sigma_{4, S}=\{\vec\a\in (0,1)^4 |\ A=1 \mbox {\ або\} T (\vec\alpha)\notin\Sigma_4^1\}$.

У теоремі 2.20 наведено опис множини $\Sigma_4 $, який дозволяє дати відповідь на питання, чи належить точка $\vec\a$ множині $\Sigma_n$ чи ні, без використання функторів Кокстера, та містить опис зображень відповідних алгебр $P_{4,\vec\a}$.

Теорема 2.20 $\vec\alpha\in \Sigma_{4}^1, A<2 $, тоді і тільки тоді, коли виконується принаймні одна з наступних умов:

1) $\sum\alpha_i=2-\frac{1} {2k+1}$, де всі

$\alpha_i\geq\frac{k} {2k+1}$, при цьому існує незвідне зображення

з узагальненою розмірністю $d=(2n+1; n+1, n+1, n+1, n+1)$, де $n=2k$;

1') $\sum\alpha_i=2-\frac{1} {2k+2}$, де всі

$\alpha_i\leq\frac{1} {2}$, тоді існує незвідне зображення з

узагальненою розмірністю $d=(2n+1; n+1, n+1, n+1, n+1)$, де $n=2k+1 $;

2) $\alpha_i+\alpha_j=1 $

відповідне незвідне зображення має узагальнену розмірність $d:

d_0=1, d_i=d_j=1, d_k=d_l=0 $;

3) $\alpha_i+\alpha_j+\alpha_k+(1-\frac{1} {k+1})\alpha_l=2-\frac{1} {k+1}$,

$2-\frac{1} {2k+1}\leq A\leq 2 $;

$\alpha_i+\alpha_j-\frac {3k+1} {k}\alpha_k-\alpha_l\leq 0 $,

$\alpha_i-\frac {3k+1} {k}\alpha_j+\alpha_k-\alpha_l\leq 0 $,

$-\frac {3k+1} {k}\alpha_i+\alpha_j+\alpha_k-\alpha_l\leq 0 $,

тоді існує незвідне зображення з

узагальненою розмірністю

$d=(2k+1; k+1, k+1, k+1, k)$;

3') $\alpha_i+\alpha_j+\alpha_k+(1+\frac{1} {k+1})\alpha_l=2 $,

$2-\frac{1} {2k+2}\leq A\leq 2 $,

$\alpha_i+\alpha_j-\alpha_k - (1-\frac{1} {k+1})\alpha_l\geq 0 $,

$\alpha_i-\alpha_j+\alpha_k - (1-\frac{1} {k+1})\alpha_l\geq 0 $,

$-\alpha_i+\alpha_j+\alpha_k - (1-\frac{1} {k+1})\alpha_l\geq 0 $,

тоді існує незвідне зображення з

узагальненою розмірністю $d=(2k+2; k+1, k+1, k+1, k+2)$;

4) $A+\frac{1} {k+1}\alpha_l=2 $,

$A\leq 2-\frac{1} {n+1}$,

$\alpha_i+\alpha_j-\alpha_k-\frac{k} {k+1}\alpha_l\geq 0 $,

$\alpha_i-\alpha_j+\alpha_k-\frac{k} {k+1}\alpha_l\geq 0 $,

$-\alpha_i+\alpha_j+\alpha_k-\frac{k} {k+1}\alpha_l\geq 0 $,

тоді існує незвідне зображення з

узагальненою розмірністю $d=(2k+2; k+1, k+1, k+1, k+2)$;

4') $A-\frac{1} {k+2}\alpha_l=\frac {2k+3} {k+2}$,

$A\leq 2-\frac{1} {2k+3}$,

$\alpha_i+\alpha_j-\frac {k+2} {k+1}\alpha_k-\alpha_l\leq 0 $,

$\alpha_i-\frac {k+2} {k+1}\alpha_j+\alpha_k-\alpha_l\leq 0 $,

$-\frac {k+2} {k+1}\alpha_i+\alpha_j+\alpha_k-\alpha_l\leq 0 $,

тоді існує незвідне зображення з

узагальненою розмірністю $d=(2k+3; k+2, k+2, k+2, k+1)$.

Інших незвідних зображень алгебра немає.

Із теореми 2.20 і того, що множина $\Sigma_4 $ замкнена, випливає

Наслідок Якщо $\vec\a\in (0,1)^4 $ таке, що $A=2 $, то $\vec\a\in \Sigma_4^1 $.

Розділ 3 присвячений зображенням алгебр $P_{n,\vec\a}$, $n\geq 5 $. Зауважимо, що у випадку $n=4 $ функтори Кокстера надають можливість перевірку того, чи належить точка $\vec\a$, при $A\neq 2 $, множині $\Sigma_4 $, звести до перевірки, чи деяка інша точка належить $\Sigma_3 $ (це випливає із теореми 2.15, твердження 1.6 і визначення множини $\Sigma_{4, S}$). Множина $\{\vec\a\in\Sigma_4\ |\ A= 2\}$ є інваріантною відносно дії функторів, і тому функтори у даному випадку не дозволяють звести питання про належність точки$\vec\a$ при $A=2 $ до множини $\Sigma_4 $ до аналогічного питання, але для деякої іншої точки, для якої перевірка буде простішою. У пункті 3.1 доводиться аналог теореми 2.15 для випадку $n\geq 5 $.

Теорема 3.1 Орбіта точки $\vec\a\in\Sigma_n$, породжена відображеннями $S$ і $T$, містить точку $\vec\a'=(\a_1',\a_2',\ldots,\a_n')$ таку, що виконується одна з наступних умов:

\begin{enumerate}

\item $A_{\vec\a'}=\sum\limits_{i=1}^n\a_i'=1 $;

\item $\exists i_0:\a_{i_0}'=1 $;

\item $\exists i_0: \a_{i_0}'>1 $ і

$\vec\a_0=(\a_1',\a_2',\ldots,\a_{i_0-1}',\a_{i_0+1}',\ldots,\a_n')\in\Sigma_{n-1}$;

\item $A_{\vec\a'}\in [2,\frac{n} {2}]\cup\{\frac {n-\sqrt {n^2-4n}} {2}\}$ і $\vec\a'\in\Sigma_n^1 $.

\end{enumerate}

Звідки випливає, що для перевірки того, чи точка $\vec\a$ належить множині $\Sigma_n$ чи ні, необхідно і достатньо перевірити, чи деяка інша точка, отримана з даної за допомогою відображень індукованих функторами Кокстера буде належати або множині $\Sigma_{n-1}$, або множині $\Sigma_n^1\cap \{\vec\a \ |\ A\in [2,\frac{n} {2}]\}$.

У пункті 3.2 досліджується множина $\Delta_2^{(2,3)}$ параметрів $(\a,\b)$, при яких алгебра $P_{5, (\a,\a,\b,\b,\b)}$ має ненульові зображенння (розглядається випадок $A=2\a+3\b\in [2,\frac{5} {2}]$). Доводиться

Теорема 3.4 Якщо $(\alpha,\beta)\in (0,1)^2 $, $A=3 (\alpha+\beta)\in [2,3]$, $\alpha\geq\beta>0 $, $\a\geq\frac{1} {2}$, $2\a+3\b-2\geq 0 $, то $(\alpha,\beta)\in\Delta_2^{(2,3)}$.

Доведення теореми конструктивне.

З твердження \ref{tonin} випливає

Твердження 3.5 \begin{enumerate}

\item Якщо $\a+3\b<1 $ i $\a> \frac{1} {2}$,

то $(\a,\b)\notin \Delta_2^{(2,3)}$.

\item Якщо $2\a+\b<1 $ i $\b> \frac{2} {3}$,

то $(\a,\b)\notin \Delta_2^{(2,3)}$.

\end{enumerate}

У пункті 3.3 досліджується множина $\Delta_3 $ параметрів $(\a,\b)$ при яких алгебра $P_{6, (\a,\a,\a,\b,\b,\b)}$ має зображення (розглядається випадок $A=3 (\a+\b)\in [2,3]$).

Доводяться твердження:

Твердження 3.6 Якщо $\a\geq\b,\ \a+\b\leq 1,$ i $\a+2\b\geq 1 $, то $(\a,\b)\in\Delta_3 $.

Твердження 3.7 Якщо $\a\geq\b,\ \frac{3} {4}\leq\a+\b\leq 1,$ $\frac{4} {3}\a+\b\leq 1 $ i $3\a+\b\leq 2 $, то $(\a,\b)\in\Delta_3 $.

Твердження 3.8 Якщо $2<A<3 $ і $\a+2\b\leq 1 $, $\a\leq \frac{1} {2}$, то $(\a,\b)\in \Delta_3 $.

Зауважимо, що доведення цих тверджень також конструктивні.

З твердження 3.2 випливає

Твердження 3.9 Якщо $\a+3\b<1 $ i $\a> \frac{2} {3}$, то $(\a,\b)\notin \Delta_3 $.

\begin{center}

\includegraphics {mal2r.ps}

\end{center}

У пункті 3.4 наводяться приклади алгебр $P_{6,\vec\a}$ з $A=2 $, які є * - дикими.

Висновки

У даній роботі вивчаються алгебри, породжені лінійно пов'язаними ідемпотентами, їх структура та * - зображення.

Описано будову скіченновимірних алгебр, породжених лінійно пов'язаними ідемпотентами, доведено, що серед таких алгебр є ненапівпрості. За допомогою функторів Кокстера описано множину параметрів, при яких алгебри, породжені четвіркою лінійно пов'язаних ідемпотентів, мають ненульові зображення, та описані * - зображення відповідних алгебр.

Описано декілька двопараметричних множин коефіцієнтів, для яких алгебри, породжені лінійно пов'язаними проекторами, мають ненульові * - зображення.

Знайдено приклади * - диких алгебр, породжених лінійно пов'язаними проекторами.

Розроблена техніка застосовується до розв'язання задачі описуоператорів з двома точками спектра, які є сумою трійки проекторів. Описано оператори, які є сумою як незвідної, так і звідної трійки проекторів.

Застосовані у дисертаційній роботі методи та результати можуть бути використані для подальших досліджень алгебр, породжених проекторами, та їх зображень, зокрема, для опису операторів, пов'язаних лінійними співвідношеннями, наприклад, до проблем Г. Вейля, П. Халмоша.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Джерела теорії впорядкованих і частково впорядкованих алгебраїчних систем. Лінійно впорядкований простір ординальних чисел. Цілком упорядковані множини і їхні властивості. Кінцеві ланцюги і їхні порядкові типи. Загальні властивості ординальних чисел.

    курсовая работа [143,7 K], добавлен 24.03.2011

  • Історія становлення поняття дійсного числа. Властивості ланцюгових дробів загального виду з додатними елементами. Зображення дійсних чисел ланцюговими дробами загального виду і системними дробами. Задачі, при розв’язанні яких використовуються ці дроби.

    курсовая работа [415,0 K], добавлен 02.03.2014

  • Исследование самых абстрактных алгебраических систем, в частности, универсальных алгебр. Основные определения, обозначения и используемые результаты. Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр. Конгруэнция Фраттини, подалгебра Фраттини.

    курсовая работа [264,7 K], добавлен 22.09.2009

  • Характеристика алгебри логіки. Система числення як спосіб подання довільного числа за допомогою алфавіту символів, які називають цифрами. Представлення чисел зі знаком: прямий, обернений і доповняльний код. Аналіз булевої функції та методів Квайна, Вейча.

    курсовая работа [2,6 M], добавлен 05.09.2011

  • Теорія формацій алгебраїчних систем. Основні визначення, позначення й використовувані результати. Властивості централізаторів конгруенції універсальних алгебр. Формаційні властивості нильпотентних алгебр. Класи абелевих алгебр і їхні властивості.

    дипломная работа [179,2 K], добавлен 20.01.2011

  • Знаходження коефіцієнтів для рівнянь нелінійного виду та аналіз рівняння регресії. Визначення параметрів емпіричної формули. Метод найменших квадратів. Параболічна інтерполяція, метод Лагранжа. Лінійна кореляція між випадковими фізичними величинами.

    курсовая работа [211,5 K], добавлен 25.04.2014

  • Функціональна повнота системи функцій алгебри логіки. Клас самодвоїстих функцій і його замкненість. Леми теореми Поста. Реалізація алгоритму В середовищі програмування С#, який визначає чи є система функцій алгебри логіки функціонально повна, вид повноти.

    курсовая работа [388,6 K], добавлен 17.05.2011

  • Вивчення існування періодичних рішень диференціальних систем і рівнянь за допомогою властивостей симетричності (парність, непарність). Основні теорії вектор-функцій, що відбивають. Побудова множини систем, парна частина загального рішення яких постійна.

    курсовая работа [87,8 K], добавлен 20.01.2011

  • Застосування систем рівнянь хемотаксису в математичній біології. Виведення системи визначальних рівнянь, розв'язання отриманої системи визначальних рівнянь (симетрій Лі). Побудова анзаців максимальних алгебр інваріантності математичної моделі хемотаксису.

    дипломная работа [1,9 M], добавлен 09.09.2012

  • Загальнi вiдомостi, визначення та поняття лiнiйної алгебри та аналiтичної геометрiї. Матрицi та визначники, системи лiнiйних рiвнянь. Основнi алгебраїчнi структури. Аналiтична геометрiя на площинi та в просторі. Лiнiйний векторний та евклідовий простори.

    учебное пособие [592,2 K], добавлен 01.05.2014

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.