Комплексні числа

Размещено на http://www.allbest.ru/

Комплексні числа

1. Поняття комплексного числа

число тригонометричний модуль аргумент

У багатьох розділах математики та її застосуваннях неможливо обмежитись розглядом лише дійсних чисел. Вже досить давно під час розв'язування різних задач виникла потреба добувати квадратний корінь з від'ємних чисел (наприклад, при розв'язку квадратних рівнянь, коли дискримінант від'ємний). Щоб ця дія стала можливою, ввели множину нових чисел.

Число , де і - будь-які дійсні числа, - уявна одиниця, називається комплексним числом. називають дійсною частиною, - уявною частиною комплексного числа.

Число, квадрат якого дорівнює , позначають буквою і називають уявною одиницею ( - перша буква латинського слова imaginarius - уявний).

Тобто, для символу виконується рівність

.

Запис називають алгебраїчною формою комплексного числа.

Примітка! Слово "комплексний" означає складений.

Часто комплексне число позначають буквою і записують .

2. Поняття рівних, спряжених і протилежних комплексних чисел

Два комплексних числа і рівні між собою тоді і тільки тоді, коли і , тобто, коли рівні їх дійсні частини і коефіцієнти при уявних частинах.

Поняття "більше" і "менше" для комплексних чисел не має смислу. Ці числа за величиною не порівнюють. Тому не можна, наприклад, сказати, яке з двох комплексних чисел більше чи , чи .

Числа і , дійсні частини яких рівні, а коефіцієнти при уявих частинах рівні за модулем, але протилежні за знаком, називають спряженими.

Приклад.

Спряженими є комплексні числа та .

Якщо дано число , то спряженим до нього є .

До числа спряженим буде , бо .

Числа і називаються протилежними. Тобто, два числа та, сума яких дорівнює нулю, називають протилежними.

3. Алгебраїчні дії над комплексними числами

Нехай дано два комплексні числа і .

Додавання комплексних чисел.

Сумою двох комплексних чисел і називається комплексне число , дійсна частина якого і коефіцієнт при уявній частині дорівнюють відповідно сумі дійсних частин і коефіцієнтів при уявних частинах додатків.

Приклади (додавання комплексних чисел):

Примітка! Означення суми комплексних чисел поширюється і на випадок трьох і більше доданків.

Віднімання комплексних чисел

Різницею двох комплексних чисел і називається комплексне число , дійсна і уявна частина якого дорівнюють відповідно різниці дійсних і уявних частин доданків.

Приклади (віднімання комплексних чисел):

Множення комплексних чисел

Добутком двох комплексних чисел і називається комплексне число .

Тобто для знаходження добутку двох комплексних чисел потрібно почленно перемножити два вихідних комплексних числа і потім виділити дійсну і уявну частину в отриманому виразі:

почленно перемножимо:

;

виділити дійсну і уявну частину з урахуванням того, що :

Приклад (множення комплексних чисел):

.

Добуток двох спряжених комплексних чисел:

.

Добуток спряжених комплексних чисел завжди є дійсним числом.

Ділення комплексних чисел.

Часткою комплексних чисел і називається комплексне число .

Алгоритм знаходження частики комплексних чисел:

Домножити чисельник і знаменник частки на спряжене до знаменника комплексне число.

Виділити дійсну і уявну частини в отриманому виразі

Приклад (знайти частку комплексних чисел):

.

.

4. Завдання для самоконтролю

Знайдіть суму, різницю, добуток та частку двох комплексних чисел і запишіть результати в алгебраїчній формі (процес розв'язку розписати докладно):

і .

Відповіді:

, , , .

5. Форми запису (форми представлення) комплексного числа

Тригонометрична форма запису.

Геометричне зображення комплексного числа.

Комплексне число геометрично зображують точкою координатної площини.

Зручно комплексне число зобразити у вигляді вектора

.

Довжина вектора, який зображає комплексне число, називається модулем цього комплексного числа. Модуль комплексного числа позначається . Тобто

. (1)

Кут між додатним напрямком осі абсцис і вектором називається аргументом комплексного числа.

(2)

(3)

Примітка! Кожне комплексне число, що не дорівнює нулю, має нескінчену множину аргументів, які відрізняються один від одного на , де - ціле число, тобто у якості аргументу можна обирати будь яке значення .

Для однозначного визначення аргументу комплексного числа будемо обирати його з певного проміжку довжиною . Таке значення аргументу називається його головним значенням та позначається . Будемо вважати, що належить проміжку ). Тоді модуль та головне значення аргументу комплексного числа доцільно обчислювати за формулами

;

. (4)

Приклад. Знайти модуль та аргумент числа .

Розв'язок: за умовою , .

За формулою (1) маємо: .

За формулою (4), оскільки :

.

Тригонометрична форма комплексного числа.

Виразивши і через модуль і аргумент , комплексне число запишемо у вигляді

(5)

Права частина цієї тотожності називається тригонометричною формою комплексного числа.

Доведення. З урахуванням (1), (2) і (3), отримаємо:

Почленно помноживши дужку на і скоротивши, маємо:

Приклад. Знайти модуль та аргумент числа .

Розв'язок: за умовою , .

Знайдемо модуль та аргумент числа :

1) за формулою (1) маємо: .

2) за формулою (4), оскільки :

.

Отже, тригонометрична форма запису:

.

6. Дії над комплексними числами в тригонометричній формі

Нехай задано два комплексні числа:

, .

Множення

.

Тобто при множенні комплексних чисел в тригонометричній формі потрібно перемножити їх модулі і , а аргументи і скласти.

Приклад (множення комплексних чисел в тригонометричній формі):

Помножити два числа і .

Розв'язання:

.

Ділення

.

Тобто при діленні комплексних чисел в тригонометричній формі потрібно поділити їх модулі і , а аргументи і відняти.

Приклад (ділення комплексних чисел в тригонометричній формі):

Поділити два числа і .

Розв'язання:

.

З урахуванням того, що функція є парною, а є непарною, отримаємо: .

Піднесення до степеня (формула Муавра)

.

Тобто при піднесенні до степеня комплексних чисел в тригонометричній формі потрібно піднести до цього степеня його модуль , а аргумент помножити на цей степінь.

Приклад (піднесення до степеня комплексних чисел в тригонометричній формі):

Піднести до другого та п'ятого степенів число .

Розв'язок:

,

.

Добування кореня

, (6)

.

Тобто матимемо різних значень кореня.

Приклад (добування кореня):

Знайти корені 3-го степеня з числа .

Розв'язок: згідно з формулою (6) будемо мати 3 кореня:

1) при :

2) при :

3) при :

Зауваження. Таким чином, ми бачимо, що розглянуті 4 операції дуже легко виконуються над комплексними числами, записаними в тригонометричній формі, в той час, як лише перші дві з них (множення та ділення) зручно виконувати і для чисел, записаних в алгебраїчній формі. Тому для здійснення операцій піднесення до степеня та добування кореня -го степеня доцільно спочатку записати комплексне число в тригонометричній формі (якщо воно задане в алгебраїчній формі), а потім вже виконувати вказані операції.

Запишіть числа в тригонометричній формі: ; .

Знайдіть добуток та частку двох комплексних чисел в тригонометричній формі з першого завдання (процес розв'язку розписати докладно).

Піднести число до 3-го степеня, а - до сьомого.

Знайти корені 4-го степеня з першого комплексного числа в першому завданні.

Відповіді:

1. ; .

2. ; .

3. ; .

4. , , , .

Показникова форма запису.

Ейлер вивів формулу між тригонометричними функціями та експоненіальною функцією :

.

Якщо підставити в (5) замість , то отримаємо показникову форму запису комплексного числа:

. (7)

Приклад. Записати число в показниковій формі.

Розв'язок. Згідно з (7) маємо: .

7. Дії над комплексними числами в показниковій формі

Нехай задано два комплексні числа, записані в показниковій формі: , .

Для операцій множення, ділення, піднесення до степеня та добування кореня для модуля та аргументу діють ті ж правила, що і для чисел, записаних в тригонометричній формі, тобто для вказаних дій вірними є наступні формули:

Назва дії	Загальна формула
Множення
Ділення
Піднесення до степеня
Добування кореня	,

Приклад (ділення комплексних чисел в показниковій формі):

Знайти частку від ділення чисел і .

Розв'язання: .

Размещено на Allbest.ru