Задачи о точках с рациональными координатами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задачи о точках с рациональными координатами

Автор Фильчев Э.Г.

В результате анализа дерева ПТ возникли ряд интересных задач о пифагоровых треугольниках с целочисленными значениями сторон. Решение этих задач может найти практическое использование в геодезии, в атомных и молекулярных структурах, и в астрономических расчетах.

Рис. 1. Точка в прямоугольной системе координат

Считаем, что координаты точки М имеют целочисленные значения.

Задача 1. Имеем массив ПТ с x и y. Известно, что в этом массиве имеются такие ПТ, у которых при одинаковых значениях x имеют место разные пары значений y и z. Требуется определить метод нахождения ПТ с одинаковыми значениями x.

Значения X могут быть четными или нечетными. Для четных значений имеем

x = 2m² + 2mn= 2m(m + n ), тогда y = n² + 2mn = n (n + 2m ) ( 1 )

Для нечетных значений имеем

x = n² + 2mn = n (n + 2m ), тогда y = 2m² + 2mn = 2m(m + n ) ( 2 )

При z = n² + 2mn + 2m² = ( n + m )² + m² ( 3 )

1. Пусть ( J ) x = 2m² + 2mn, следовательно ( > ) x = 2m(m + n ), y = n (n + 2m ).

Рассмотрим ПТ( 4, 3, 5 ). Здесь x = 4 = 2• 1•( 1 + 1 ) > m = 1, n = 1. Других вариантов, представления в виде двух целых сомножителей, нет. Вывод: Других ПТ с x = 4 нет.

2. На втором уровне дерева ПТ находятся три ПТ, а именно ПТ₁( 120, 119, 129 ), ПТ₂( 12,5, 13 ), ПТ₃( 15, 8, 17 ). Рассмотрим каждый из этих ПТ. Здесь x > y.

2.1. J имеем ПТ₁( 120, 119, 169 ). Здесь x = 120 = 2• 60 > = 60, Число 60 имеет следующие варианты в виде двух целочисленных сомножителей 60 = 1•60 = 2• 30 = 3•20 = 4•15 = 5•12 = 6•10. Итого имеем 6 ПТ с x = 120. Определим эти ПТ.

2.1.1. J x = 2• 1• 60. По формуле ( 1 ) x = 2m(m + n ) > m = 1, (m + n ) = 60 > n = 59. Определим элементы ПТ.

x = 2m² + 2mn = 2 + 2•1•59 = 120, y = n² + 2mn = 3481 + 118 = 3599,

z = n² + 2mn + 2m² = 3599 + 2 = 3601> ПТ₁( 120, 3599, 3601 ).

2.1.2. Аналогично получим ПТ₂( 120, 896, 904), ПТ₃( 120, 391, 409), ПТ₄( 120, 209, 241 ),

ПТ₅ ( 120, 119, 169 ), ПТ₆( 120, 64, 136 ). Здесь имеют место как основные, так и не основные ПТ. Так, например, ПТ₂( 120, 896, 904) и ПТ₆( 120, 64, 136 ) - это не основные ПТ. Итого, при x = 120 получили 4 ПТ

ПТ₁( 120, 3599, 3601 ), ПТ₃( 120, 391, 409), ПТ₄( 120, 209, 241 ), ПТ₅ ( 120, 119, 169 ).

3. J x имеет нечетные значения > x = n² + 2 mn = n ( n + 2m ). Рассмотрим ПТ( 15, 8, 17 ).

Здесь имеем x = 1• 15 = 3•5

3.1 J x = 1• 15 > n = 1, m = 7. Определим y = 2m² + 2mn = 98 + 14 = 112 > z = 113.

3.2 J x = 3• 5 > n = 3, m = 1. Определим y = 2m² + 2mn = 2 + 6 = 8 > z = 17

Таким образом при x = 15 имеем ПТ₁( 15, 8, 17) и ПТ₂( 15, 112, 113).

Задача решена!

Задача 2. Имеем массив ПТ с x и y. Известно, что в этом массиве имеются такие ПТ, у которых при одинаковых значениях z имеют место разные пары значений x и y. Требуется определить метод нахождения ПТ с одинаковыми значениями z.

Решение

В системе mn параметров элемент z можно записать в виде формулы

z = n² + 2mn + 2m² > z = ( n + m )² + m²,

где ( mn ) - целые числа. Откуда сторона меньшего квадрата равна m и тогда сторона большего квадрата равна (n + m ). Таким образом число ПТ с равными значениями z будет равно числу представлений z = ( n + m )² + m², где ( mn ) - целые числа. Для каждого из этих вариантов можно определить значение m и n. Для известных значений m,n по формулам Системы mn параметров можно определить пары значений x и y.

x = 2 m² + 2mn, y = n² + 2mn, z = n² + 2mn + 2m² >имеем ПТ(x, y, z ).

Задача решена!

Выводы 1. Число ПТ с четным целочисленным значением x равно числу вариантов в виде двух сомножителей.

2. Число ПТ с не четным целочисленным значением x равно числу вариантов представления x в виде двух сомножителей.

3. В числе полученных ПТ могут иметь место не основные ПТ.

Пример 1. Как элемент основного ПТ, задано x = 93240. Необходимо определить все ПТ с этим значением x.

Решение

1. Определяем сомножители числа 93240. 93240 faktor > 2³•3²•5•7•37

2. Заданное число x - четное. Поэтому определяем = 2²•3²•5•7•37

3. Определяем все возможные пары сомножителей числа

> 46620 = 1• 46620 = 2•23310 = 3• 15540 = 4•11655 = 5• 9324 = 6•7770 = 7• 6660 = 9•5180

46620 = 10•4662 = 12•3885 = 14•3330 = 15• 3108 = 18• 2590 = 20• 2331 = 21•2220

46620 = 28•1665 = 30• 1554 = 35•1332 = 36•1285 = 37•1260 = 42• 1110 = 45•1036

46620 = 60• 777 = 63• 740 = 70• 666 = 74• 630 = 84• 555 = 90• 518 = 105• 444 = 111• 420

46620 = 126• 370 = 140• 333 = 148• 315 = 180• 259 = 185• 252 = 210• 222

В результате получили 36 вариантов представления числа = 46620 в виде двух сомножителей, что соответствует утверждению “ В прямоугольной системе координат имеется 36 пифагоровых треугольников с целочисленными сторонами, при условии, что один из катетов равен числу 93240 “ .

4. Определим эти ПТ. Пусть x = 2m² + 2mn = 93240 >

> m = 15, ( m + n ) = 3108 > n = 3108 - 15 = 3093. Теперь, имея значения m и n , по формулам Системы mn параметров, вычислим значения всех элементов ПТ.

x = 2m² + 2mn = 93240, y = n² + 2mn = 3093² + 2•15•3093 = 9659439, z = y + 2mn

> z = 9659439 + 2•15² = 9659889. Получили ПТ(93240, 9659439, 9659889 ).

Аналогично определяются остальные 35 ПТ. Все 36 ПТ представлены в таблице 1.

Из данных этой таблицы следует, что если в значениях m и n имеется общий множитель, то ПТ является не основным. Так, например, ПТ ( 93240, 6707776, 6708424 ) - это не основной ПТ. Если разделить каждый из элементов на 8, то получим основной ПТ(11655, 838472, 838553).

Определим в таблице 1 не основные ПТ.

Строка 2 . Здесь имеем m =2, n = 23308, x = 93240, y = 543356096, z = 543356104 .

Запишем числа (x, y, z ) в виде произведения сомножителей > x = 93240 faktor = 2³•3²•5•7•37,

y = 543356096 faktor = 2⁶• 31•47•5827, z = 543356104 faktor = 2³•3•29881. В этих числах общим множителем имеем 2³ = 8.

Таблица 1

Сократим на 8 каждый из элементов, тогда получим основной ПТ,

ПТ ( 11655, 67919512, 67919513 ). Из данных таблицы 1 следует, что при x = 93240 имеется 17 основных ПТ и 19 не основных ПТ. Значения m, записанные в виде кортежа, для основных ПТ имеют вид ( 1, 4, 5, 7, 9, 20, 28, 35, 37, 45, 60, 63, 111,140, 148, 180,185 ).

Задача 3. Задано четное значение x, как элемент основного пифагорова треугольника (ПТ), необходимо определить все ПТ с данным значением x

Данная задача в методическом представлении может иметь два варианта:

- указать методику определения всех ПТ

- при заданном четном числе x, определить все ПТ при разделении полученных данных на основные и не основные ПТ.

Задача 4. Задано нечетное значение x, как элемент основного пифагорова треугольника (ПТ), необходимо определить все ПТ с данным значением x

В задаче 4 x = n² + 2mn = n•( n +2m ). Здесь x надо записать в виде двух сомножителей. При этом за n надо принять меньший множитель. Тогда больший множитель будет равен ( n +2m ).

> m = .

Далее методика, определения ПТ, как в примере 1.

Задача 5. Задано значение z, как элемент основного пифагорова треугольника (ПТ), необходимо определить все ПТ с данным значением z.

В задаче 3 z = n² + 2mn + 2m²= ( n +m )² + m². Здесь z надо записать в виде суммы двух квадратов. При этом за m² надо принять меньший квадрат. Тогда больший квадрат будет равен ( n +m )². Здесь m = , n = , или наоборот, m = , n = . Выбор варианта должен быть таким, что ( m, n ) - целые числа. Для основных ПТ такой вариант всегда имеет место быть.

Утверждение 1. “ Для любого элемента дерева ПТ имеет место формула z = ( n +m )² + m², где m = , n = , или наоборот, m = , n = . “

Пример 2. Как элемент основного ПТ, задано z = 491045. Необходимо определить все ПТ с этим значением z

Решение

1. Определяем все представления числа z = 491045 в виде суммы двух квадратов

z = 491045= 97² +694² = 143² + 686² = 161² + 682² = 202² + 671² = 241² + 658 = 463² + 526²

z = 491045= 494² + 497².

Пусть z = 491045= 97² +694² > m = 97, n = 694 - 97 = 597

> x = 2m² + 2mn = 2•97² + 2•97•597 = 18818 + 115818 = 134636

y = n² + 2mn = 597² + 115818 = 472227, z = y + 2m² = 472227 + 2•97² = 492045

> ПТ₁( 134636, 492045, 492045). Аналогично получим

ПТ₁( 134636, 492045, 492045), ПТ₂( 196196, 446147, 491045 ), ПТ₃( 219604, 439203, 492045),

ПТ₄( 271084, 409437, 491045 ), ПТ₅ ( 374883, 317156 ), ПТ₆( 487076, 62307, 491045 ),

ПТ₇( 491036, 2973, 492045).

Задача решена!

Задача 6. Задано значение z², как элемент основного пифагорова треугольника ПТ(x, y, z² ). Необходимо определить все ПТ с данным значением z²

В системе mn параметров, элемент z² можно записать в виде формулы z² = m² + ( m + n )².

Таким образом, имеем, с одной стороны - ПТ(x, y, z² ), с другой стороны - z² = m² + ( m + n )².

Здесь z² = m² + ( m + n )² - это другой основной ПТ , отличный от ПТ(x, y, z² ). Откуда

Утверждение 2 “ Для любого основного ПТ( x, y, z ) можно указать ПТ вида ПТ( x_i, y_i, z² ) и этот ПТ имеет вид

ПТ((m +n)_i, m_i, z² ),

пифагоров треугольник целочисленный сомножитель

где m_i = , n_i = , число таких ПТ, равно числу вариантов представления z² в виде суммы двух квадратов“.

Пример 3. Задан ПТ( 4, 3, 5 ). Определить ПТ вида ПТ ((m + n ), m, 5²)

Решение

1. Определяем m = 3

2. Определяем (m + n) = 4 > n = 1

3. Определяем элементы ПТ вида ПТ( x, y, z² )

x = 2m² + 2mn = 2•3² + 2•3•1 = 24, y = n² + 2mn = 1² + 2•3•1 = 7, z = n² + 2mn + 2m² = 25.

Таким образом, от исходного ПТ( 4, 3, 5 ) получили ПТ(24, 7, 25), где z = 5².

Пример 4. Задан ПТ( 77, 36, 85 ). Определить ПТ вида ПТ ( ( m + n ), m, 85² ).

1. 85² = 7225 = 84² + 13² = 77² + 36² = 75² + 40² = 68² + 51² . Получили 4 представления числа 85 в виде суммы двух квадратов.

2. Рассмотрим вариант 85² = 84² +13². Здесь ( m + n ) = 84, m = 13> n = 84 - 13 = 71.

3. Имея значения для m = 13 и n = 71, вычислим значения элементов ПТ.

x = 2m² + 2mn = 2•13² + 2•13•71 = 338 + 1846 = 2184, y = n² + 2mn = 71² + 1846 = 6887

z = n² + 2mn = 6887 + 338 = 7225 > получили ПТ₁(6887, 338, 85² ).

Аналогично можно получить ПТ для 4 представлений числа 85 в виде суммы двух квадратов.

Утверждение 3. Для любой точки прямоугольной системы координат всегда имеем

z =( m + n )² + m²,

где ( x, y, z, m, n )- целые числа, при этом числа m, n, могут определяться формулами m_i = , n_i = и число таких ПТ, равно числу вариантов представления z в виде суммы двух квадратов.

По теореме Пифагора для координатного треугольника

z² = x² + y²,

В системе mn параметров

z = ( m + n )² + m².

Это важное утверждение показывает, что для любого значения k > 0 , z^k равна сумме двух квадратов, что следует из формул системы mn параметров.

Решение этих задач может найти практическое использование в геодезии, в атомных и молекулярных структурах, и в астрономических расчетах.

Размещено на Allbest.ru