Численные методы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

численный метод вектор линейный

Математика как наука возникла в связи с необходимостью решения практических задач: измерений на местности, навигации и т.д. Вследствие этого математика была численной математикой, ее целью являлось получения решения в виде числа.

Численное решение прикладных задач всегда интересовало математиков.

Крупнейшие представители прошлого сочетали в своих исследованиях изучений явлений природы, получения их математического описания, кК иногда говорят, математической модели явления, и его исследование. Анализ усложненных моделей потребовал создания специальных, как правило, численных или асимптотических методов решений задач. Название некоторых из таких методов - методы Ньютона, Эйлера, Лобачевского, Гаусса, Чебышева, Эрмита, Крылова - свидетельствуют о том, что их разработкой занимались крупнейшие ученные своего времени.

Настоящее время характерно резким расширением приложений математики, во многом связанным с созданием и развитием средств вычислительной техники. В результате появления компьютеров с программным управлением менее чем за пятьдесят лет скорость выполнения арифметических операций возросла от 0,1 операции в секунду при ручном счете до операций на современных серийных компьютерах, т.е. примерно в раз.

Рост возможностей в связи с созданием вычислительной техники носит качественный характер и иногда сравнивается с промышленной революцией, вызванной изобретением паровой машины.

Распространенное мнение о всемогуществе современных компьютеров часто порождает впечатление, что математики избавились почти от всех хлопот, связанных с численным решением задач, и разработка новых методов для их решения уже не столь существенна. В действительности дело обстоит иначе, поскольку потребности эволюции, как правило, ставят перед наукой задачи, находящиеся на грани ее возможностей. Расширение возможностей приложение математики обусловило математизацию химии, экономики, биологии, геологии, географии, психологии, экологии, метеорологии, медицины, конкретных разделов техники и др. Суть математизации состоит в построении математических моделей процессов и явлений и в разработке методов их исследования.

В физике или механике, построение математических моделей для описания различных явлений и изучений этих моделей с целью объяснения старых или предсказания новых эффектов являются традиционными.

В целом работа в этом направлении зачастую продвигалась относительно медленно, поскольку обычно не удалось получить решение возникающих математических задач и приходилось ограничиваться рассмотрением простейших моделей. Применение компьютеров и расширение математического образования резко увеличило возможности построения и исследования математических моделей. Все чаще результаты расчетов позволяют обнаруживать и предсказывать ранее никогда не наблюдавшиеся явления; это дает основание говорить о математическом эксперименте. В некоторых исследованиях доверие к результатам численных расчетов так велико, что при расхождении между результатами расчетов и экспериментов в первую очередь ищут погрешность в результатах экспериментов.

Современные успехи в решении таких, например, проблем, как атомные и космические, вряд ли были бы возможны без применения компьютеров и численных методов.

Требование численного решения новых задач привело к появлению большого количества новых методов. Наряду с этим последние полвека происходило интенсивное теоретическое переосмысливание и старых методов, а также систематизация всех методов. Эти теоретические исследования оказывают большую помощь при решении конкретных задач и играют существенную роль в наблюдаемом сейчас широком распространении сферы приложений компьютеров и математики вообще.

1. Ортогональные системы векторов

Два вектора х и у пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т.е.

Если векторы не нулевые, то ортогональность означает, что угол между ними равен . Нулевой вектор ортогонален любому вектору пространства.

Таким образом, ортогональность есть обобщенное свойство перпендикулярности.

Система векторов называется ортогональной, если любые два вектора системы ортогональны друг другу, т.е.

При

.

Если вектор ортогонален векторам , то этот вектор ортогонален также любой линейной комбинации последних векторов, т.е. вектор ортогонален пространству, натянутому на векторы .

Если

при

то имеем

где произвольные постоянные.

Теорема. Ненулевые попарно ортогональные векторы линейно независимы.

Доказательство. Пусть

Умножая скалярно обе части равенства (2) на , получим:

или, так как

и

При

, то и .

Совершенно также доказывается, что

векторы линейно независимы.

Базис пространства называются ортогональными, если базисные векторы попарно ортогональны, т.е.

Если векторы единичные, то ортогональный базис называется нормированным (ортонормированным). В этом случае имеем:

где - символ Кронекера.

Простейший ортонормированный базис пространства представляет собой систему ортов

образующих исходный базис.

Ортогональный базис всегда можно нормировать, разделив каждый из векторов на его длину. Полученные новые векторы

образуют ортонормированный базис.

Выразим координаты вектора х в ортонормированном базисе

Если

То, умножая скалярно равенство (3) справа на , получим:

По аналогии с векторной алгеброй можно сказать, что координаты вектора в ортонормированном базисе равны проекциям вектора на соответствующие векторы базиса.

Возводя равенство (3) в квадрат, будем иметь:

т.е. квадрат длины вектора равен сумме квадратов модулей его проекций на базисные ортонормированные векторы. Если пространство действительное, то формулу (5) можно записать без модуля:



2. Ортогональные матрицы

Действительная матрица А называется ортогональной, если ее транспонированная матрица А^/ совпадает с обратной А^-1, т.е.

Или

Ортогональная матрица имеет следующие свойства.

1. Строки (столбцы) ортогональной матрицы попарно ортогональны.

Действительно, если , то из равенства (2) имеем:

при

при

2. Сумма квадратов элементов каждой строки (столбца) ортогональной матрицы равна 1.

Из равенства (2) при получаем:

3. Определитель ортогональной матрицы равен .

На основании равенства (2) имеем:

Отсюда, так как

И

то

и, ,



4. Транспонированная и обратная матрицы ортогональной матрицы суть также ортогональные матрицы. Это свойство вытекает из формул (1) и (2).

3. Ортогонализация матриц

Пусть имеем матрицу с действительными элементами

Столбцы матрицы А будем рассматривать как векторы

Следовательно, эту матрицу можно записать в таком виде:

.

Теорема. Всякую неособенную матрицу А можно представить в виде произведения матрицы с ортогональными столбцами на верхнюю треугольную матрицу, т.е.

A = RT где R - матрица с ортогональными столбцами и Т - верхняя треугольная матрица с единичной диагональю.

Доказательство. Для простоты доказательство теоремы проведем для случая, когда порядок матрицы n = 3. Пусть

Запишем эту матрицу в виде

,

Где

векторы - столбцы.

Так как матрица А - неособенная, то векторы линейно независимы.

Если бы эти векторы были линейно зависимы, то в det A один из столбцов являлся бы линейной комбинацией двух других и, следовательно, det A = 0, что невозможно. Будем искать матрицу R также в виде



где искомые ортогональные столбцы.

Положим

Вектор раскладываем на составляющие , из которых первая направлена по вектору а вторая перпендикулярна (ортогональна) к нему, т.е.

Где

Аналогично вектор раскладываем на три составляющие из которых первые две направлены соответственно по векторам , а последняя перпендикулярна как к вектору и к вектору , т.е.

Где

(3^/)

Векторы будут взаимно перпендикулярны. Определим из системы (2) и (3) как векторы , так и коэффициенты . Умножая скалярно обе части уравнения (2) на в силу условия ортогональности (2^/) получим:

Причем

.

Следовательно,

И

В силу неособенности матрицы А вектор и поэтому . Кроме того, , так как в противном случае векторы , в силу условий ортогональности (2^/) и (3^/) получим:

Отсюда, учитывая, что

будем иметь

Так построенные векторы попарно ортогональны. Таким образом, окончательно имеем:

(4)

где

И

Система (4) эквивалентна матричному уравнению

Или

A = RT,

где матрица с ортогональными столбцами, а верхняя треугольная матрица с единичной диагональю.

Пример. Ортогонализировать столбцы матрицы

Решение. Положим

Тогда

Теперь найдем

Для определения вычислим Имеем:

Отсюда

Итак,



причем векторы

попарно ортогональны, в чем можно убедиться непосредственной проверкой.

В некоторых случаях выгоднее ортогонализировать не столбцы, а строки матрицы, рассматривая их как соответствующие векторы.

Пусть А^/ - транспонированная матрица для данной матрицы А - приведена к виду

A^/ = RT,

где R- матрица с ортогональными столбцами и Т - верхняя треугольная матрица с единичной диагональю. Транспонируя равенство (6), получим:

A=T^/R^/ .

где Т^/ - нижняя треугольная матрица и R^{/ -} матрица с ортогональными строками.

Таким образом, указанный прием ортогонализации столбцов матрицы годится также и для ортогонализации строк.

4. Применение методов ортогонализации к решению систем линейных уравнений. Ортогонализация столбцов (первый способ)

Пусть имеем систему линейных уравнений

с неособенной матрицей А. Ортогонализируя столбцы матрицы А, получим матрицу R, причем A = RT, где Т - верхняя треугольная матрица. Имеем:

Умножая слева на R^/ обе части равенства (2), получим:

,

где D - диагональная матрица. Вводя обозначение , будем иметь:

Откуда

Матрица , обратная диагональной, находится легко, а именно, если

То

.

Относительно просто находится также обратная матрица Т^-1 треугольной матрицы Т.

Пример 1. Методом ортогонализации столбцов решить систему уравнений

Решение. Представим матрицу А данной системы в виде произведения матрицы с ортогональными столбцами на треугольную матрицу с единичной диагональю:



Полагаем:

Имеем:

По формулам (4) находим:

Таким образом,

По формуле (4) имеем:

где диагональная матрица и

.

Для матрицы D и ее обратной матрицы D^-1 получаем такие значения:

Далее,

Обычным приемом подсчитаем:

В итоге получим:

Следовательно,

точные значения корней:

5.Ортогонализация строк (второй способ)

Пусть дана система

Где

.

Преобразуем строки системы (5) так, чтобы матрица А перешла в матрицу R с ортогональными строками. При этом вектор b перейдет в какой - то вектор . В результате получим эквивалентную систему

Следовательно,

На основании формулы (7) окончательно имеем:

Где

.

Используя формулу (8), можно избежать наиболее трудоемкого процесса нахождения обратной матрицы для недиагональной матрицы. Наличие матрицы D^-1 не вносит усложнения, так как D - диагональная матрица.

Пример 2. Методом ортогонализации строк решить систему уравнений



Решение: Определяем множители:

Сохраняя первое уравнение системы (I), из каждого следующего вычитаем первое, умноженное на соответствующие множители

Для системы (II) определяем множитель

Сохраняя два первых уравнения системы (II), из ее третьего уравнения вычитаем второе, умноженное на множитель :



Матрица

имеет ортогональные строки. Для контроля составляем матрицу

Применяя формулу (8), получим:

Следовательно,

6.Метод ортогональных матриц (третий способ)

Пусть линейная система приведена к виду

где неособенная матрица с ортогональными строками и

- вектор свободных членов.

Умножая каждое уравнение системы (10) на нормирующий множитель

.

получим систему

где ортогональная матрица и

новый вектор свободных членов.

Из уравнения (11) будем иметь:

Заключение

При реальной работе в области приложений математики возникает большое количество осложнений самого различного, зачастую нематематического характера.

Первостепенное значение имеет выбор направления исследования. Свобода выбора обычно довольно невелика, так как основные контуры направления исследования обычно задаются «извне».

При выборе направления исследования в пределах имеющихся возможностей полезно иметь в виду следующее «правило трех частей», по своему внешнему виду похожее на шутку. Проблемы делятся на: 1- легкие, 2-трудные, 3- очень трудные. Проблемами 1 заниматься не стоит, они будут решены в ходе событий и без вашего вмешательства, проблемы 3 вряд ли удастся решить в настоящее время, поэтому стоит обратиться к проблемам 2.

Нужно уметь сформулировать на языке математики конкретные задачи физики, механики, экономики, инженерные задачи и т.д., т.е. построить математическую модель рассматриваемого явления.

В теоретической науке исследователь, умеющий правильно формулировать, как говорят, ставить новое задачи, как правило, ценится выше, чем исследователь, умеющий решать кем-то поставленные задачи. Еще более возрастает роль таких ученных прикладной науке.

Успех в прикладной науке требует широко математической подготовки, поскольку только такая подготовка может обеспечивать приспособляемость к непрерывно меняющимся типам задач, предъявляемых к решению. Одно из причин необходимости изучения на первый взгляд «бесполезных» для практики разделов математики является достижения более уверенного и более свободного владения «нужными» разделами математики.

При построении и анализе математических моделей привычка математика « докапываться до конца», подвергать сомнению, обусловленная его строгим математическим образованием, часто не менее важно, чем интуиция и соображения здравого смысла.

После завершения расчетов наступает этап использования результатов вычислений в практической деятельности, или, как часто говорят, этап внедрения результатов. Правильнее будет сказать, что подготовка к использованию результатов начинается уже с анализа постановки задачи и в процессе ее решения и по существу, все моменты решения задачи и внедрения результатов неразрывно связаны между собой; в процессе формулирования задач и ее решения заказчик и исполнитель взаимно уточняют полученных результатов. Поскольку математика в сочетании с компьютеров используется в самых разнообразных областях, то часто приходится иметь дело с заказчиками, не имеющими опыта применения компьютеров.

Большое значение имеет наглядность, доступность представления заказчику промежуточных и окончательных результатов исследования: таблицы, графики, вывод информации на экран: нельзя предполагать наличия или требовать от заказчика большого объема знаний, чем это требуется существом дела. Целесообразнее, чтобы биолог использовал свое умение дифференцировать для построения и исследования математической модели, а не для оценки погрешности метода численного интегрирования.

Математик должен принять во внимание образование и психологию людей, применяющих разработанные им методы и программы. Например, простейшая программа численного интегрирования, предназначенная для широкого круга математиков , использующих компьютер в своих конкретных исследованиях, должна быть рассчитана на человека, потолок математических знаний которого находится на интуитивном понимании того, что интеграл- это площадь. Чтобы не затруднять пользователя, в описании простейших программ даже нечего не говориться о точности результата.

Существенным моментом в прикладной работе является необходимость получения результатов в установленный срок.

Существенным моментом в прикладной работе является то обстоятельство, что работа, как правило, проводится коллективом. Одна из причин этого состоит в том, что построение математической модели, выбор методов решения, непосредственно общения с компьютером и анализ результатов требует различных знаний и квалификаций. Другая причина кроется в упомянутой уже необходимости решения задачи в установленный срок. Это требование приводит к необходимости распараллеливания даже однотипной работы между большим числом исполнителей, например, путем независимого написания различных блоков программы отдельными исполнителями. Параллельно могут идти отработка различных методов на модельных задачах, обсчет упрощенных моделей, подготовительная работа по написанию окончательной программы решения задачи.

Литература

1. Б. П. Демидович, И.А.Марон, Э.З.Шувалова, Численные методы анализа, Государственное издательство физико-математической литературы, г. Москва 1963.

2. Л. Коллатц, Численные методы решения дифференциальных уравнений, ИЛ, 1953.

3. В. Э. Милн, Численное решение дифференциальных уравнений, ИЛ. 1955.

4. Л. Э. Эльсгольц, Вариационное исчисление, Гостехиздат, 1952.

5. Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков, Москва «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1987.

6. Б. П. Демидович, И. А. Марон, Основы вычислительной математики, Государственное издательство физико-математической литературы, Москва, 1963.

7. Волков Е. А. Численные методы: Учебное пособие. 4-е издание, стер. - Спб.: Издательство «Лань», 2007.

Размещено на Allbest.ru