Место высшей математики в экономике

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Вычислить определитель матрицы разбитием по второй строке,

уравнение касательный вычисление фигура

где , Е - единичная матрица.

Решение:

Найдем произведение матриц:

.

Вычислим .

.



2. Найти предел:

Решение:

, имеем неопределенность, которая раскрывается с помощью второго замечательного предела:

3. Найти производную функции:

Решение:

Применим формулы:

,

,

,

,



5. Составить уравнения касательных к графику функции , перпендикулярных прямой, пересекающейся с осью Ox в точке x=6 и с осью Oy в точке у=3. Сделать чертеж.

Решение:

Уравнение касательной к графику функции имеет вид , где - координаты точки касания, - угловой коэффициент касательной.

Так как по условию задачи искомая касательная и заданная прямая перпендикулярны, их угловые коэффициенты связаны соотношением

.

Найдем уравнение прямой , для этого решим систему:

уравнение прямой примет вид:

следовательно, угловой коэффициент прямой . Тогда .

Найдем

С одной стороны , с другой стороны . Из этого условия сможем составить уравнение, из которого найдем координаты точки касания:

.

Значит в двух точках при и имеем касание с графиком. Рассмотрим каждую точку отдельно:

1) .

Найдем соответствующие значения: .Запишем уравнение касательной и приведем его к виду .

2) .

Найдем соответствующие значения: .Составим уравнение касательной и приведем его к виду .

Подготовим данные для построения функций:

Исследуем :

Область определения .

Условие выполняется, следовательно, функция нечетная.

Нули функции (точки пересечения с осями координат):

oy:,

ox: или , т.е.

Т.к. при

то получаем, что функция возрастает на промежутке , и убывает на промежутке .

Точка с координатами , является точкой максимума; а точка минимума.

Рис.

6. Исследовать функцию и схематично построить график.

Решение:

1. Область определения .

2. Условие и не выполняется, следовательно, функция общего вида.

3.Нули функции (точки пересечения с осями координат):

oy:,

ox: или , т.е.

4. Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции. Т.к. точек разрыва нет вертикальных асимптот тоже нет.

5. Рассмотрим поведение функции при .

Вычислим , отсюда следует, что горизонтальных асимптот нет, нужно искать наклонные асимптоты :

.

Наклонной асимптоты также нет.

6. Экстремумы и интервалы монотонности.

Найдем

при



Точка являются точкой минимума .

На интервале функция убывает, а на интервале возрастает.

Рис.

Контрольная работа №2

1. Найти неопределенный интеграл:

Решение:

2. Вычислить определенный интеграл:

Решение:

3. Вычислить определенный интеграл:

Решение:

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

,,,.

Решение:

Изобразим графики:

Графиком функции является гипербола:

Условие выполняется, следовательно, функция нечетная.

Область определения , т.е. .

С осями координат нет точек пересечения.

и , т.к. пределы бесконечны, то прямая есть вертикальная асимптота.

Вычислим , отсюда следует, что y=0 горизонтальная асимптота.

Т.е. функция убывает на всем промежутке.

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Координаты вершины параболы:

,



Рис.

Следовательно, согласно формуле , имеем:

кв.ед.

5. Экспериментальные данные о значениях переменных x и y приведены в таблице:

В результате их выравнивания получена функция:

. Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью (найти параметры a и b). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

Решение:

Для определения коэффициентов линейной зависимости составим систему нормальных уравнений:

.

Вычисление необходимых сумм проведем в таблице:

Таблица

Запишем систему => =>

=> => =>

=>

Таким образом, требуемая линейная зависимость построена:

Таблица

Таблица

функция лучше описывает эмпирические данные, чем функция т.к. сумма квадратов невязок для функции меньше, чем сумма квадратов невязок для функции .

Область определения .

Точки пересечения с осями:

x=0: y=-2,1; y=0: x=0,0353.

Т.е. функция возрастает на всем промежутке.

Рис.

Размещено на Allbest.ru