Застосування подвійного і потрійного інтегралів

Размещено на http://www.allbest.ru/

Зміст

Вступ

Розділ 1.

1.1 Подвійний інтеграл

1.1.1 Поняття подвійного інтегралу

1.1.2 Обчислення подвійного інтегралу

1.1.3 Заміна змінних у подвійному інтегралі

Розділ 2.

2.1 Потрійний інтеграл

2.1.1 Обчислення потрійного інтегралу

2.1.2 Заміна змінних у потрійному інтегралі

Розділ 3.

3.1 Застосування подвійного і потрійного інтегралів

3.1.1 Застосування подвійного інтегралу до задач механіки

3.1.2 Деякі застосування потрійних інтегралів

Висновок

Список використаної літератури

Вступ

Кратні інтеграли - розділ математичного аналізу. До поняття кратних інтегралів привели задачі про знаходження об'єму циліндричного тіла, про обчислення маси пластини і т.д. Так кратні інтеграли застосовуються і при вивченні теорії ймовірностей, диференціальних рівнянь та інших наук. Методи обчислення кратних інтегралів дещо схожі на методи обчислення звичайних визначених інтегралів: присутня заміна змінної, перехід до полярних координат.

В даній роботі розглядається поняття подвійного інтеграла, та за його аналогією поняття потрійного інтеграла.

Розділ 1.

1.1 Подвійний інтеграл

1.1.1 Поняття подвійного інтегралу

Нехай функція z= f (х, у) визначена в замкненій області D2. Вважатимемо, що межа області D складається із скінченого числа неперервних кривих, кожна з яких визначається функцією виду y = f(x) або y= (x)

Рис. 1.1

Розіб'ємо область D на чистини Di (рис. 1.1), які не мають спільних внутрішніх точок і площі яких дорівнюють , i=1,2 …,n. У кожній області Di візьмемо довільну точку Pi (i , i ) їй на поверхні відповідає точка і утворимо суму

= ; i )Si (1.1)

яку назвемо інтегральною сумою для функції z = f(х, у) по області D. Нехай - найбільший з діаметрів областей Di .

Якщо інтегральна сума (1.1) при має скінченну границю, яка не залежить ні від способу розбиття області D на області Di , ні від вибору точок Pi в них, то ця границя називається подвійним інтегралом і позначається одним з таких символів:

або .

. (1.2)

У цьому випадку функція z=f(x,y) називається інтегрованою; D -областю інтегрування; x, y - змінними інтегрування; dS (або dxdy) - елементом площі.

Достатня умова існування подвійного інтегралу.

Теорема. Якщо функція f(х, у) неперервна в замкненій обмеженій області D) , то вона інтегровна в цій області. Порівнюючи визначення подвійного інтегралу (1.2) і визначення визначеного інтегралу

бачимо що конструктивно ці означення цілком аналогічні: в обох випадках розглядається деяка функція/, але в першому випадку це функція однієї змінної, визначена на одновимірній області - відрізку, а а в другому - це функція двох змінних, визначена у двовимірній області

В обох випадках область визначення розбивають на частини, в кожній з яких беруть довільну точку і в ній знаходять значення функції. Після цього знайдене значення функції множимо на міру відповідної частини області визначення. У випадку однієї змінної такою мірою була довжина відрізка , а у випадку двох змінних площа -області

Наступні кроки знову однакові: утворюють інтегральні суми і знаходять їхні границі, коли міра частин області визначення прямує до нуля.

Властивості подвійного інтегралу:

- сталий множник можна виносити за знак подвійного інтегралу

де С-const;

- подвійний інтеграл від суми двох функцій дорівнює сумі двох подвійних інтегралів від цих функцій

;

- якщо функції f(x,y) i g(x,y) визначенні на одній і тій самі області D і

, то

- якщо область інтегрування функції f(x,y) розбита на області і або на довільне скінченне число областей, які не мають спільних внутрішніх точок, то



1.1.2 Обчислення подвійного інтегралу

Обчислення подвійного інтегралу. Обчислення подвійного інтегралу за формулою (1.2) як границі інтегральної суми, так само як і у випадку визначеного інтегралу, пов'язане із значними труднощами. Щоб уникнути їх, обчислення подвійного інтегралу зводять до обчислення так званого повторного інтегралу - двох звичайних визначених інтегралів.

Покажемо, як це робиться. Припустимо, що при (х; у) Dфункція f(х,y0. Тоді подвійний інтеграл виражає об'єм циліндричного тіла (рис. 1.2) з основою О, обмеженого зверху поверхнею z = f(х,у). Обчислимо цей об'єм за допомогою методу паралельних перерізів:

V = (1.3)

де S(х) - площа перерізу тіла площиною, перпендикулярною до осі Ох. Перед тим, як обчислити площу зробимо певні припущення відносно області D.

Рис. 1.2 Рис. 1.3

Припустимо спочатку, що область інтегрування D обмежена двома неперервними кривими у =; та у = і двома прямими а та b, причому для всіх (рис. 1.3).

Проведемо через точку (х; 0), де (а;b), пряму, паралельну вісі Оу. Ця пряма перетинає криві (х) та (х) в точках і , які називатимемо відповідно точкою входу в область D і точкою виходу з області D. Ординати цих точок позначимо відповідно увх та увих, тоді

Визначена таким чином область називається правильною в напрямі вісі Оу. Інакше кажучи, область D називається правильною в напрямі вісі Оу, якщо довільна пряма, яка проходить через внутрішню точку області D паралельно вісі Оу, перетинає межу області не більше, ніж у двох точках.

Знайдемо тепер площу S (х). Для цього проведемо через точку (х; 0; 0) площину, перпендикулярну вісі Ох (рис. 1.2). У перерізі цієї площини і циліндричного тіла утворюється трапеція С1М1М2С2. Апліката z = f(x,y) точки лінії М1М2 при фіксованому х є функцією лише у, причому у змінюється в межах від увх = (х) до увих = (х).

Площа S (х) трапеції С,М,М2С2 дорівнює визначеному інтегралу:

S(x)= .

Підставивши знайдене значення S (х) у формулу (1.3) враховуючи формулу (1.2), дістанемо:



або в зручнішій формі:

(1.4)

Це і є шукана формула для обчислення подвійного інтеграла. Вираз, який стоїть праворуч у формулі (1.4) є повторний інтеграл. У повторному інтегралі інтегрування виконуємо спочатку по змінній у (при цьому змінна х вважається сталою), а потім по змінній х. Інтеграл по змінній у називають внутрішнім, а по змінній х - зовнішнім. У результаті обчислення внутрішнього інтегралу (в межах від (х) до (х)) одержуємо певну функцію від однієї змінної х. Інтегруючи цю функцію в межах від а до b, тобто обчислюючи зовнішній інтеграл, дістаємо деяке число - значення подвійного інтегралу.

Зауваження 1. Наведені геометричні міркування при одержанні формули (1.4) зроблені у випадку, коли f(x,y)> 0, (х,у) є D. Проте формула (1.4) залишається справедливою і в загальному випадку. Строге доведення цієї формули ми опускаємо.

Зауваження 2. Якщо область D обмежена двома неперервними кривими і двома прямими у = с, у = d (с < d), причому для всіх ,тобто якщо область D правильна в напрямі осі Ох (рис.4.4), то справедлива формула

 (1.5)

Рис. 1.4

Тут внутрішнім є інтеграл по змінній х. Обчислюючи його в межах від (при цьому у вважається сталою), дістанемо деяку функцію від однієї змінної у. Інтегруючи потім цю функцію в межах від с до d, дістанемо значення подвійного інтегралу.

Зауваження 3. Якщо область D правильна в обох напрямах, то подвійний інтеграл можна обчислювати як за формулою (1.4), так і за формулою (1.5). Результати матимемо однакові.

Зауваження 4. Якщо область не є правильною ні в напрямі осі Ох, ні в напрямі осі Оу (тобто існують вертикальні і горизонтальні прямі, які, проходячи через внутрішні точки області, перетинають її межу більше, ніж у двох точках), то таку область необхідно розбити на частини, кожна з яких є правильною областю у напрямі осі Ох чи вісі Оу.

Обчислюючи подвійні інтеграли по правильних областях і додаючи результати (властивість адитивності), знаходимо шуканий подвійний інтеграл по області D.



Рис. 1.5

Приклад. Область D обмежена еліпсами + у2 /4 = 1, х2 / 4 + у2 /16 = 1 і прямою х = 3/4 .

При інтегруванні в напрямі осі Оу область D складається з трьох частин ( рис. 1.5, а ).

При інтегруванні в напрямі осі Ох область D складається з семи частин ( рис. 1.5, б ).

Зауваження 5. Повторні інтеграли у формулах (1.4) і (1.5) називаються інтегралами з різним порядком інтегрування. Щоб змінити порядок інтегрування, потрібно від формули (1.4) перейти до формули (1.5), або навпаки.

У кожному конкретному випадку, залежно від вигляду області D та підінтегральної функції f(x, у), треба обирати той порядок інтегрування, який приводить до простіших обчислень.

Зауваження 6. Правильну в напрямі осі Оу або осі Ох область D позначаємо відповідно:

.

Приклад. Обчислити подвійний інтеграл y2dxdy, якщо D область D міститься в першій чверті і обмежена лініями х = 0 , у = х, y= 2-х .

Розв'язання.

Область інтегрування D зображено на рис. 1.6. Функція f(x, у) = ху неперервна в даній області. Обчислення даного подвійного інтегралу можна виконати за формулою (1.4), так і за формулою (1.5).

Область D правильна в напрямі осі Оу, тобто D: {xJ уJ 2- х2, OJ xJ 1}, тоді за формулою (1.4) маємо:

Рис. 1.6

Приклад. Змінити порядок інтегрування у повторному інтегралі: 1 = .

Розв'язання. Тут потрібно перейти від обчислення повторного інтегралу за формулою (1.5) до обчислення даного інтегралу за формулою (1.4). За даним інтегралом знайдемо область D.



Рис. 1.7

Область інтегрування D обмежена лініями: у = 0, у = 1, х = 0, х = еу або у=lnx (рис. 1.7). Якщо внутрішнє інтегрування провести по у, а зовнішнє - по х, то дану область D треба розглядати як правильну в напрямі осі Оу. Оскільки лінія, на якій містяться точки входу в область, дана двома різними рівняннями, то цю область треба розбити на дві частини D1, і D2.

Маємо: D, : {0J у J 1, 0 J xJ 1}\ D, : {lnxJ у J 1, 1J xJ e).

Даний інтеграл дорівнюватиме сумі двох інтегралів:

1.1.3 Заміна змінних у подвійному інтегралі

Нехай функція f(x,у) неперервна в деякій замкненій і обмеженій області D і існує інтеграл: I=. Припустимо, що за допомогою формул

х = x(u, v), у = у(и, v) (1.6)

ми переходимо в інтегралі I до нових змінних u та v. Вважатимемо, що з формул (1.6) однозначно можна визначити u та v:

и = и(х,у), v = v(x,y). (1.7)

Згідно з формулами (1.7), кожній точці М(х;у) D ставиться у відповідність деяка точка M*(u;v) на координатній площині з координатами и і v. Нехай множина всіх точок M*(u;v) утворює обмежену замкнену область D. Формули (1.6) називаються формулами перетворення координат, а формули (1.7) - формулами оберненого перетворення.

Теорема. Якщо перетворення (1.7) переводить замкнену обмежену область D в замкнену обмежену область D і є взаємно однозначним, і якщо функції (1.6) мають в області D неперервні частинні похідні першого порядку і відмінний від нуля визначник:

(1.8)

а функція f(x, у) неперервна в області D, то справедлива така формула заміни змінних:

(1.9)

Функціональний визначник (1.8) називається визначником Якобі або якобіаном.

Таким чином, виконуючи заміну змінних в інтегралі І за формулами (1.6), ми маємо елемент площі dxdy в координатах х, у замінити елементом площі |J(u,v)|dudv в координатах и, v і стару область інтегрування D замінити відповідною їй новою областю .

Подвійний інтеграл у полярних координатах.

Розглянемо заміну декартових координат х, у полярними за відомими формулами:

х =pcos, y = psin.

Обчислимо якобіан:

дх/др = д(pcos)/dp = cos ; дх/ д=д(pcos)/ д = -psin ;

дх/др = д(psin)/dp = sin ; дх/ д=д(psin)/ д = -pcos .

Знайдені частинні і похідні підставимо у визначник:

Отже, формула (4.9) набирає вигляду

(1.10)

Тут область D дана в декартовій системі координат Оху, а відповідна їй область D - у полярній системі координат.

Зауваження 1. У багатьох випадках формулу (1.10) доцільно застосовувати тоді, коли підінтегральна функція або рівняння границі області D містить суму х2 +у2 оскільки ця сума в полярних координатах має досить простий вигляд:

х2 + у2 = 2 cos2 2 sin2



Рис. 1.8

Зауваження 2. Якщо область D (рис. 4.8, а) обмежена променями, які утворюють з полярною віссю кути та (<) і кривими та ( ), то полярні координати області D змінюються в межах

(рис. 4.8, б).

Тому формулу (3.10) можна записати у вигляді

(1.11)

Зауваження 3. Якщо область D охоплює початок координат, тобто точка О (0; 0) є внутрішньою точкою області D, то (4.10) можна записати у вигляді:

(1.12)

де - полярне рівняння межі області D .

Приклад. Обчислити , якщо D - коло радіуса R = 2 з центром у початку координат.

Розв'язання. Оскільки межа області D в полярній системі координат задається рівнянням або , то за формулою (4.12) маємо:

Приклад. Обчислити , якщо область D обмежена колами: х2 +у2 = 2х , х2 + у2 = 4х (рис. 1.11).

Рис. 1.11

Розв'язання. Знайдемо рівняння межі області D в полярних координатах: 2 cos2 +sin2= 2cos , звідси -- 2cos- полярне рівняння малого кола; аналогічно знаходимо, що = 4cos є полярне рівняння великого кола. Кут змінюється у межах від до . Змінна змінюється у межі від 2 cos до 4 cos . Отже, за формулою (1.11) маємо:

Розділ 2.

2.1 Потрійний інтеграл

2.1.1 Обчислення потрійного інтегралу

Нехай область G розташована у тривимірній прямокутній системі координат. Вона обмежена знизу і зверху поверхнями z = (x,y) і z= z(x,y) , а з бічних сторін циліндричною поверхнею, і нехай проекція області G на площину Оху утворює область D (рис. 2.1), в якій визначені й неперервні функції і

Рис. 2.1

Припустимо, що область G правильна у всіх напрямках. Тобто довільна пряма перетинає її межу не більш ніж у двох точках. Наприклад, прямі паралельні осі Oz, тоді має місце формула:

 (2.1)

Якщо при цьому область D обмежена лініями: х = а , х = b, і , тоді, при переході від подвійного інтеграла до повторного, отримаємо формулу

(2.2)

Згідно з цією формулою, обчислення потрійного інтегралу зводиться до послідовного інтегрування по кожній із змінних x , у і z окремо, але спочатку за змінною z , потім за змінною у і зовнішній інтеграл за змінною х. Порядок інтегрування може бути і іншим. Це залежить від розташування області G у просторі Oxyz і її форми.

Наприклад, G є прямокутний паралелепіпед з гранями: х = а ,

х = b, у = с , у = d , z = h і z = Н , тоді у формулі (2.2) межі інтегрування будуть сталими:

(2.3)

У цьому випадку інтегрування можна проводити в будь-якому порядку. Якщо область G неправильна, тоді її треба розбити на декілька правильних підобластей. Обчислити інтеграли і результати додати. Розглянемо декілька прикладів. Приклад. Обчислити

,

де G- куб, обмежений площинами: x=0, y=0, z=0, x=1, y=1, z=1.

Розв'язання. За формулою (2.3) маємо:

Приклад. Обчислити

,

де G- піраміда, обмежена площинами:x+y+z=1, x=0, y=0, z=0.

Розв'язання. Тут: і і

Отже за формулою (1.14) маємо:

Приклад. Обчислити

,

де G обмежена площинами:

x=0, y=0, z=4 і параболоїдом

Розв'язання. Зобразимо дану область (рис. 2.2, а) і спроектуємо її на площину yOz. Межі інтегрування:

За формулою (2.2) маємо:

Рис. 2.2

2.1.2 Заміна змінних у потрійному інтегралі

Нехай обмежена, правильна, замкнена область G простору (х, y,z) взаємно однозначно відображається на область G* простору (u,v,w) за допомогою неперервних диференційованих функцій: х = x(u,v,w) ; у = у(u,v,w) і z = z(u,v,w) і якобіана відображення I(u,v,w) відмінного від нуля.

Тобто

(2.4)

Матимемо формулу заміни змінних у потрібному інтегралі:

(2.5)

(див.рис. 2.3)

(див.рис.2.4)



Рис. 2.3 Рис. 2.4

Обчислення потрійного інтегралу в циліндричних або сферичних координатах рекомендується проводити, якщо область G обмежена циліндричними або сферичними поверхнями. У цьому випадку повторний інтеграл у формулі (2.5) матиме сталі границі інтегрування, що значно спрощує їх обчислення.

Приклад. Обчислити

де G - обмежена площинами х =0,

у = 0, z = 4 і параболоїдом обертання z = х + у , використовуючи циліндричну систему координат.

Розв'язання. Обчислимо якобіан відображення прямокутної системи координат у циліндричну:

(2.6)



Оскільки область G проектується в область D на площину Оху (рис.2.2, б) у чверть кола х2+у2=4, то координата змінюється в межах від 0 до / 2 , координата - від 0 до 2. Область G обмежена знизу параболоїдом, а зверху - площиною, тому z = р2 і z2 =4 . Підставимо знайдене у (2.5) і з (2.6) отримаємо:

Приклад. Обчислити

,

де G - область,обмежена параболоїдом z = х + у , циліндром х + у =4 і координатною площиною z = 0 .

Розв'язання. Область G проектується на площину хОу в область D (рис. 2.5), яка являє собою коло, радіус якого одиниця



Рис. 2.5

Тому даний інтеграл доцільно обчислювати в циліндричній системі координат. За формулами (2.5) і (2.6) маємо:

Приклад. Обчислити

,

де G- область, обмежена частиною сфери х+ у +z = 4 , розташованою у першому октанту.

Розв'язання. У даному випадку перейдемо до сферичної системи координат. Якобіан відображення прямокутної системи координат у сферичну має вигляд:

(2.7)

Загальну рекомендацію щодо застосування тієї чи іншої системи координат дати складно. Це залежить як від області інтегрування, так і від вигляду підінтегральної функції.

подвійний інтеграл графік

Розділ 3.

3.1 Застосування подвійного і потрійного інтегралів

3.1.1 Застосування подвійного інтегралу до задач механіки

Статичні моменти. Центр маси пластини.Нехай матеріальна пластина в площині Оху має форму області D; густина пластини в точці М (х; у) дорівнює = (х,у), де = (х,у) - неперервна функція в області D. Розіб'ємо область D на частини D(i=1,2,...,п) , виберемо в кожній з них довільну точку Ri(x;h)i наближено вважатимемо, що маса , частини Di дорівнює , де - площа області D. Коли вважати, що кожна з цих мас зосереджена в точці R (х; h), то пластину можна розглядати як систему цих матеріальних точок. Якщо складемо їх, то отримаємо масу пластини:

.

Відомо, що статичний момент матеріальної точки відносно деякої вісі дорівнює добутку її маси на відстань до цієї осі. Отже, виконаємо наступне. Домножимо кожну з елементарних мас на відповідну координату, складемо їх і отримаємо статичні моменти пластин:

відносно осі Oy й осі Ox відповідно. Щоб знайти точні значення сформованих інтегральних сум, перейдемо в них до гриниці при



Інтегральні суми перейдуть у відровідні подвійні інтеграли:

(3.1)

(3.2)

Враховуючи формули (3.1) і (3.2), координати центра мас знаходимо за формулами: хс - Му / m ; ус = Мх / m .

Якщо пластина однорідна, то (х,у) = у .

Моменти інерції пластини. Відомо, що момент інерції матеріальної точки відносно деякої осі дорівнює добутку маси точки на квадрат її відстані від цієї осі, а момент інерції системи матеріальних точок відносно однієї і тієї самої осі дорівнює сумі моментів інерції всіх точок системи.Отже, моменти інерції пластини відносно осі Оу й осі Ох наближено визначатимуться за формулами

Перейшовши до границі в кожній із сум при дістанемо точні формули для обчислення моментів інерції розглядуванної пластини відносно координатних осей:

 (3.4)

Знайдемо момент інерції I пластини відносно початку координат. Враховуючи, що момент інерції матеріальної точки (x; у) з масою m відносно початку координат дорівнює m (х+ у2), аналогічно одержуємо, що

(3.4)

Приклад. Знайти масу пластини D , обмеженої лініями у = 0, х + у = 2, у = х , якщо густина пластини в кожній точці (х; у) дорівнює (х,у) = у2х (рис.3.1)

Приклад. Знайти центр маси однорідної пластини обмеженої кривою y=cosx, і віссю Ох (рис.3.2).



Рис. 3.1 Рис.3.2 Рис. 3.3

Розв'язання. Внаслідок симетрії пластини відносно осі Оу маємо хс =0. Для знаходження ус скористаємось другою з формул (3.2). В даному разі

3.1.2 Деякі застосування потрійних інтегралів

Задачі механіки. Нехай речовину неперервно розподілено в тривимірній області G з густиною (x,y,z) = (N). Розділемо G на елементарні частини. Маса відповідної елементарної частини дорівнює dm = dV , де dV = dxdydz - елемент об'єму в декартовій системі координат. Елементарні статичні моменти відносно координатних площин визначаються рівностями dM = zdm ; dMyz = xdm ; dM = ydm. Після граничного переходу маса і статичні моменти тіла, якому відповідає область G, визначаються відповідними формулами:

(3.5)

Координати центра маси (xc,yc,zc) тіла задовольняють співвідношення

(3.6)

згідно з визначенням цього поняття.

Елементарні моменти інерції відносно координатних осей дорівнюють:

dlx = (у2 + z2 )dm; dlv = (х2 + z2 )dm ; dlz =(x2 + у2 )dm ,

де у+z,x+z,x+y - квадрати віддалей точки N(x, y,z) від відповідної вісі Ох, Оу , Oz . Згідно з визначенням, моментом інерції системи точок відносно осі називають суму добутків мас цих точок на квадрати їх віддалі до осі. Отже, моменти інерції всього тіла дорівнюють:

(3.7)

Момент інерції тіла відносно початку координат:

(3.8)

Приклад. Знайти центр маси однорідного тіла, обмеженого параболоїдом 2z = х2 + у2 і кулею х2 + у2 + z = 3 .

Розв'язання. Маємо тіло обертання навколо осі Oz (рис. 3.4). Тіло однорідне, тому візьмемо (x,y,z) = 1. Оскільки вісь Oz є віссю симетрії тіла, то хс = ус. = 0. Отже, шуканою є величина zc



Рис. 3.4

Але спочатку знайдемо проекцію лінію перетину даних поверхонь з системи:

формулою (3.5) маємо:

У повторному інтегралі перейшли до полярної системи координат:

За формулою (3.6) обчислимо аналогічно статичний момент:

За формулою (3.6) обчислюємо:



Висновок

У даній роботі ми спробували найбільш широко розкрити застосування кратного інтегралу. Завдяки кратним інтегралам ми можемо обчислювати площу плоскої фігури, об'єм тіла, площу поверхні, обчислювати масу пластини, центр маси пластини, статичні моменти, моменти інерції, та інше. Багато відомих науковців займалися цим питанням і доводили важливі теореми.

Для того, щоб широко розкрити застосування кратного інтегралу ми побудували роботу таким чином: спочатку наведені всі необхідні теоретичні відомості, далі розглянуто алгоритми розв'язання кожного типу задач, після чого наводиться приклади, які розв'язані з повним поясненням.

Приклади розташовані у порядку зростання складності, що дає можливість поступово засвоювати викладення матеріалу.

Список використаної літератури

1. Тевяшев А. Д., Литвин О. Г., Кривошеєва Г. М. та ін.. Вища математика у прикладах і задачах. Частина 2. - Харків: Фактор-Друк, 2002.

2. Ємець О. О., Недобачій С. І.. Методичні вказівки до виконання курсової роботи з дисципліни «Математичний аналіз» (2-ий курс, 3-ій семестр) для студентів спеціальностей «Прикладна математика», «Інформатика». - Полтава: ПолтНТУ, 2003.

3. Шкіль М. І.. Математичний аналіз: Підручник: у 2 ч. - 3-тє вид., переробл. і допов. - К.: Вища шк.., 2005.

4. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3.

5. Сборник индивидуальных задач по высшей математики: Учеб. Пособие. В 3 ч. Ч.3/Рябушко А. П., Бархатов В. В., Державцев В. В., Юруть И. Е.. - М.:Выс. Шк., 1991.

6. Вища математика. Основні розділи. Книга 1. За ред. проф. Г.Л.Кулініча. - К.: Либідь, 1995. - 372 с.

7. Вища математика. Спеціальні розділи. Книга 2. За ред. проф. Г.Л.Кулініча. - К.: Либідь, 1996. - 336 с.

8. Печеніжський Ю.Є., Станішевський С.О., Тихонович О.Ю. Посібник для розв'язування задач з вищої математики. - Х.: ХНАМГ, 2003. - 125 с.

9. Станішевський С О. Вища математика. - Х.: ХНАМГ, 2005. - 270 с.

Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика. - К.: „Вид-во А.С.К.", 2003. - 648 с.

10. Короткий російсько-український математичний словник. Печеніжський Ю.Є., Колосов А.І., Станішевський С.О. - Х.: ХНАМГ, 2008. - 100 с.

11. Овчинников П.П., Яремчук Ф.П., Михайленко В.М. Вища математика. Частина 1. К.:”Техніка”, 1999.

12. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т.ІІ. изд. четвертое.М.: Наука, 1964.

13. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т.2.изд. тринадцатое. М.: Наука, 1985.

14. Кузнецов Л.А. „ Сборник заданий по высшей математике” (ТР), Москва, ”Высшая школа”, 1983.

15. Несвит В.Ф., Несвит М.И. Компьютерная обучающая программ „Виртуальный преподаватель математического анализа”, Харьков, 2003.

Размещено на Allbest.ru