Метод прямоугольников

Размещено на http://www.allbest.ru/

Метод прямоугольников

Вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница не всегда возможно. Многие подынтегральные функции не имеют первообразных в виде элементарных функций, поэтому мы во многих случаях не можем найти точное значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

В этих случаях нам на помощь приходят методы численного интегрирования, такие как метод прямоугольников, метод трапеций, метод Симпсона (парабол) и т.п.

Суть метода прямоугольников

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b]. Нам требуется вычислить определенный интеграл .

Обратимся к понятию определенного интеграла. Разобьем отрезок [a;b] на n частей

точками . Внутри каждого отрезка выберем точку Так как по определению определенный интеграл есть предел интегральных сумм при бесконечном уменьшении длины элементарного отрезка разбиения , то любая из интегральных сумм является приближенным значением интеграла .

Суть метода прямоугольников заключается в том, что в качестве приближенного значения определенного интеграла берут интегральную сумму.

Метод Средних прямоугольников

Если отрезок интегрирования [a;b] разбить на РАВНЫЕ части длины h точками (то есть ) и в качестве точек выбрать СЕРЕДИНЫ элементарных отрезков ( то есть ), то приближенное равенство можно записать в виде .

Это и есть формула метода прямоугольников. Ее еще называют формулой средних прямоугольников из-за способа выбора точек .

интеграл прямоугольник уравнение формула

называют шагом разбиения отрезка [a;b].

Графическая иллюстрация метода средних прямоугольников

.

Вычисление интеграла методом средних прямоугольников. Для оценки точности будем использовать двойной просчёт (при разбиении на 8 и 10 частей).

f(x)= в точках () i=1,2…10.

Вычислим шаг при разбиении на 10 частей:

h==0.06

()=a+(i-1)h+.

i	()	f()
1	0.43	0.668
2	0.49	0.6997
3	0.55	0.7436
4	0.61	0.8074
5	0.67	0.9030
6	0.73	1.0530
7	0.79	1.306
8	0.85	1.7909
9	0.91	2,987
10	097	9,294

=0.06(0.668+0.6997+0.7436+0.8074+0.9030+1.0530+1.306+1.7909+2.987+9.294)=1.215276.

Вычислим шаг при разбиении на 8 частей: h= =0.075.



()=a+(i-1)h+.

i	()	f()
1	0.4375	0.6722
2	0.5125	0.7143
3	0.5875	0.7806
4	0.6625	0.8888
5	0.7375	1.0775
6	0.8125	1.4484
7	0.8875	2.3812
8	0.9625	10.3508

=0.075(0.6722+0.7143+0.7806+0.8888+1.0775+1.4484+2.3812+10.3508)=1.373535

Метод левых и правых прямоугольников

-Формула метода левых прямоугольников.

-Формула метода левых прямоугольников.



Графическое изображение:

Вычислим приближенное значение интеграла . Для оценки точности используем просчет методом левых и правых прямоугольников.

Рассчитаем шаг при разбиении на 10 частей:

Точки разбиения отрезка [a; b] определяются как .

i
0	0.8	0.6288
1	0.9	0.6042
2	1.0	0.5828
3	1.1	0.5642
4	1.2	0.5479
5	1.3	0.5338
6	1.4	0.5214
7	1.5	0.5105
8	1.6	0.5008
9	1.7	0.4924
10	1.8	0.4848

Вычислим приближенное значение интеграла по формулам левых прямоугольников:

==0.1(0.6288+0.6042+0.5828+0.5642+0.5479+0.5338+0.5214+0.5105+0.5008+0.4924)0.5486

Вычислим приближенное значение интеграла по формулам правых прямоугольников:

==0.1(0.6042+0.5828+0.5642+0.5479+0.5338+0.5214+0.5105+0.5008+0.4924+0.4848)0.5342

Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения методом прогонки.

Для приближенного решения обыкновенного дифференциального уравнения можно использовать метод прогонки.

Рассмотрим линейное д.у.

y''+p(x)y'+q(x)y=f(x) (1)

c двухточечными линейными краевыми условиями



Введём обозначения:

, , ,

Метод прогонки состоит из «прямого хода», в котором определяются коэффициенты:

, , , , ,

После выполнения «прямого хода», переходят к выполнению «обратного хода», который заключается в определении значений искомой функции по формулам:

Пример:

Используя метод прогонки, составить решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения с точностью ; Шаг h=0.05

=2; A=1; =0; B=1.2;

, .

		-1.9728	0.975327	0.037037	-1.025641	0.025	-0.076871
		-1.5666	0.972872	0.038224	-0.389952	0.063169	-0.049950
		-1.5365	0.970443	0.039408	-0.522213	0.063312	-0.064926
		-1.5075	0.968019	0.04059	-0.496768	0.072594	-0.061018
		-1.4796	0.966830	0.041769	-0.510232	0.076635	-0.050236
		-1.4527	0.963190	0.042944	-0.514363	0.080606	-0.021824
		-1.4267	0.960784	0.044117	-0.520591	0.083951	0.038176

Задача Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток

Найти непрерывную функцию и (х, у), удовлетворяющую внутри прямоугольной области уравнению Лапласа

и принимающую на границе области заданные значения, т. е.

, ,

, ,

где f_l, f₂, f₃, f₄ -- заданные функции.

Будем считать, что и(х, у) непрерывна на границе области , т. е. , , , . Выбрав шаги h, l по x и y соответственно, строим сетку , , , , где , .

Вводя обозначения , аппроксимируем частные производные и в каждом внутреннем узле сетки центральными разностными производными второго порядка

,

и заменим уравнение Лапласа конечно-разностным уравнением

, (1)

, .

Погрешность замены дифференциального уравнения разностным составляет величину .

Уравнения (1) вместе со значениями в граничных узлах образуют систему линейных алгебраических уравнений относительно приближенных значений функции и (х, у) в узлах сетки . Наиболее простой вид имеет эта система при :

(2)

, , , ,

, .

При получении сеточных уравнений (2) была использована схема узлов, изображенная на рис. 1. Набор узлов, используемых для аппроксимации уравнения в точке, называется шаблоном.



Рисунок 1

Численное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольнике состоит в нахождении приближенных значений искомой функции и(х, у) во внутренних узлах сетки. Для определения величин требуется решить систему линейных алгебраических уравнений (2).

В данной работе она решается методом Гаусса--Зейделя, который состоит в построении последовательности итераций вида

(верхним индексом s обозначен номер итерации). При последовательность сходится к точному решению системы (2). В качестве условия окончания итерационного процесса можно принять

, , .

Таким образом, погрешность приближенного решения, полученного методом сеток, складывается из двух погрешностей: погрешности аппроксимации дифференциального уравнения разностными; погрешности, возникающей в результате приближенного решения системы разностных уравнений (2).

Известно, что описанная здесь разностная схема обладает свойством устойчивости и сходимости. Устойчивость схемы означает, что малые изменения в начальных данных приводят к малым изменениям решения разностной задачи. Только такие схемы имеет смысл применять в реальных вычислениях. Сходимость схемы означает, что при стремлении шага сетки к нулю () решение разностной задачи стремится в некотором смысле к решению исходной задачи. Таким образом, выбрав достаточно малый шаг h, можно как угодно точно решить исходную задачу.

Пример.

Используя метод сеток, составить приближенное решение задачи Дирихле, для уравнения Лапласа в квадрате ABCD c вершинами A(0;0) B(0;1) C(1;1) D(1;0); шаг h=0.02. При решении задачи использовать итерационный процесс усреднения Либмана до получения ответа с точностью до 0,01.

1) Вычислим значения функции на сторонах:

1. На стороне AB: по формуле . u(0;0)=0 u(0;0.2)=9.6 u(0;0.4)=16.8 u(0;0.6)=19.2 u(0;0.8)=14.4 u(0;1)=0

2. На стороне ВС=0

3. На стороне CD=0

4. На стороне AD: по формуле u(0;0)=0 u(0.2;0)=29,376 u(0.4;0)=47,542 u(0.6;0)=47,567 u(0.8;0)=29,44 u(1;0)=0

2) Для определения значений функции во внутренних точках области методом сеток заданное уравнение Лапласа в каждой точке заменим конечно-разностным уравнением по формуле



Используя эту формулу, составим уравнение для каждой внутренней точки. В результате получаем систему уравнений.

Решение этой системы выполним итерационным способом типа Либмана. Для каждого значения составим последовательность которую строим до сходимости в сотых долях. Запишем соотношения, с помощью которых будем находить элементы всех последовательностей:

)

Для вычислений по этим формулам нужно определить начальные значения которые могут быть найдены каким-либо способом.

3) Чтобы получить начальное приближенное решение задачи, будем считать, что функция u(x,y) по горизонталям области распределена равномерно.

Сначала рассмотрим горизонталь с граничными точками (0;0.2) и (1;0.2).

Обозначим искомые значения функции во внутренних точках через .

Так как отрезок разбит на 5 частей, то шаг измерения функции

Тогда получим:

Аналогично найдём значения функции во внутренних точках других горизонталей. Для горизонтали, с граничными точками (0;0.4) и (1;0.4) имеем

.

Для горизонтали с граничными точками (0;0.6) и (1;0.6) имеем

.

Наконец, найдем значения для горизонтали с граничными точками (0;0.8) и(1;0.8).

Имеем

Все полученные значения представим в следующей таблице, которая называется нулевым шаблоном:

1	0	0	0	0	0	0
0,8	14.4	17.28	20.16	23.04	25.92	0
0,6	19.2	23.04	26.88	30.72	34.56	0
0,4	16.8	20.16	23.52	26.88	30.24	0
0,2	9.6	40.896	42.816	44.736	46.656	0
0	0	29.376	47.542	47.567	29.44	0
	0.2	0.4	0.6	0.8	1	0



Используемая литература:

1) Воробьёва Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике. Издательство «высшая школа», 1990.

2) Б.П. Демидович, И.А. Марон, Э.З. Шувалова. Численные методы анализа. Издательство «Наука», 1967.

3) http://www.cleverstudents.ru/method_of_rectangles.html

Размещено на Allbest.ru