Численные методы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание к работе №1

Методом итераций найти корень уравнения x2-ln(1+x)-3=0 на отрезке [2;3]

Метод итераций.

Это способ численного решения математических задач. Его суть - нахождение алгоритма поиска по известному приближению (приближенному значению) искомой величины следующего, более точного приближения. Применяется в случае, когда последовательность приближений по указанному алгоритму сходится.

Данный метод называют также методом последовательных приближений, методом повторных подстановок, методом простых итераций и т.п.

Одним из наиболее важных способов численного решения уравнений является метод итерации. Сущность этого метода заключается в следующем. Пусть дано уравнение

f(x)=0 (1)

где f(x) - непрерывная функция, и требуется определить его вещественные корни. Заменим уравнение (1) равносильным уравнением

x=j (x) (2)

Выберем каким-либо способом грубо приближенное значение корня x0 и подставим его в правую часть уравнения (2). Тогда получим некоторое число

x1=j (x0) (3)

Подставляя теперь в правую часть равенства (3) вместо x0 число x1 получим новое число x2=j (x1). Повторяя этот процесс, будем иметь последовательность чисел

xn=j (xn-1) (n=1, 2,...).

Выберем каким-либо способом грубо приближенное значение корня x0 и подставим его в правую часть уравнения (2). Тогда получим некоторое число x

1=j (x0) (3)

Подставляя теперь в правую часть равенства (3) вместо x0 число x1 получим новое число x2=j (x1). Повторяя этот процесс, будем иметь последовательность чисел

xn=j (xn-1) (n=1, 2,...). (4)

Если эта последовательность - сходящаяся, т.е. существует предел, то, переходя к пределу в равенстве (4) и предполагая функцию j (x) непрерывной, найдем:

или x =j (x). (5)

Таким образом, предел x является корнем уравнения (2) и может быть вычислен по формуле (4) с любой степенью точности.

Доказано, что достаточными условиями сходимости итерационного процесса является выполнение условия | j (x)<1 для xО [a, ,b].При этом процесс сходится к единственному корню x.

На рис. 1 приведен пример сходящегося итерационного процесса xn+1=j (xn) при 0<j '(x)<1 и на рис.2 - расходящегося при j '(x)<1.

Решение: Методом итераций найти корень уравнения x2-ln(1+x)-3=0 на отрезке [2;3]

Размещено на http://www.allbest.ru/

Преобразуем уравнение:

Следовательно, . Найдем значение производной полученной функции в точки 2,5

Следовательно, условие сходимости выполнено.

Примем х1=2, тогда первая итерация имеет вид

Вторая итерация

Корень будет равен х=2,0267 с погрешностью е=0,001

Задание к работе №2

Численное интегрирование методом трапеций, где подынтегральная функция х23х, на [1;4], первообразная функция .

Метод трапеции.

Метод трапеций является одним из методов численного интегрирования. Он позволяет вычислять определенные интегралы с заранее заданной степенью точности.

Сначала опишем суть метода трапеций и выведем формулу трапеций. Далее запишем оценку абсолютной погрешности метода и подробно разберем решение характерных примеров. В заключении сравним метод трапеций с методом прямоугольников.

Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.

Площадь трапеции на каждом отрезке:

Погрешность аппроксимации на каждом отрезке:

где

Полная формула трапеций в случае деления всего промежутка интегрирования на отрезки одинаковой длины :

где

Погрешность формулы трапеций:

где

Решение: Численное интегрирование методом трапеций, где подынтегральная функция х23х, на [1;4], первообразная функция . Шаг интегрирования равен

Расчетная формула имеет вид:

Вычислим значения подинтегральной функции в каждой точке

интерация трапеция гаусс

Выполним проверку:

Найденное методом трапеций решение было верным.

Задание к работе №3

Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса с выбором главного элемента.

Метод Гаусса.

Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений включает в себя две составляющие: прямой и обратный ходы .

На первом этапе составляется расширенная матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных, и с помощью несложных математических преобразований она приводится к виду, когда диагональ, состоящая из единичек отсекает нули:

На втором этапе последовательно находятся все неизвестные, начиная с предпоследней.

Метод Гаусса идеально подходит для решения систем содержащих больше трех линейных уравнений.

Смысл метода Гаусса заключается в том, чтобы преобразовать исходную систему уравнений и получить равносильную разрешенную или равносильную несовместную систему.

Метод Гаусса состоит из следующих шагов:

Рассмотрим первое уравнение. Выберем первый ненулевой коэффициент и разделим все уравнение на него. Получим уравнение, в которое некоторая переменная xi входит с коэффициентом 1;

Вычтем это уравнение из всех остальных, умножая его на такие числа, чтобы коэффициенты при переменной xi в остальных уравнениях обнулились. Получим систему, разрешенную относительно переменной xi, и равносильную исходной;

Если возникают тривиальные уравнения (редко, но бывает; например, 0 = 0), вычеркиваем их из системы. В результате уравнений становится на одно меньше;

Повторяем предыдущие шаги не более n раз, где n -- число уравнений в системе. Каждый раз выбираем для «обработки» новую переменную. Если возникают противоречивые уравнения (например, 0 = 8), система несовместна.

В результате через несколько шагов получим либо разрешенную систему (возможно, со свободными переменными), либо несовместную. Разрешенные системы распадаются на два случая:

Число переменных равно числу уравнений. Значит, система определена;

Число переменных больше числа уравнений. Собираем все свободные переменные справа -- получаем формулы для разрешенных переменных. Эти формулы так и записываются в ответ.

Решение:

Решит систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса с выбором главного элемента.

В первом столбце максимальный элемент находится в первой строке.

Исключим х1 из второго и третьего уравнений с помощью первого. Для исключения из второго уравнения уравнения умножим первое на 2,34/4,24 и сложим со вторым. Для исключения из третьего уравнения умножим первое на 3,05/4,24 и сложим с третьим:

Рассмотрим второе и третье уравнения. Максимальный по модулю элемент при х2 в третьем. Поэтому поместим его на место второго:

Исключим х2 из третьего уравнения. Для этого умножим второе на -0,24/(-3,01) и сложим с третьим:

Выполним проверку:

Решение найдено верно.

Размещено на Allbest.ru