Решение задач по теории вероятностей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание 1

вероятность математический ожидание дисперсия

На конференцию из трех групп студентов одной специальности выбирают по одному делегату. Известно, что в первой группе 25, во второй - 28 и в третьей - 20 человек. Определить число возможных делегаций, если известно, что каждый студент из любой группы с одинаковой вероятностью может войти в состав делегации.

Решение:

Согласно теореме о числе комбинаций: Число различных комбинаций элементов, составленных из различных групп, вида (а₁, а₂, ..., а_r), где а_i - элемент i-й группы, содержащей n_i элементов, равно

Согласно вышесказанному, получаем ответ задачи:

число возможных делегаций равно:

Ответ: число возможных делегаций равно:

Задание 2

Из букв разрезной азбуки составлено слово «ремонт». Карточки с отдельными буквами перемешивают, затем наугад вытаскивают 4 карточки и раскладывают их в порядке извлечения. Какова вероятность получения при этом слова «море»?

Решение:

Рассматриваем слов «ремонт». В нем нет повторяющихся букв, всего в нем 6 букв. В слове «море» - 4 буквы. Значит, общее число элементарных исходов равно числу размещений из 6 букв, по 4 буквы:

Слово «море» - т.е. количество благоприятных исходов - получится только в одном случае, так как каждую из букв можно выбрать только одним способом: «м» - можно выбрать одним способом; «о» - можно выбрать одним способом; «р» - можно выбрать одним способом; «е» - можно выбрать одним способом.

Следовательно, искомая вероятность равна:

Ответ: Вероятность получения из слова «ремонт» слова «море»

Задание 3

При одном цикле обзора трех радиолокационных станций, следящих за космическим кораблем, вероятности его обнаружения соответственно равны: 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что при одном цикле обзора корабль будет обнаружен:

а) тремя станциями;

б) не менее чем двумя станциями;

в) ни одной станцией

Решение:

Обозначим через А1, А2, А3 события, состоящие в том, что самолет обнаружен соответственно первой, второй и третей станцией.

По условию, , ,

Вероятность того, что самолет не обнаружен соответственно первой, второй и третей станцией, вычислим по правилу вычисления вероятностей противоположного события:

а) Событие А, состоящее в том, что при одном цикле обзора корабль будет обнаружен тремя станциями равна:



б) Событие С состоит в том, что при одном цикле обзора корабль будет обнаружен не менее чем двумя станциями, т.е. или двумя или тремя, равна.

Событие С можно представить в виде:

Указанные слагаемые представляют собой несовместные события, поэтому по теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем:

.

Так как события независимые, то, применяя теорему умножения вероятностей независимых событий, имеем:

в) Событие В, состоящее в том, что при одном цикле обзора корабль не будет обнаружен ни одной из станций:

Ответ:

а) вероятность того, что при одном цикле обзора корабль будет обнаружен тремя станциями равна

б) вероятность того, что при одном цикле обзора корабль будет обнаружен не менее чем двумя станциями равна

в) вероятность того, что при одном цикле обзора корабль не будет обнаружен ни одной из станций:

Задание 4

В состав блока входят 6 радиоламп первого типа и 10 второго. Гарантийный срок обычно выдерживают 80% радиоламп первого типа и 90% второго. Найти вероятность того, что:

а) наугад взятая радиолампа выдержит гарантийный срок;

б) радиолампа, выдержавшая гарантийный срок - первого типа.

Решение:

Введем обозначения:

событие А - «случайно выбранная радиолампа выдержит гарантийный срок»;

гипотеза Н₁ - «выбранная радиолампа в блоке 1-ого типа»

гипотеза Н₂ - «выбранная радиолампа в блоке 2-ого типа»

;

Условная вероятность того, что радиолампа выдержавшая гарантийный срок из блока 1-ого типа: Р(А/Н₁)=0,8; условная вероятность того, что радиолампа выдержавшая гарантийный срок из блока 2-ого типа: Р(А/Н₂)=0,9.

В соответствии с формулой полной вероятности, получаем:

Радиолампа выдержала гарантийный срок, найдем вероятность того, что она первого типа. Следовательно, произошла гипотеза Н₁, при условии что наступило событие А. Вероятность этого события найдем по формуле Байеса, которая служит для переоценки вероятностей гипотез после того, как стало известно, что основное событие произошло. Таким образом,

Ответ: - вероятность того, что наугад взятая радиолампа выдержит гарантийный срок; вероятность того, что радиолампа, выдержавшая гарантийный срок - первого типа равна .

Задание 5

Вероятность работы каждого из семи моторов в данный момент равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент включены:

а) хотя бы один мотор;

б) два мотора;

в) три мотора.

Решение:

а) Вероятность того, что в n опытах событие А появится хотя бы один раз, определяется формулой:

,

где q - вероятность появления события .

Пусть событие А - «в данный момент времени мотор работает»

По условию , и .

Значит, вероятность того, что в данный момент включен хотя бы один мотор равна:



б) Искомые вероятности находим с помощью формулы Бернулли:

Пусть событие В - «ровно два мотора в данный момент включены»

n=7; k=2; р=0,8; q=0,2

По формуле Бернулли

в) Пусть событие С - «ровно три мотора в данный момент включены»

n=7; k=3; р=0,8; q=0,2

По формуле Бернулли

Ответ: вероятность того, что в данный момент включены:

а) хотя бы один мотор

б) два мотора

в) три мотора

Задание 6

Среднее число самолетов, прибывающих в аэропорт за 1 минуту, равно 2. Найти вероятность того, что за 6 минут прибудет 5 самолетов, если поток прибытия самолетов простейший.

Решение:

По условию, , , . Воспользуемся формулой Пуассона

Искомая вероятность того, что за 6 минут прибудет 5 самолетов, равна:

Ответ: вероятность того, что за 6 минут прибудет 5 самолетов, равна:.

Задание 7

Вероятность перевыполнения плана для СУ-1 равна 0,9, для СУ-2 - 0,8, для СУ-3 - 0,7. СВ Х - число СУ, перевыполнивших план. Записать закон распределения СВ Х. Вычислить М(Х), D(X), у(X). Найти F(x) и построить ее график.

Решение:

Случайная величина Х может принимать значения: 0, 1, 2, 3.

По условию: вероятность перевыполнения плана для СУ-1 равна 0,9, для СУ-2 - 0,8, для СУ-3 - 0,7. Тогда вероятности противоположных событий равны соответственно: 0,1; 0,2; 0,3 - что план не перевыполнен для СУ-1, для СУ-2, для СУ-3 соответственно.

Вычислим вероятности того, что:

1) ни один из самолетов план не перевыполнил:

2) План перевыполнил один самолет либо СУ-1, либо СУ-2, либо СУ-3:

3) План перевыполнил двумя самолетами:

4) План перевыполнили все самолеты:

Следовательно закон распределения СВ Х можно записать в виде таблицы:

Х	0	1	2	3	Сумма
Р	0,006	0,092	0,398	0,504	1

В прямоугольной декартовой системе координат строим точки . И соединяем их последовательно отрезками прямых.

Столбцовая диаграмма, соответствующая данному ряду распределения имеет вид:



Найдем функцию распределения СВ и построим ее график.

При значениях аргумента, лежащих левее первого значения, то есть при .

При значениях х, заключенных в интервале , .

При значениях х, заключенных в интервале ,

При значениях х, заключенных в интервале ,

При значениях х, заключенных в интервале ,

Таким образом, получаем значения и график эмпирической функции распределения:

Математическое ожидание вычисляем по формуле:

Значит,

Дисперсию вычисляем по формуле:

Вычислим сначала

Значит,

Среднее квадратическое отклонение вычислим по формуле:

.

Значит

Ответ: , ,.

Задание 8

СВ Х задана функцией распределение F(х). Найти:

а) плотность распределения вероятностей;

б) математическое ожидание и дисперсию СВ Х;

в) вероятность попадания СВ Х на отрезок от 1 до 2

в) построить графики функций F(x) и f(x)

Решение:

1) Плотность распределения вероятности

2) Вычислим числовые характеристики случайной величины Х:

Математическое ожидание М(Х)

Дисперсия

Cреднее квадратическое отклонение (Х)=

3) Построим графики функций F() и p().

Вероятность того что СВ Х примет значение из интервала равна



Ответ: 1)

2) М(Х)=18, D(X)=6, =2,4495,

Задание 9

Поток заявок, поступающих на телефонную станцию, представляет собой простейший пуассоновский поток. Математическое ожидание числа вызовов за 1 час равно 30. Найти вероятность того, что за минуту поступит не менее двух вызовов.

Решение:

Пусть событие В состоит в том, что

По условию, , , . Воспользуемся формулой Пуассона

Найдем вероятность того, что за минуту поступит менее двух вызовов.

Искомая вероятность того, что за 1 минуту поступит меньше, чем два вызова, равна:

Следовательно, вероятность того, что за минуту поступит не менее двух вызовов, равна:

Ответ: вероятность того, что за минуту поступит не менее двух вызовов, равна:

Задание 10

Расход сырья на одно изделие случаен. Результаты наблюдений таковы:

	Старая технология	Новая технология
Расход сырья	304	307	308	303	304	306	308
Число изделий	1	4	4	2	6	4	1

Предположив, что расход сырья как при старой, так и при новой технологии имеет нормальное распределение, выяснить, влияет ли технология на средний расход сырья на одно изделие. Принять уровень значимости б=0,05.

Решение:

Для упрощения расчетов составим таблицу:

	середина интервала, xi	частота, mi	ximi	xi2mi
Старая технология
	304	1	304	92416
	307	4	1228	376996
	308	4	1232	379456
Сумма		9	2764	848868
Новая технология
	303	2	606	183618
	304	6	1824	554496
	306	4	1224	374544
	308	1	308	94864
Сумма		13	3962	1207522

Найдем выборочные средние:

Для старой технологии:

для новой технологии

выборочная дисперсия:

Для старой технологии:

Найдем исправленную дисперсию:

для новой технологии

Найдем исправленную дисперсию:

Исправленные дисперсии различны, поэтому проверим предварительно гипотезу о равенстве генеральных дисперсий, используя критерий Фишера- Снедекора.

Найдем отношение большей дисперсии к меньшей:

В качестве конкурирующей примем гипотезу Н₁: D(X)?D(Y). В этом случае критическая область двусторонняя. По таблице критических точек распределения Фишера- Снедекора находим, по уровню значимости б=0,05 и числам степеней свободы и находим критическую точку . Так как - нет оснований опровергнуть нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий. Предположение о равенстве генеральных дисперсий выполняется, поэтому сравним средние.

Вычислим наблюдаемое значение критерия Стьюдента:

Подставив числовые значения получаем:

По условию конкурирующая гипотеза имеет вид: М(Х₁)? М(Х₂), поэтому критическая область двусторонняя. По уровню значимости 0,05 и числу степеней свободы 20 находим по таблице критическую точку . Так как - то нулевую гипотезу о равенстве средних принимаем. Другими словами выборочные средние различаются не значимо, и технология на средний расход сырья на одно изделие не влияет.

Литература

1. Белько И.В., Кузьмич К.К. Высшая математика для экономистов: Экспресс-курс. - М.: Новое знание, 2002.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 1988.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1987.

4. Гусак А.А. Бричикова Е.А. Теория вероятностей. Справочное пособие к решению задач. / Изд. 2-е, - Мн.: «Тетрасистем», 2000.

Размещено на Allbest.ru