Метод конечных элементов
Сферы применения методов математического моделирования. Широкое применение метода конечных элементов, его основные положения и преимущества. Расчет на компьютере с помощью программы Ansoft Maxwell магнитных полей в спинволновых ферритовых системах.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 15.05.2013 |
| Размер файла | 615,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Содержание
- Введение
- Основные положения метода конечных элементов
- Пример дискретной задачи
- Решение задачи электромагнетизма
Введение
В науке и технике постоянно приходиться сталкиваться с проблемой расчетов систем, имеющих сложную геометрическую конфигурацию и анизотропную структуру. Проблема решается с помощью компьютерного моделирования, ставшего неотъемлемой частью подавляющего большинства научных исследований различных сфер деятельности. Существует множество методов мат моделирования, но нас интересует лишь один из них - метод конечных элементов (МКЭ), который в последнее десятилетие занял ведущее положение и получил широкое распространение. В данной курсовой работе мы ознакомимся с основными положениями МКЭ, разберем пример дискретной задачи и рассчитаем на компьютере с помощью программы Ansoft Maxwell магнитные поля в спинволновых ферритовых системах.
Основные положения метода конечных элементов
Предположим, что состояние системы описывается некоторой функцией. Пусть эта функция является единственным решением математической задачи, сформулированной на основе физических законов. Решением состоит в отыскании из бесконечного множества функций такой, которая удовлетворяет уравнениям задачи. Если задача достаточно сложная, то её точное решение невозможно. Вместо того чтобы искать требуемую функцию среди бесконечного множества разнообразных функций, задача упрощается. Рассматривается некоторое множество функций, определяемых конечным числом параметров. Как правило, среди таких функций нет точного решения задачи. Однако соответствующим подбором параметров можно попытаться приближенно удовлетворить уравнения задачи и тем самым построить её приближенное решение. Такой общий подход характерен для многих приближенных методов. Специфическим в методе конечных элементов является построение семейств функций, определяемых конечным числом параметров.
Допустим, требуется построить такое семейство функций u (x) при a?x?b. Интервал ab разбивается на конечное числа частей, соединяющихся между собой и с концами интервала в узловых точках (рис.1).
Рисунок 1
математическое моделирование конечный элемент
В пределах каждого элемента задается функция, например в виде линейного полинома. Она определяется своими значениями u (xi) в узлах на концах элемента. Его отыскиваемая функция является непрерывной, то её значения в каждом узле для соседних элементов совпадают. В результате имеем семейство кусочно-линейных непрерывных функций, которые изображаются в виде ломанных и определяются конечным числом параметров - своими узловыми значениями. На рис.1 показана одна из функций такого семейства. Здесь 5 элементов, 6 узлов и 6 узловых параметров u (xi) =ui. В случае нескольких переменных схема метода конечных элементов в принципе не меняется. Таким образом, метод конечных элементов заменяет задачу отыскания функции на задачу отыскания конечного числа её приближенных значений в отдельных точках - узлах. При этом если исходная задача относительно функции состоит из функционально уравнения, например дифференциального уравнения с соответствующими граничными условиями, то задача МКЭ относительно её значений в узлах представляет собой систему алгебраических уравнений.
С уменьшением максимального размера элементов увеличивается число узлов и неизвестных узловых параметров. Вместе с этим повышается возможность более точно удовлетворить уравнениям задач и тем самым приблизиться к искомому решению. Отметим несколько важных достоинств метода конечных элементов:
1. МКЭ позволяет построить удобную схему формирования системы алгебраических уравнений относительно узловых значений искомой функции. Приближенная аппроксимация решения при помощи простых полиномиальных функций и все необходимые операции выполняются на отдельном типовом элементе. Затем производится объединение элементов, что приводит к требуемой системе алгебраических уравнений. Такой алгоритм перехода от отдельного элемента к их полному набору особенно удобен для геометрически и физически сложных систем.
2. Каждое отдельное алгебраическое уравнение, полученное на основе метода конечных элементов, содержит незначительную часть узловых неизвестных от общего их числа. Другими словами, многие коэффициенты в уравнениях алгебраической системы равны нулю, что значительно облегчает её решение.
3. Задачи, решение которых описывается функциями, удовлетворяющими функциональным уравнениям, носит название континуальных. В отличие от них решение так называемых дискретных задач точно определяется конечным числом параметров, удовлетворяющих соответствующей системе алгебраических уравнений. Метод конечных элементов, так же как и другие численные методы, по существу приближенно заменяет континуальную задачу на дискретную. В МКЭ вся процедура такой замены имеет физически простой смысл. Это позволяет более полно представить себе весь процесс решения задачи, избежать многих возможных ошибок и правильно оценить получаемые результаты.
4. Помимо континуальных задач схема метода конечных элементов применяется для соединения элементов и формирования алгебраических уравнений при решении непосредственно дискретных задач. Это расширяет сферу применения метода.
Пример дискретной задачи
Решение задачи теории упругости.
Рассмотрим упругий стержень в виде прямого углового цилиндра, длина которого значительно больше его диаметра. Это позволяет отождествить его с осью. Пусть три таких стержня расположены на оси x и соединены между собой в точках 1 и 2 (рис.2, а)
Рисунок 2
Точки a и b закреплены, что условно изображено на рисунке. К осям стержней вдоль x приложим внешнюю нагрузку. Очевидно, точки на осях стержней перемещаются вдоль x. Силы и перемещения считаются положительными, если они направлены в положительном направлении x. Задача состоит в определении перемещений точек, принадлежащих осям стержней, и продольных внутренних сил в поперечных сечениях стержней.
Согласно методу конечных элементов, представим стержневую систему в виде элементов, соединенных в узлах. В качестве элементов примем отдельные стержни, а узлов - точки 1 и 3. На рис.2, а в скобках указаны номера элементов. Обратимся к типовому для данной системы элементу r. На элемент r с узлами i,j (рис 2, б) может действовать распределённая нагрузка интенсивностью q (r) (x) и перемещения его узлов ui (r), uj (r). Примем x=0 в узле i и обозначим длину элемента l (r).
Получим задачу для функции u (r) (x) перемещений точек оси r. Бесконечно малая часть элемента dx находится в равновесии под действием нагрузки q (r) (x) dx и продольных внутренних сил N (r) (x). Из условия равновесия dx имеем
(1)
Согласно закон Гука, для упругого стержня
(2)
Где с (r) >0 носит название продольной жесткости стержня и определяется из опыта. Пусть с (r) = const для элемента r. Подставляя (2) в (1) получим задачу относительно u (r) (x) в виде дифференциального уравнения и граничных условий
,
u (r) (0) = ui (r), u (r) (l (r)) = uj (r). (3)
В нашем примере для случая дискретной задачи положим и будем считать, что на стержневую систему действуют только сосредоточенные силы P1 и P2 соответственно в узлах 1 и 2. Тогда решение (3) примет вид
(4)
0?x?l (r), Х (r) =.
На основании (4) можно заключить, что состояние типового элемента r, то есть u (r) (x), N (r), точно определяется двумя параметрами - перемещениями его узлов , что делает задачу дискретной.
Рассмотрим внутренние силы , действующие в узлах I, j на элемент r. Поскольку имеет место линейная задача, то они линейно зависят от :
,(5)
Здесь есть внутренняя сила , действующая на элемент r в узле l и возникающая от единичного перемещения узла t. При этом перемещение другого узла равно нулю. НА рис 3, а показана сила для сжатого элемента .
Рисунок 3
Соотношение (5) можно представить в матричной форме. Введем столбцы f (r), u (r) и матрицу K (r)
(6)
Тогда (5) можно записать в виде
f (r) = K (r) u (r) (7)
Для упругой пружины коэффициент пропорциональности между силой и перемещением называется коэффициентом жесткости пружины. Аналогично K (r) носит название матрицы жесткости элемента r.
От типового элемента перейдем к отдельным элементам данной системы. Для элемента 2 с двумя узлами 1,2 справедливы все зависимости (4) - (7), где следует положить r=2, i=1, j=2. Поскольку точки a, b неподвижны, то состояние элемента 1 определяются перемещением узла 1, а элемента 3 - перемещением узла 2. На основании (4) будем иметь для элементов 1 и 3 соотношения
(8)
.
В (8) координата x для элемента 1 равна нуля в точке a, а для элементы 3 - в узле 2. Зависимость (5) для элементов 2 и 3 примут соответственно вид
(9)
Сравнивая (5) и (7) для элемента 2 с (9) для элементов 1 и 3, можно заключить, что вместо матрицы жесткости для двухузлового элемента 2 фигурируют коэффициенты жесткости для одноузловых элементов 1 и 3. Теперь всё известно о каждом отдельном элементе системы. Следующим шагом является соединение элементов в узлах на основе условий
, (10)
где - перемещения узлов 1 и 2. Отсюда следует, что состояние соединенных элементов или системы в целом определяется двумя узловыми перемещениями и рассматриваемая задача является дискретной.
Для всей системы можно записать соотношения типа (5) относительно суммарных для смежных элементов внутренних сил в узлах 1,2. Обозначим их . Очевидно, как и в случае типового элемента они должны зависеть от :
,
.
Введем столбцы f, u и матрицу жесткости системы K по формулам
(11)
Тогда матричное соотношение типа (7) для всей системы будет
f=Ku (12)
Здесь есть суммарная для смежных элементов в узле l внутренняя сила , возникающая от единичного перемещения узла t. При этом перемещение другого узла равно нулю. Эти суммарные силы определяются через узловые силы в смежных элементах
(13)
На рис.3, б показаны силы при этом u1=1, u2=0. При этом элемент 1 растянут, а элемент 2 сжат. В (13) , поскольку узел 2 не принадлежит элементу 1, а узел 1 не принадлежит элементу 3. Из (13) следует, что матрица жесткости системы строится на основе коэффициентов жесткости для отдельных элементов. Алгоритмически выполнить это можно по-разному. Например, можно для всех элементов строить матрицы жесткости одинаковой размерности равной размерности K, основываясь на столбце u перемещений всех узлов системы. Это возможно, поскольку , если по крайней мере идин из узлов l или t не принадлежит элементу r. В данном примере будем иметь
и, согласно (13), K=K (1) +K (2) + K (3). Из условия равновесия элемента r следует при , где прирасстяжении и при сжатии. В результате на основании (4) и (8) будем иметь
а матрица K примет вид
. (14)
Из условия равновесия узлов 1, 2 следует или для столбцов f=P, где P - Столбец из P1, P2. Подставляя сюда вместо f его выражение согласно (12), окончательно получим систему алгебраических уравнений относительно
Ku=P или (15)
После определения в результате решения (15) находятся u (r) (x), N (r) во всех элементах системы при помощи (4) и (8).
Таким образом, схема метода конечных элементов для дискретной задачи состоит из представления системы в виде совокупности отдельных элементов, использования точного решения для типового элемента и соединения элементов в систему.
Матрица жесткости всей системы определяется посредством матриц жесткости отдельных элементов и является матрицей системы алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых перемещений.
Наличие точного решения для типого элемента, зависящего от конечного числа параметров - узловых перемещений, делает задачу дискретной.
Решение задачи электромагнетизма
Различные задачи электромагнетизма могут рассматриваться как частные случаи неоднородного уравнения Гельмгольца
(16)
с различными граничными условиями, среди которых, вероятно, наиболее часто встречаются в приложениях однородное условие Неймана (обращение в нуль нормальной производной) и граничное условие Дирихле (заданные значения на границе). Как подробно показано в главе 2 [2], решения уравнения (16) определяют экстремальное значение функционала
(17)
(где 5ъ - объём) при условии, что пробные функции U непрерывны внутри области определения решения и удовлетворяют граничным условиям Дирихле для рассматриваемой задачи.
Для того чтобы построить приближенное решение задачи на основе треугольных элементов высокого порядка, область определения разбивается на треугольники и на каждом треугольнике потенциальная функция представляется в виде линейной комбинации аппроксимирующих функций [3] (глава 3, пункт 3.3, страница 84)
(18)
Каждая из этих аппроксимирующих функций обращается в нуль во всех узловых точках, за исключением связанного с ней узла, где она имеет единичное значение. Следовательно, коэффициенты в (18) равны значениям потенциалов в узлах интерполяции. Кроме того, потенциалы на границах элементов будут непрерывными. Покажем это следующим образом. Если U (x,y) есть полиномиальная функция степени не больше n совокупно по x и y, то вдоль любой прямой линии в плоскости (x,y) функция U=U (s) должна быть соответственно полиномом степени не больше n от расстояния s, измеренного вдоль прямой линии. Треугольный конечный элемент порядка n имеет n+1 узел вдоль каждой стороны треугольника. Так как U должно быть полиномиальной функцией степени n на каждой стороне треугольника, эти n+1 узловых значений фиксируют значение U на каждой стороне. Очевидно, что узлы на сторонах треугольников являются общими для каждой пары смежных треугольников. Поэтому изменение потенциала по любую сторону от границы между элементами определяется теми же самыми n+1 параметрами, и U оказывается непрерывным на границах элементов.
Теперь подробно остановимся на отдельном треугольном элементе, откладывая пока вопрос о связи между элементами для формирования всей области определения решения. Подставляя аппроксимации (18) для U в выражение (17) преобразуем функционал F (u)
(19)
Хотя это, вообще говоря, и не обязательно, вынуждающая функция g (x,y) зачастую аппроксимируется на каждом треугольнике теми же полиномами, что и потенциал U
(20)
Существуют различные пути определения коэффициентов при этой аппроксимации. Например, может быть использована интерполяционная аппроксимация, когда коэффициенты являются просто значениями g (x,y) в интерполяционных узлах. Использую аппроксимацию вида (2) и какой либо метод для нахождения коэффициентов, можно выразить функционал F (u) в следующей матричной форме
(21)
Здесь U - вектор коэффициентов в разложении (18), а g - вектор коэффициентов в сумме (20); квадратные матрицы S и T определяются выражениями
(22) (23)
Матрицы S и T, связанные с частной системой аппроксимирующих функций, иногда называют соответственно матрицей Дирихле и метрической матрицей. Аналогичные матрицы применяемые в задачах упругости, называются соответственно матрицей жесткости и матрицей нагрузки.
Фундаментальным свойством функционала F (U) является его стационарность. Поскольку F (U) в виде (21) есть обыкновенная функция конечного числа переменных (компонент вектора U), требование стационарности приводит к уравнениям
(24)
для всех m, которым соответствуют нефиксированные компоненты U. Подставляя выражение (21) в уравнение (24) и выполняя указанные дифференцирования, получаем матричное уравнение
(25)
Решение этого уравнения для U определяет приближенное значение U в рассматриваемой области и, таким образом, является решение поставленной задачи.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Основная идея метода конечных элементов. Пространство конечных элементов. Простейший пример пространства. Однородные граничные условия и функции. Построение базисов в пространствах. Свойства базисных функций. Коэффициенты системы Ритца–Галеркина.
лекция [227,9 K], добавлен 30.10.2013Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине. Вычислительные методы для инженеров. Применение метода конечных элементов. Триангуляция. Метод конечных элементов.
курсовая работа [268,5 K], добавлен 31.10.2002Основные положения теории математического моделирования. Структура математической модели. Линейные и нелинейные деформационные процессы в твердых телах. Методика исследования математической модели сваи сложной конфигурации методом конечных элементов.
курсовая работа [997,2 K], добавлен 21.01.2014Решение линейной краевой задачи методом конечных разностей. Сопоставление различных вариантов развития процесса с применением анализа графиков, построенных на базе полученных данных. Графическое обобщение нескольких вариантов развития процесса.
лабораторная работа [23,3 K], добавлен 15.11.2010Описание абстрактных, структурных и частичных конечных автоматов. Работа синхронных конечных автоматов, содержащих различные типы триггеров, определение сигналов их возбуждения. Пример канонического метода структурного синтеза. Схема дверного замка.
учебное пособие [19,6 M], добавлен 07.06.2009Свойства примитивных конечных разрешимых произведений N-разложимых групп. Условия факторизуемости проекторов конечных разрешимых произведений N-разложимых групп для случая. Порядок определения приложений полученных результатов для классических формаций.
дипломная работа [239,8 K], добавлен 14.12.2009Соотношения между операторами дифференцирования и конечных разностей. Разностная аппроксимация дифференциальных уравнений. Интерполяционные рекуррентные формулы, метод Эйлера. Интерполяция конечными разностями "назад". Рекуррентные формулы Адамса.
реферат [156,8 K], добавлен 08.08.2009Вычисление производной по ее определению, с помощью конечных разностей и на основе первой интерполяционной формулы Ньютона. Интерполяционные многочлены Лагранжа и их применение в численном дифференцировании. Метод Рунге-Кутта (четвертого порядка).
реферат [71,6 K], добавлен 06.03.2011Решение линейной краевой задачи методом конечных разностей (методом сеток). Замена области непрерывного изменения аргументов дискретным множеством узлов (сеток). Сведение линейной краевой задачи к системе линейных алгебраических уравнений (сеточных).
лекция [463,7 K], добавлен 28.06.2009Определение и основные свойства конечных групп с условием плотности для F-субнормальных подгрупп. Общие свойства, использующиеся для изучения строения конечных групп с плотной системой F-субнормальных подгрупп. Особенности развития теории формаций.
курсовая работа [155,1 K], добавлен 02.03.2010
