Итерационные методы решения сингулярно возмущенных операторных уравнений Фредгольма в случае итерационного и асимптотического представления возмущения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Итерационные методы решения сингулярно возмущенных операторных уравнений Фредгольма в случае итерационного и асимптотического представления возмущения

Д.К. Мамий,

А.В. Лаврентьев,

М.Х. Уртенов

В данной работе, являющейся продолжением работ [1, 2], для сингулярно возмущенных операторных уравнений Фредгольма

предлагаются различные итерационные методы решения в случаях, когда вместо оператора задается оператор , «близкий» в некотором смысле к , и необходимо построение последовательных приближений к решению уравнения

исходя из уравнения

(1)

Как и в [1, 2], здесь будем различать два случая в зависимости от того, имеет или не имеет уравнение нетривиальные решения.

1-й случай. Пусть уравнение имеет лишь тривиальное решение, тогда существует непрерывный обратный оператор .

Пусть задана асимптотическая последовательность при , причем и для некоторого натурального справедливо

(2)

где - линейные непрерывные операторы: , а для линейного оператора при справедлива оценка:

(3)

В общем случае получить асимптотическое разложение решения в виде асимптотического ряда для произвольной асимптотической последовательности при невозможно, поскольку невозможно упорядочить систему функций так, чтобы получилась асимптотическая последовательность.

Определим последовательные приближения как решения уравнений:

(4)

(5)

Обозначим

,

Пусть тогда для получим уравнения

Откуда получим оценку

(6)

(7)

Определим последовательность функций рекуррентными равенствами:

Из (6), (7) получим

Пусть теперь тогда для получим уравнение

откуда и имеем оценку

или

Теорема 1.

Пусть уравнение имеет лишь тривиальное решение, тогда существует такая окрестность точки , что

Доказательство. Рассмотрим уравнение

Это уравнение имеет единственное решение , так как уравнение имеет лишь тривиальное решение. По построению удовлетворяет уравнению

(8)

где имеет оценку

Обозначим тогда

или

Так как то существует такая окрестность что

Следовательно,

(9)

В результате, получим

где удовлетворяет неравенству

Откуда, как и ранее, получаем

 (10)

Из (9) и (10) имеем

что требовалось доказать.

Замечание 1. Если асимптотическая последовательность такова, что существует и

то тогда

и нет необходимости вычислять , где Заметим, что указанным свойством обладает, например, последовательность

Пусть существуют такая окрестность точки и такая последовательность линейных непрерывных при фиксированных и операторов что

 при

Определим последовательные приближения

Обозначим

Для k получаем уравнение

(11)

(12)

Предположим, что равномерно ограничены, то есть существует постоянная не зависящая от и , что

Обозначим

(13)

(14)

Последовательно оценивая, получаем

Обозначим

По индукции получим

Обозначим

Лемма 1. Пусть последовательность такова, что при любом Тогда последовательность сходится к причем

(15)

Теорема 2.

Пусть последовательность операторов удовлетворяет следующим условиям:

1. при

2. сходится при

3. Существует функция что и для любого и

Тогда последовательность сходится к и справедлива оценка (15).

Доказательство. Из условия 2 следует

Из условия 3 имеем

Определим

Очевидно,

Обозначим

Функции удовлетворяют рекуррентным соотношениям

где

Откуда получаем

Таким образом, последовательность монотонно возрастает и ограничена при любом , следовательно, последовательность сходится. Но тогда ряд (соответственно и ряд ) сходится. Так как , то для любого и применение леммы 1, доказывает теорему.

2-й случай. Пусть уравнение имеет n линейно независимых решений x(1), … , x(n) и задана последовательность операторов сходящихся к Z при k в норме

Построим при этих основных предположениях последовательные приближения xk, сходящиеся к решению x уравнения

T(x) + Z(x) = S.

Выберем нулевое приближение x0 в виде

и определим последовательные приближения xk как решения уравнений

Однако здесь необходимо доказать разрешимость уравнения для хk и дать алгоритм построения хk.

Для х1 получим уравнение

T(x) = S0, (16)

Это уравнение имеет решение

где некоторое решение (16), если только

g(j) (S0) = 0 . (17)

Вводя обозначения, аналогичные обозначениям [1, 2] и

из (17), имеем

(18)

Предположим, что существует такая окрестность точки 0, что

для любого k = 1, 2, … и , тогда уравнение (3.18) имеет решение

(19)

Таким образом, выбор в виде (19) обеспечивает разрешимость уравнения для и определяет

Пусть уже определены причем

.

Далее полагаем

Выбор в виде

сингулярный фредгольм асимптотический

обеспечивает разрешимость уравнения для и определяет .

Замечание 2. Если вместо задано его асимптотическое представление (3), то, как и ранее, алгоритм построения должен быть модифицирован. Соответствующие результаты не приводятся из-за громоздкости.

В следующей работе, на основе построенных в данной статье и в работах [1, 2] итерационных методов решения операторных уравнений Фредгольма, нами будут предложены различные схемы последовательных приближений для систем сингулярно возмущенных линейных дифференциальных и интегродифференциальных уравнений.

Примечания

1. Мамий Д.К., Лаврентьев А.В., Уртенов М.Х. Сингулярно возмущенные операторные уравнения Фредгольма // Труды ФОРА. 2008. № 13. С. 22-26. URL: http://fora.adygnet.ru

2. Мамий Д.К., Лаврентьев А.В., Уртенов М.Х. Итерационные методы решения сингулярно возмущенных операторных уравнений Фредгольма // Вестник Адыгейского государственного университета. 2009. Вып. 1 (43). С 9-23. URL: http://vestnik.adygnet.ru

Размещено на Allbest.ru