Нечеткая логика робокаров

Размещено на http://www.allbest.ru/

Нечеткая логика робокаров

1. Математический аппарат нечетких множеств: типовые формы кривых для задания функций принадлежности, примеры: треугольная, трапецеидальная и гауссова функции принадлежности

Понятие нечеткого множества

Значительный шаг в направлении развития теории нечетких множеств сделал профессор Калифорнийского университета Лотфи А. Заде (1965 г. - публикация работы «Fuzzy Sets»). Заде расширил понятие множества, допустил, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале [0, 1]. Такие множества были названы им нечеткими (fuzzy).

Пусть Е - универсальное множество, х - элемент Е, Р - некоторое свойство. Обычное (четкое) множество А универсального множества Е, элементы которого удовлетворяют свойству Р, определяются как множество упорядоченных пар

,

где - характеристическая функция, принимающая значение 1, если х удовлетворяет свойству Р, и 0 - в противном случае.

В теории нечетких множеств для элементов х из Е нет однозначного ответа «да/нет» относительно свойства Р. В связи с этим нечеткое множество А универсального множества Е определяется как множество упорядоченных пар с функцией принадлежности , принимающей значение в некотором упорядоченном множестве М (например, М=[0, 1]).

Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента х подмножеству А. Множество М называют множеством принадлежностей. Если М={0, 1}, то нечеткое подмножество А может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Примеры записи нечеткого множества.

1 Пусть Е ={x₁, x₂, x₃, x₄, x₅}; А - нечеткое множество, для которого

=0,3; =0;=1; =0,6; =0,9.

Тогда А можно представить в виде

А = {0,3/x₁; 0/x₂; 1/x₃; 0,6/x₄; 0,9/x₅}.

2 Пусть Е = {1, 2, 3, … 100} и соответствует понятию «возраст», тогда нечеткое множество «молодой» может быть определено с помощью выражения

В приведенных выше примерах использованы прямые методы определения функций принадлежности, когда эксперт задает значение для каждого х Е. Такой способ используется для измеряемых понятий (скорость, температура и т.д.) или когда выделяют полярные значения. Разновидностью прямого способа задания функции принадлежности является групповой метод, когда группе экспертов предлагают сделать оценку того или иного явления, например, оценить: «этот человек лысый» или нет, - тогда количество утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение м_лысый для данного лица.

Кроме указанных способов задания функций принадлежности используют также типовые формы функций принадлежности (рисунок 1).

Аналитическая запись некоторых типовых функций принадлежности:

треугольная - - определяют параметры функции;

гауссова - - параметры функции принадлежности;

сигмоидная - - параметры функции принадлежности.

2. Математический аппарат нечетких множеств: нечеткий вывод на примере механизма Мамдани (Mamdani)

Нечеткие выводы

В экспертных и управляющих системах механизм нечетких выводов в своей основе имеет базу знаний, формируемую специалистами предметной области в виде совокупности нечетких предикатных правил вида:

П₁: если х есть А₁, то y есть В₁,

П₂: если х есть А₂, то y есть В₂,

…

П_n: если х есть А_n, то y есть В_n,

где х - входная переменная, y - переменная вывода, А и В-функции принадлежности, определенные на х и y соответственно.

Знания эксперта А>В отражает нечеткое причинное отношение предпосылки и заключения, поэтому его называют нечетким отношением:

R= А>В,

где «>» - нечеткая импликация.

Отношение R можно рассматривать как нечеткое подмножество прямого произведения Х Y полного множества предпосылок X и заключений Y. Таким образом, процесс получения (нечеткого) результата вывода В? с использованием данного наблюдения А? и значения А>В можно представить в виде

В?= А?? R= А??(А>В).

Алгоритм нечеткого вывода

1 Нечеткость (фаззификация, fuzzification). Функции принадлежности, определенные для входных переменных, применяются к их фактическим значениям для определения степени истинности каждой предпосылки каждого правила).

2 Логический вывод. Вычисленное значение истинности для предпосылок каждого правила применяется к заключениям каждого правила. Это приводит к одному нечеткому подмножеству, которое будет назначено переменной вывода для каждого правила. В качестве правил логического вывода используются только операции min (минимума) или prod (умножение).

3 Композиция. Нечеткие подмножества, назначенные для каждой переменной вывода (во всех правилах), объединяются вместе, чтобы сформировать одно нечеткое подмножество для каждой переменной вывода. При подобном объединении обычно используются операции max (максимум) или sum (сумма).

4 Дефаззификация - приведение к четкости (defuzzification). Преобразование нечеткого набора выводов в число.

Алгоритмы нечеткого вывода Мамдани (Mamdani)

Пусть заданы два нечетких правила:

П₁: если х есть А₁ и y есть В₁, тогда z есть С₁,

П₂: если х есть А₂ и y есть В₂, тогда z есть С₂.

1 Нечеткость. Находят степени принадлежности для предпосылок каждого правила: А₁(х₀), А₂(х₀), B₁(y₀), B₂(y₀).

2 Нечеткий вывод. Определяют уровни «отсечения» для предпосылок каждого правила (операция min):

б₁= А₁(х₀) B₁(y₀),

б₂= А₂(х₀) B₂(y₀),

определяют усеченные функции принадлежности

С?₁=(б₁ С₁(z)),

С?₂=(б₂ С₂(z)).

3 Композиция. Производится объединение найденных усеченных функций (операция max), получают нечеткое подмножество для переменной выхода с функцией принадлежности:

С?₁(z) С?₂(z)= (б₁ С₁(z)) (б₂ С₂(z)).

4 Дефаззификация. Приведение к четкости (определение z₀), например, центроидным методом (как центр тяжести для кривой ):

робокар множество математический логика

.

Алгоритм иллюстрируется на рисунке 2.

Список литературы

1. Кафаров В.В., Дорохов И.М., Марков В.П. Системный анализ процессов химической технологии. Применение метода нечетких множеств. - М.: Наука, 1986. - 356.

2. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. - М.: Радио и связь, 1982. - 432 с.

3. Мелихов А.Н., Бернштейн Л.С., Коровин С.Я. Ситуационные советующие системы с нечеткой логикой. - М.: Наука, 1990.

Размещено на Allbest.ru