Двойные и повторные ряды

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

«ПІВДЕННОУКРАЇНСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ імені К. Д. УШИНСЬКОГО»

Інститут фізики та математики.

Фізико-математичний факультет

Кафедра вищої математики

Курсова робота

Повторнi та подвiйнi ряди

Курсова робота Шарапановської Н. Г.

студ. II курсу

заочної форми навчання

Науковий керівник:

Сапрікін Сергій Михайлович ,

кандидат фізико-математичних наук,

Одеса-2013

Зміст

Вступ

1. Числовий ряд

1.1 Основні поняття

1.2 Приклади числових рядів

1.3 Необхідні і достатні ознаки збіжності

2. Знакозмінний ряд

2.1 Поняття знакозмінного ряду

2.2 Ознака Лейбніца. Абсолютна і умовна збіжність ряду

3. Функціональний ряд

3.1 Поняття функціонального ряду

3.2 Степеневі ряди

4. Повторнi та подвiйнi ряди

4.1 Повторнi ряди

4.2 Збіжність повторних рядів

4.3 Подвiйнi ряди

5. Практична частина

Висновок

Література

Введение

Математизация различных областей знаний в настоящее время не является чем-то новым, неожиданным. Широкое внедрение математических знаний в самые разнообразные сферы деятельности сегодня уже никого не удивляет. Большое значение оказывает теория рядов в программировании. Ряды используются для вычисления и анализа широкого класса функций, называемых аналитическими. В частности, ряды лежат в основе подпрограмм, реализующих встроенные функции бейсика.

Ряды - одно из основных понятий математического анализа. Понятие рядов возникло как результат многовековых усилий, направленных на решение большого числа задач естествознания и математики.

Изучение теории рядов, как, впрочем, и изучение любой математической теории, начинается со знакомства с ее основными понятиями, с установления связей между ними и их свойств, а затем указывается, для решения каких практических задач используется построенная теория.

Однако естественный (исторической) ход формирования научной теории почти никогда не совпадает с ходом ее изучения. Чаще всего в процессе развития науки практические задачи ставили ученых перед необходимостью использования того или иного научного аппарата, а уже потом сам аппарат усовершенствовался, обобщался, обретал математическую строгость.

Решение многих задач сводится к вычислению значений функций и интегралов или к решению дифференциальных уравнений, содержащих производные или дифференциалы неизвестных функций.

Однако точное выполнение указанных математических операций во многих случаях оказывается весьма затруднительным или невозможным. В этих случаях можно получить приближенное решение многих задач с любой желаемой точностью при помощи рядов.

Ряды представляют собой простой и совершенный инструмент математического анализа для приближенного вычисления функций, интегралов и решений дифференциальных уравнений.

Теория рядов создавалась в тесной связи с теорией приближенного представления функций в виде многочленов. Впервые это сделал И. Ньютон (1642 - 1727) в 1676г.

Ряды возникли в XVIII в. как способ представления функций, допускающих бесконечное дифференцирование. Однако функция, представляемая рядом, не называлась его суммой, и вообще в то время не было еще определено, что такое сумма числового или функционального ряда, были только попытки ввести это понятие.

Например, Л. Эйлер (1707-1783), выписав для функции соответствующий ей степенной ряд, придавал переменной конкретное значение . Получался числовой ряд. Суммой этого ряда Эйлер cчитал значение исходной функции в точке . Но это не всегда верно.

О том, что расходящийся ряд не имеет суммы, ученые стали догадываться только в XIX в., хотя в XVIII в. многие, и прежде всего Л. Эйлер, много работали над понятиями сходимости и расходимости. Эйлер называл ряд  сходящимся, если его общий член  стремится к нулю при возрастании .

В теории расходящихся рядов Эйлер получил немало существенных результатов, однако результаты эти долго не находили применения. Еще в 1826г. Н.Г. Абель (1802 - 1829) называл расходящиеся ряды “дьявольским измышлением”. Результаты Эйлера нашли обоснование лишь в конце XIX в.

В формировании понятия суммы сходящегося ряда большую роль сыграл французский ученый О.Л. Коши (1789 - 1857); он сделал чрезвычайно много не только в теории рядов, но и теории пределов, в разработке самого понятия предела. В 1826г. Коши заявил, что расходящийся ряд не имеет суммы.

В 1768г. французский математик и философ Ж.Л. Д'Аламбер исследовал отношение последующего члена к предыдущему в биномиальном ряде и показал, что если это отношение по модулю меньше единицы, то ряд сходится. Коши в 1821г. доказал теорему, излагающую в общем виде признак сходимости знакоположительных рядов, называемых теперь признаком Д'Аламбера.

Для исследования сходимости знакочередующихся рядов используется признак Лейбница.

Г.В. Лейбниц (1646 - 1716), великий немецкий математик и философ, наряду с И. Ньютоном является основоположником дифференциального и интегрального исчисления.

Нам приходится изучать уже сформировавшуюся теорию по порядку, начиная с основных ее понятий. Однако знание истории решения той или иной задачи часто объясняет необходимость этого решения и его применения, помогает выработать более общий взгляд на изучаемый вопрос.

Данная курсовая работа может помочь изучающему теорию рядов увидеть ее связь с различными разделами математики.

Рассмотрение бесконечного ряда и его суммы есть просто новая форма изучения последовательности и ее предела. Но эта форма представляет неоценимые преимущества как при установлении самого существования предела, так и при его вычислении. Это обстоятельство делает бесконечные ряды важнейшим орудием исследования в математическом анализе и его приложениях.

Понятие произведения двух рядов можно рассматривать как пример более общего понятия двойных рядов, изучению которых посвящена данная курсовая работа.

1. Числовой ряд

1.1 Основные понятия

Решение задачи, представленной в математических терминах, например, в виде комбинации различных функций, их производных и интегралов, нужно уметь “довести до числа”, которое чаще всего и служит окончательным ответом. Для этого в различных разделах математики выработаны различные методы.

Раздел математики, позволяющий решить любую корректно поставленную задачу с достаточной для практического использования точностью, называется теорией рядов.

Даже если некоторые тонкие понятия математического анализа появились вне связи с теорией рядов, они немедленно применялись к рядам, которые служили как бы инструментом для испытания значимости этих понятий. Такое положение сохраняется и сейчас.

Пусть задана некоторая бесконечная последовательность чисел

(1.1)

Составленный из этих чисел символ

(1.2)

называется бесконечным рядом, а сами числа (1.1) - членами ряда. Вместо (1.2), пользуясь знаком суммы, часто пишут так:

 (1.2а)

указатель n пробегает здесь все значения от 1 до ? Нумерацию членов ряда иногда бывает удобнее начинать не с единицы, а с нуля или же с какого-либо натурального числа, большего единицы..

Если члены ряда:

o числа, то ряд называется числовым;

o числа одного знака, то ряд называется знакопостоянным;

o числа разных знаков, то ряд называется знакопеременным;

o положительные числа, то ряд называется знакоположительным;

o числа, знаки которых строго чередуются, то ряд называется знакочередующимся;

o функции, то ряд называется функциональным;

o степени, то ряд называется степенным;

o тригонометрические функции, то ряд называется тригонометрическим.

Станем последовательно складывать члены ряда, составляя (в бесконечном количестве) суммы;

(1.3)

их называют частными суммами (или отрезками) ряда.

Эту последовательность частичных сумм мы всегда будем сопоставлять с рядом (1.2): роль этого символа и заключается в порождении упомянутой последовательности. Конечный или бесконечный предел А частичной суммы ряда (1.2) при



называют суммой ряда и пишут

придавая тем самым символу (1.2) или (1.2а) числовой смысл. Если ряд имеет конечную сумму, его называют сходящимся, в противном же случае (т. е. если сумма равна ± ?, либо же суммы вовсе нет) -- расходящимся.

Таким образом, вопрос о сходимости ряда (1.2), по определению, равносилен вопросу о существовании конечного предела для последовательности (1.3). Обратно, какую бы варианту (n=1,2, 3, ...) наперед ни взять, вопрос о наличии для нее конечного предела может быть сведен к вопросу о сходимости ряда

(1.4)

для которого частичными суммами как раз и будут последовательные значения варианты:

При этом сумма ряда совпадает с пределом варианты.

1.2 Примеры числовых рядов

Пример 1.

Простейшим примером бесконечного ряда является геометрическая прогрессия:

Ее частичная сумма будет (если )

Если знаменатель прогрессии, q, по абсолютной величине меньше единицы, то имеет конечный предел

т. е. наш ряд сходится, и s будет его суммой.

Возможны случаи:

:

.

Ряд принимает вид:

,

,

ряд расходится;

Ряд принимает вид:

,

Его частичные суммы попеременно равны то 1, то 0.

Если какой-либо член а ряда оказывается отрицательным числом:

(где ), то вместо того, чтобы писать:

, пишут:

Подчеркнем, что членом ряда здесь будет все же , а не .

 не имеет предела, ряд расходится.

,

 - конечное число, ряд сходится.

,

 - ряд расходится.

Итак, данный ряд сходится при и расходится при .

Пример 2.

Ряд вида

называется гармоническим.

Запишем частичную сумму этого ряда:

.

Сумма  больше суммы, представленной следующим образом:

.

Если , то , или .

Следовательно, если , то , т.е. гармонический ряд расходится.

Пример 3. Ряд вида

 (1.4)

называется обобщенным гармоническим.

Если , то данный ряд обращается в гармонический ряд, который является расходящимся.

Если , то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При  имеем геометрический ряд, в котором ; он является сходящимся.

Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при  и расходится при .

1.3 Необходимый и достаточные признаки сходимости

Необходимый признак сходимости ряда.

Ряд  может сходиться только при условии, что его общий член  при неограниченном увеличении номера стремится к нулю: .

Если , то ряд  расходится - это достаточный признак расходимости ряда.

Достаточные признаки сходимости ряда с положительными членами.

Признак сравнения рядов с положительными членами.

Исследуемый ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов другого, заведомо сходящегося ряда; исследуемый ряд расходится, если его члены превосходят соответствующие члены другого, заведомо расходящегося ряда.

Признак Даламбера.

Если для ряда с положительными членами

выполняется условие , то ряд сходится при  и расходится при .

Признак Даламбера не дает ответа, если . В этом случае для исследования ряда применяются другие приемы.

Для примера исследуем сходимость ряда, применяя необходимый признак сходимости и признак сравнения:

;

;

.

Решение.

Находим

.

Необходимый признак сходимости ряда выполняется, но для решения вопроса о сходимости нужно применить один из достаточных признаков сходимости. Сравним данный ряд с геометрическим рядом

,

который сходится, так как.

Сравнивая члены данного ряда, начиная со второго, с соответствующими членами геометрического ряда, получим неравенства

т.е. члены данного ряда, начиная со второго, соответственно меньше членов геометрического ряда, откуда следует, что данный ряд сходится.

Имеем

.

Здесь выполняется достаточный признак расходимости ряда; следовательно, ряд расходится.

Находим

.

Необходимый признак сходимости ряда выполняется. Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом

,

который сходится, поскольку, следовательно, сходится и данный ряд.

Рассмотрим еще один пример, исследуем сходимость ряда, используя признак Даламбера:

;

.

Решение.

Подставив в общий член ряда  вместо n число n+1, получим . Найдем предел отношения -го члена кn-му члену при :

.

Следовательно, данный ряд сходится.

Имеем

Значит, данный ряд расходится.

,

т.е. ряд расходится.

2. Знакопеременный ряд

2.1 Понятие знакопеременного ряда

Числовой ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.

Числовой ряд называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки.

,

где для всех (т.е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно). Например,

;

;

.

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости (установленный в 1714г. Лейбницем в письме к И.Бернулли).

2.2 Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость ряда

Теорема (Признак Лейбница).

Знакочередующийся ряд сходится, если:

Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е.

;

Общий член ряда стремится к нулю:.

При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенствам

.

Замечания.

Исследование знакочередующегося ряда вида

(с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех его членов на к исследованию ряда .

Ряды, для которых выполняются условия теоремы Лейбница, называются лейбницевскими (или рядами Лейбница).

Соотношение  позволяет получить простую и удобную оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму Sданного ряда его частичной суммой .

Отброшенный ряд (остаток) представляет собой также знакочередующийся ряд , сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, т.е.. Поэтому ошибка меньше модуля первого из отброшенных членов.

Пример. Вычислить приблизительно сумму ряда

.

Решение: данный ряд Лейбницевского типа. Он сходится. Можно записать:

.

Взяв пять членов, т.е. заменивна

,

сделаем ошибку, меньшую,

чем. Итак,.

Для знакопеременных рядов имеет место следующий общий достаточный признак сходимости.

Теорема. Пусть дан знакопеременный ряд

.

Если сходится ряд

,

составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд.

Признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов служит достаточным признаком сходимости знакочередующихся рядов.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов, т.е. всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.

Если знакопеременный ряд сходится, а составленный из абсолютных величин его членов ряд расходится, то данный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся.

Рассмотрим ряд:

;

Исследуем на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд Решение.

Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают:

и

Следовательно, согласно признаку Лейбница, ряд сходится. Выясним, сходится ли этот ряд абсолютно или условно.

Ряд , составленный из абсолютных величин данного ряда, является гармоническим рядом, который, расходится. Поэтому данный ряд сходится условно.

Рассмотрим ряд:



Исследуем его сходимость

Решение.

Члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают:

, но

.

Ряд расходится, так как признак Лейбница не выполняется.

3. Функциональный ряд

3.1 Понятие функционального ряда

Ряд, членами которого являются функции от , называется функциональным:

.

Придавая  определенное значение , получим числовой ряд

,

который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Если полученный числовой ряд сходится, то точка  называется точкой сходимости функционального ряда; если же ряд расходится - точкой расходимости функционального ряда.

Совокупность числовых значений аргумента , при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.

В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от

:.

Определяется она в области сходимости равенством

, где

- частичная сумма ряда.

Пример. Найти область сходимости ряда .

Решение. Данный ряд является рядом геометрической прогрессии со знаменателем . Следовательно, этот ряд сходится при , т.е. при всех ; сумма ряда равна ;

, при .

3.2 Степенные ряды

Степенным рядом называется ряд вида

,

где числа  называются коэффициентами ряда, а член - общим членом ряда.

Областью сходимости степенного ряда называется множество всех значений , при которых данный ряд сходится.

Число называется радиусом сходимости степенного ряда, если при  ряд сходится и притом абсолютно, а при  ряд расходится.

Радиус сходимости  найдем, используя признак Даламбера:

 (не зависит от),

,

т.е. если степенной ряд сходится при любых , удовлетворяющих данному условию и расходится при

.

Отсюда следует, что если существует предел

,

то радиус сходимости рядаравен этому пределу и степенной ряд сходится при , т.е. в промежутке , который называется промежутком (интервалом) сходимости.

Если , то степенной ряд сходится в единственной точке .

На концах промежутка ряд может сходиться (абсолютно или условно), но может и расходиться.

Сходимость степенного ряда при  и  исследуется с помощью какого-либо из признаков сходимости.

Найдем область сходимости ряда:

;

Решение. Найдем радиус сходимости данного ряда:

.

Следовательно, данный ряд абсолютно сходится на всей числовой оси.

4. Повторные и двойные ряды

4.1 Повторные ряды

Пусть задано бесконечное множество чисел

 ,

зависящие от двух натуральных значков. Представим себе их расположенными в виде бесконечной прямоугольной матрицы:

(4.1)

Такого рода матрица носит название бесконечной прямоугольной матрицы с двумя входами.

Теперь остановимся на одном понятии, связанном с рассмотрением матриц вида (4.1) - понятии повторного ряда.

Если в бесконечной прямоугольной матрице просуммировать каждую строку отдельно, то мы получим бесконечную последовательность рядов вида:

. (4.2)

Просуммировав теперь эту последовательность вторично, будем иметь

. (4.3)

Полученный символ и носит название повторного ряда. Если заменить строки столбцами, т.е. если суммировать члены нашей бесконечной матрицы по столбцам, то мы получим второй повторный ряд

. (4.4)

4.2 Сходимость повторных рядов

Повторный ряд (4.3) называется сходящимся, если, во-первых, сходятся все ряды по строкам (4.2) (их суммы, соответственно обозначим через ) и, во -вторых, сходится ряд

;

его сумма и будет суммой повторного ряда (4.3). Легко перефразировать все это и для ряда (4).

Элементы матрицы (1) можно многими способами представить в виде обыкновенной последовательности

 (4.5)

и по не составить простой ряд

. (4.6)

Обратно, если имеем обыкновенную последовательность (4.5), то разбив все его члены (не считаясь с их месторасположением) на бесконечное множество бесконечных групп, можно ее представить многими способами в виде матрицы с двумя входами (4.1), и по этой матрице составить повторный ряд (4.3). Естественно встает вопрос о связи между рядами (4.6) и (4.3), состоящих из одних и тех же членов.

Теорема 1. Если ряд (4.6) сходится абсолютно к сумме , то, как бы ее члены не расположить в виде матрицы (4.1), сходится и повторный ряд (4.3), причем имеет ту же сумму.

Доказательство. Ряд

 (4.6*)

по предположению, сходится; обозначим его сумму через .

Тогда, прежде всего, при любых  и ,

,

откуда следует сходимость ряда , а значит и сходимость ряда  (при любом ).

Далее, для любого числа  найдется такое число , что

, (4.7)

следовательно, и подавно

. (4.8)

Члены  ряда (4.6) содержатся в первых  строках и первых  столбцах матрицы (1), если  и  достаточно велики, скажем, при  и . Тогда для указанных  и  выражение

представляет сумму группы членов  с номерами, большими , и ввиду (4.7) по абсолютной величине . Переходя к пределу при, получим (для )

,

так что - в связи (8) -

,

откуда следует сходимость повторного ряда(4.3), и именно к сумме .

Обратная теорема имеет место лишь при усилении предположений о повторном ряде.

Теорема 2. Пусть дан повторный ряд (4.3). Если по замене его членов их абсолютными членами получается сходящийся ряд, то сходится не только ряд (4.3), но и простой ряд (4.6), состоящий из тех же членов, что и ряд (4.3), расположенных в любом порядке, и притом - к той же сумме.

Так как, очевидно, все сказанное о повторном ряде (4.3) справедливо и для повторного ряда (4.4), то как следствие из доказанных теорем получается следующее важное предложение, которое часто бывает полезно.

Теорема 3. Пусть дана матрица (4.1). Если по замене членов ряда (4.3) их абсолютными величинами получается сходящийся ряд, то сходятся оба повторных ряда (4.3), (4.4) и имеют ту же сумму:

.

4.3 Двойные ряды

двойной повторный ряд сходимость

С бесконечной прямоугольной матрицей (1) связано и понятие двойного ряда. Так называется символ

 (4.10)

Ограничившись первыми  столбцами и первыми  строками, рассмотрим конечную сумму



называемую частичной суммой данного двойного ряда. Станем увеличивать числа  и  одновременно, но независимо друг от друга, устремляя их к бесконечности. Предел (конечный или бесконечный)

называют суммой двойного ряда, и пишут

.

Если ряд (4.10) имеет конечную сумму, его называют сходящимся, в противном случае - расходящимся.

в противном же случае -- расходящимся.

Рассмотрим для примера к матрицу

с общим членом



В этом случае частичная сумма равна

так что двойной ряд, соответствующий упомянутой матрице, всегда сходится и имеет сумму Если произведение двух сходящихся простых рядов представить в виде двойного ряда, то суммой последнего всегда будет произведение АВ; трудность была в доказательстве того же по отношению к произведению рядов, представленному простым рядом.

На двойные ряды легко применить теоремы:

об умножении членов сходящегося ряда на постоянное число:

Если члены сходящегося ряда умножить на один и тот же множитель с, то его сходимость не нарушится (а сумма лишь умножится на с).

о почленном сложении или вычитании двух сходящихся рядов:

Два сходящихся ряда А и В можно почленно складывать (или вычитать), так что ряд также сходится, и его сумма равна, соответственно, А + В.

Точно так же для сходимости двойного ряда необходимо стремление к 0 общего члена:

.

Естественно сопоставить двойной ряд (4.10) с повторными рядами (4.3) и (4.4), рассмотренными выше. Так как

,

то, переходя здесь при фиксированном  к пределу при  ( в предположении, что ряды по строкам сходятся), получим

.

Теперь ясно, что сумма повторного ряда (4.3) есть не что иное, как повторный предел

.

Теорема 4. Если 1) сходится двойной ряд (4.10) и 2) сходятся все ряды по строкам, то сходится повторный ряд (3) и имеет ту же сумму, что и двойной ряд

.

Аналогичная теорема имеет место и для второго повторного ряда (4.4).

Вопрос о сходимости двойного ряда (4.10) просто решается для случая положительного ряда, т.е. ряда с неотрицательными членами.

Теорема 5. Для сходимости ряда (4.10), если , необходимо и достаточно, чтобы его частичные суммы были ограничены.

Рассмотрим теперь двойной ряд, составленный из матрицы, в которой не все элементы положительны. Очевидно, что, как для простых рядов, мы можем исключить из рассмотрения те случаи, когда все элементы матрицы отрицательны или когда есть только конечное число положительных или отрицательных элементов, так как все эти случаи непосредственно приводятся к только что рассмотренному. Поэтому мы предположим, что в рассматриваемой матрице (4.1), а значит и в ряде (4.10), есть бесконечное множество как положительных и отрицательных элементов.

Кроме матрицы (4.1), составим еще матрицу из абсолютных величин элементов.

и по этой матрице составим двойной ряд

. (4.10*)

Теорема 6. Если сходится ряд (4.10*), то и ряд (4.10) сходится.

Если одновременно с рядом (4.10) сходится и ряд (4.10*), то ряд (4.10) называется абсолютно сходящимся. Если же ряд (4.10) сходится, а ряд (4.10*) расходится, то ряд (4.10) называется условно сходящимся.

5. Практическая часть

1) Показать, что если

, , , ,

, .

2) Обращением ряда

 (где )

в двойной ряд показать, что он равен

Решение:

1)

,

,

.

Рассмотрим сумму по строкам:

Рассмотрим сумму по столбцам:

Заключение

Ряды очень широко используются в курсе математики, на физико - математических факультетах в вузах, важны в различных разделах высшей математики. Немалую роль ряды играют в развитии прикладных дисциплин. Особенно важно приложение в программировании.

Теория рядов дает начало большому и важному разделу математики - математическому анализу.

Бесконечные ряды широко используются в теоретических исследованиях математического анализа, имеют разнообразные практические применения.

В данной курсовой работе введено понятие двойных и повторных рядов. Рассмотрена теория сходимости двойных и повторных рядов.

Литература

1. Богомолов Н.В., Практические занятия по математике. М., “Высшая школа”, 1990 - 495 с.;

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. - М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1985 - 549 с.;.

3. Выгодский М.Я., Справочник по высшей математике. М., “Наука”, 1975 - 872 с.;

4. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2. - М.: Высш. шк., 1999 - 345 с.;.

5. Зайцев И.Л., Курс высшей математики для техникумов. М., государственное издательство техникумов - теоретической литературы, 1957 - 339 с.;

6. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ. Продолжене курса. -- М.: МГУ, 1987. -- 358 с.

7. Д.Т. Письменный. Конспект лекций по высшей математике. Ч. 2. - Айрис-пресс, 2006 - 579 с.;

8. Тарасов Н.П., Курс высшей математики для техникумов. М., “Наука”, 1971 - 448 с.;

9. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Основные операции анализа. Ч. 1. - М: Государственное изд-во физико-математической литературы, 1963 - 387 с.;.

10. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. -- М.: Наука, 1969. -- Т. 2. -- 800 с.

11. Шипачев В.С. Высшая математика. - М.: Высш. шк., 2005.

Размещено на Allbest.ru