Итерационные методы решения сингулярно возмущенных операторных уравнений Фредгольма

Размещено на http://www.allbest.ru/

Итерационные методы решения сингулярно возмущенных операторных уравнений Фредгольма

В данной работе, являющейся продолжением [1], для сингулярно возмущенных операторных уравнений Фредгольма

в указанных в [1] условиях на Т и Z, предлагаются различные итерационные методы решения.

Пусть В-некоторое банахово пространство над R с нормой || ||B, а L (B, B) - пространство линейных непрерывных операторов ВВ с нормой

В* - пространство сопряженное к В, Т* - оператор сопряженный к Т.

Определим для сингулярно возмущенного операторного уравнения Фредгольма последовательные приближения

- некоторый элемент, (1)

(2)

1-й случай. Пусть уравнение Т(х)=0 имеет лишь тривиальное решение, тогда уравнение Т(х)=S имеет решение для любого (Т - удовлетворяет первой части альтернативы Фредгольма), следовательно, существует. Так как Т - линейный непрерывный оператор, а В-банахово пространство, то непрерывный линейный оператор. Следовательно, последовательные приближения (2) можно переписать в виде

 (3)

В силу условия и ограниченности оператора существует такая окрестность точки 0, что оператор является оператором сжатия с постоянной при . Более того .

Из теоремы о сжатых отображениях получаем справедливость следующей теоремы.

Теорема 1. Пусть Т(х)=0 имеет лишь тривиальное решение. Тогда существует такая окрестность точки 0, что при каждом фиксированном сингулярно возмущенное операторное уравнение Фредгольма имеет единственное решение х, последовательные приближения хk определены для любого k=1, 2, … при любых при , x0B и сходятся к х, причем справедливы оценки

. (4)

Замечание. Из оценки (4) видно, что последовательные приближения xk сходятся к x равномерно относительно при k и при любом фиксированном k являются асимптотическими приближениями при 0.

2-й случай. Пусть справедлива вторая часть альтернативы Фредгольма, а именно: уравнение Т(х)=0 имеет n линейно независимых решений x(1), …, x(n). Тогда и уравнение T*(x)=0 имеет n линейно независимых решений g(1), …, g(n). В этом случае для разрешимости уравнения (4) необходимо и достаточно, чтобы

g(i) (s)=0, i=1, …, n, (5)

и тогда общее решение уравнения (4) имеет вид , где х* - любое решение неоднородного уравнения (4), а с(i) - произвольные постоянные.

Составим матрицу . Будем предполагать существование такой окрестности точки 0, что det H 0 при . Осуществим выбор нулевого приближения х0 в виде

, (6)

тогда для х1 получим уравнение

Т(х)=S0,

где .

Это уравнение имеет решение

,

g(j) (S0)=0, j = 1, …, n. (7)

Обозначая h=(g(i) (s)); , систему (7) запишем в виде HC0=h, откуда определим

. (8)

Таким образом:

1) х0 определено полностью;

2) уравнение для х1 разрешимо.

Пусть уже определены х0, …, хk, причем

, (9)

где - некоторое решение неоднородного уравнения

T(x)=Sk-1, (10)

где пока не определены. Обозначим , h0=0, и предположим .

Определим сk и хk+1. Для хk+1 получаем уравнение

Т(х) = Sk,

где . Это уравнение имеет решение

,

если только

g(i) (Sk)=0, j = 1, …, n. (11)

В векторной форме система (11) запишется в виде H Ck=h-hk, откуда следует

. (12)

Таким образом, справедлива теорема 2.

Теорема 2. Пусть:

1. Уравнение Т(х)=0 имеет n линейно независимых решений х(1), …, х(n).

2. Существует такая окрестность точки 0, что

det H 0 при . (13)

Тогда последовательные приближения, определенные равенствами (6), (8), (9), (12), существуют для любого k=0,1, …

Прежде чем доказывать существование единственного решения x сингулярно возмущенного операторного уравнения Фредгольма и сходимость к нему последовательных приближений xk, определенных выше, рассмотрим некоторые свойства операторного уравнения Фредгольма (4) и возмущенного операторного уравнения Фредгольма (6), предполагая выполненным условие 1 теоремы 2. Согласно альтернативе Фредгольма уравнение T*(g)=0 имеет также ровно n линейно независимых решений

g(1), …, g(n).

Из теоремы о биортогонализации [2] следует существование элементов y(1), …, y(n) B и f1, …, fn B*, таких что

где - символ Кронекера.

Из теоремы 1 из [2, с. 500] следует, что оператор T представим в виде

T(x)=W1 (x)+V1 (x),

где оператор W1 имеет непрерывный обратный оператор, а является конечномерным оператором.

Обозначим S={yB: gi(y)=0, i = 1, …, n}.

Лемма 1. Для любого yS, является частным решением уравнения T(x)=y.

Доказательство. Введем обозначения

, .

Очевидно . Покажем, что для любого y уравнение T(x) = y имеет решение . Существование решения следует из альтернативы Фредгольма.

Полагая , получаем

, (14)

то есть .

С другой стороны

Таким образом, решение уравнения , откуда и следует

. (15)

Из (14), (15) следует доказательство леммы 1.

Теорема 3. Пусть выполнено условие 1 теоремы 2 и существуют такая окрестность при точки 0 и такая постоянная с, что при . Тогда существует такая окрестность точки 0, что сингулярно возмущенное операторное уравнение Фредгольма имеет не более одного решения при каждом .

Доказательство проведем от противного. Пусть при некотором s  B сингулярно возмущенное операторное уравнение Фредгольма имеет решения и , причем . Обозначим . Тогда решение уравнения , которое перепишем в виде . Из альтернативы Фредгольма, рассматривая как свободный член и используя лемму 1, получим

; (16)

(17)

Из (16) следует

, или .

Так как , то существует такая окрестность точки 0, что

при .

Следовательно,

, (18)

с учетом (16) получаем

. (19)

Подставляя (19) в (17), имеем

,

откуда с учетом

,

при получаем i=0, i=1, …, n. Но тогда из неравенства (18) следует , то есть . Полученное противоречие и доказывает теорему.

Теорема 4. В условиях теоремы 3 сингулярно возмущенное операторное уравнение Фредгольма имеет решение х и последовательные приближения xk, k = 0, 1, … сходятся к х, причем справедливы оценки

(20)

Доказательство. Прежде всего, заметим, что

не зависит от выбора частного решения неоднородного уравнения

T(x)= - Z (xk-1)+S

в силу способа определения , i = 1, …, n. Действительно, пусть

; ,

где - два разных решения неоднородного уравнения, тогда

и, следовательно,

. (21)

В силу определения сk получаем

, где

, = (1, …, n) T,

но тогда и из (21) получаем . Что и требовалось доказать.

Учитывая этот факт и то, что по построению Sk в уравнении T(x) = Sk принадлежит S и, используя лемму 1, будем брать при доказательстве теоремы в виде

.

Введем обозначения . Тогда

.

Используя указанный ранее способ выбора , получим

.

Следовательно, .

Откуда получаем оценку

По индукции получаем

. (22)

Из этой оценки следует сходимость последовательных приближений хk.

Обозначая и переходя в T(xk)= - Z(xk -1)+S к пределу при k с учетом непрерывности операторов Т, Z получаем, что x решение сингулярно возмущенного операторного уравнения Фредгольма. Из и (22) получаем оценку (20), что и требовалось доказать.

Из доказательства теоремы видно, что . Переходя в этом неравенстве при каждом к пределу при k, получаем оценку решения сингулярного возмущенного операторного уравнения Фредгольма , .

Из (8) с учетом , непрерывности и оценки , получаем

фредгольм возмущенный уравнение приближение

. (23)

Проведенные ранее рассуждения остаются, очевидно, справедливыми и в случае, когда S зависит от . Поэтому для уравнения

T(x)+Z(x)=S, (24)

где S: U0В справедлива теорема 5.

Теорема 5. Пусть выполнены условия теоремы 3 и, кроме того, существуют такие постоянная с > 0 и функционал , что

. (25)

Тогда существует такая окрестность точки 0, что уравнение (24) имеет единственное решение х, причем справедлива оценка

. (26)

В следующей работе нами будут предложены различные схемы последовательных приближений для операторного уравнения Фредгольма в случае, когда возмущение операторного уравнения Фредгольма представлено итерационными или асимптотическими приближениями.

Размещено на Allbest.ru