Лінійні оператори та матриці

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вступ

Відомості про перші етапи розвитку алгебри мізерні та суперечливі. Точка зору на те, що таке алгебра неодноразово змінювалась. В різні часи під алгеброю розуміли різні вчення: про рівняння, про буквені обчислення, про алгебраїчні структури.

Найдавнішими джерелами, які свідчать про зародження алгебри в давні часи, є Вавилонські глиняні дощечки, на них міститься багато задач, які розв'язуються за допомогою повних квадратних рівнянь і систем лінійних і квадратних рівнянь з двома змінними.

У XVIII ст. в алгебрі основні зусилля математиків були спрямовані на розв'язання трьох проблем:

1. доведення основної теореми алгебри;

2. розв'язання в радикалах алгебраїчних рівнянь степеня вищого за 4-й;

3. розв'язання систем алгебраїчних рівнянь з кількома невідомими.

Третя проблема алгебри, розвивалась паралельно з двома першими. Дослідження систем лінійних рівнянь спричинило виникнення таких понять, як визначник і матриця, з часом відбулося відокремлення цих понять. Остаточно це відокремлення відбулося в роботах А. Келі та Д.Сільвестра, які розвивали ідеї матричної теорії з 1843 року. Самий термін матриця ввів Сільвестр у 1850 році. Основи матричного числення викладені в роботі А. Келі «Мемуар з теорії матриць» (1858). Розробка теорій матриць і визначників сприяла розвитку теорії квадратичних форм і теорії інваріантів рівнянь. Всі ці теорії пізніше лягли в основу формування нової галузі алгебри - лінійної алгебри.

Вивченню лінійних просторів і лінійних перетворень присвячено розділ - лінійна алгебра, частиною якої є сформульована ще в XIX ст. теорія лінійних рівнянь і теорія матриць.

Сучасна точка зору на алгебру, як на загальну теорію алгебраїчних операцій сформувалось на початку XX ст. під впливом робіт Д.Гільберта, Е. Штейнца, Е. Артіні, Е. Нетер і остаточно ствердилась з виходом у 1930 році монографії Б. Ван дер Вардена «Сучасна алгебра».

Лінійна алгебра - важлива частина алгебри. Вона вивчає вектори, векторні простори, системи лінійних рівнянь, лінійні відображення, а також лінійні перетворення, які ще називають лінійними операторами.

Лінійна алгебра широко використовується в абстрактній алгебрі та функціональному аналізі і застосовується у природничих науках.

Дуже важливими в лінійній алгебрі є лінійні оператори, про які і йдеться мова у даній курсовій роботі. Вони відрізняються від звичайних операторів тим що: по-перше, областю визначення лінійного оператора завжди є деякий лінійний простір або підпростір; по-друге, властивості лінійного оператора тісно пов'язані з операціями над векторами лінійного простору.

Метою даної курсової роботи є те, щоб показати безпосередньо тісний зв'язок між алгеброю лінійних операторів і алгеброю матриць.



1. Поняття лінійного оператора і його властивості

1.1 Означення лінійного оператора і його найпростіші властивості

В теорії лінійних просторів та її застосуванні важливу роль відіграють лінійні оператори, які ще називають лінійними перетвореннями.

Нехай L - деякий векторний простір над полем Р.

Означення. Вважають, що у векторному просторі L задано оператор, якщо вказано правило або закон, за яким кожному вектору простору L ставиться у відповідність деякий вектор цього ж простору.

При цьому вектор називають образом вектора , а вектор - прообразом вектора .

Оператор у векторному просторі L - це функція, множиною відправлення і множиною прибуття якої є простір .

Означення. Оператор у векторному просторі називається лінійним, якщо він задовольняє такі умови:

1. адитивність;

2. однорідність.

Лінійний оператор на просторі L називають також лінійним перетворенням простору L.

Найпростіші властивості лінійних операторів

1. Будь-який лінійний оператор А на просторі залишає нерухомим нульовий вектор цього ж простору, тобто:

•А=.

Доведемо. Справді, =0•х, де х - будь-який вектор простору. Тому за другою умовою означення

•А=(0•х) А=0•хА=.

Властивість доведено.

2. Всякий лінійний оператор на векторному просторі протилежний вектор - х будь-якому вектору ставить у відповідність вектор, протилежний образу вектора тобто:

Доведемо.

3. Кожен лінійний оператор на просторі будь-якій лінійній комбінації довільно вибраних векторів простору ставить у відповідність лінійну комбінацію (з тими самими коефіцієнтами) образів цих векторів:

Доведемо властивість.

Справді при m=1 співвідношення правильне. Припустимо, що співвідношення правильне для m-1 (m-11) доданків, тобто

Тоді



Властивість доведено.

Означення. Лінійне перетворення векторного простору на себе називається його лінійним оператором.

Означення. Ядром лінійного оператора А на просторі L_n називається сукупність усіх векторів цього простору, що відображається оператором А в нульовий вектор. Ядро позначають символом Ker A.

Розмірність ядра лінійного оператора називається дефектом оператора А. Сукупність образів всіх векторів простору L_n називається областю значень лінійного оператора.

Розмірність образа називається рангом оператора А.

Теорема: ранг будь-якого лінійного оператора на просторі L_n дорівнює рангу матриці цього оператора в довільно вибраному базисі.

Доведення. Нехай А - довільний лінійний оператор на просторі L_n. Виберемо в просторі L_n деякий базис . Припустимо, що в цьому базисі оператор А задається матрицею

Тоді

Область значень АL_n оператора А складається з образів усіх векторів простору L_n, тобто з усіх векторів вигляду



, де - будь-які числа з поля Р.

Отже, підпростір АL_n породжується системою векторів

Тому розмірність простору АL_n, а отже, і ранг оператора А дорівнюють максимальному числу лінійно незалежних векторів у системі (1). Максимальне ж число лінійно незалежних векторів системи (1) дорівнює максимальному числу лінійно незалежних стовпців матриці А, тобто рангу матриці А. отже ранг оператора А, дорівнює рангу матриці А.

Теорему доведено.

Наслідок: усі подібні між собою матриці, мають однакові ранги

1.2 Операції над лінійними операторами

Сума лінійних операторів

Означення. Оператор S - який кожному вектору х простору L_n ставить у відповідність вектор хА+хВ - називається сумою лінійних операторів А і В.

S=A+B, або через образи хS=xA+xB.

Теорема: Сума S=A+B лінійних операторів А і В - є лінійний оператор.

Доведення. Переконаємось, що виконуються умови адитивності і однорідності

- умови адитивності виконуються.

Нехай

(лx) S=лxS

(лx) S=(лx) A+(лx) B=лxA+лxB=л (xA+xB)=лxS.

Умови однорідності виконруються, а значить сума лінійних операторів є також лінийний оператор.

Теорему доведено.

Основні властивості суми операторів:

1. Дія додавання лінійних операторів комутативна А+В=В+А;

2. Дія додавання лінійних операторів асоціативна (А+В)+С=А+(В+С);

3. При додаванні операторів, нульовий оператор відіграє роль нуля

А+=А+0=А;

4. В множині лінійних операторів, для кожного лінійного оператора існує

протилежний лінійний оператор .

Операцію віднімання введемо так: А-В=А+(-В).

Добуток лінійних операторів

Означення. Добутком лінійних операторів А і В - називається оператор Q, який визначається за формулою , де х будь-який вектор простору L_n.

Ця операція добутку полягає в послідовній дії спочатку оператором В на вектор , а потім оператором A.

Теорема: Добуток лінійних операторів - лінійний оператор.

Доведемо. Нехай х₁, х₂ L_n .

Тоді:



Основні властивості добутку операторів:

1. Операція множення лінійних операторів не комутативна А•В?В•А;

2. Операція множення лінійних операторів асоціативна (А•В)•С=А•(В•С);

3. Дія множення лінійних операторів пов'язана з дією додавання

дистрибутивним законом: ;

4. Тотожній (одиничний) оператор виконує роль нейтрального елемента при множенні лінійних операторів.

Добуток лінійного оператора на скаляр

Означення. Добутком лінійного оператора А на скаляр називається такий оператор С, який визначається за формулою хС=хА, С=А.

Добуток лінійного оператора на скаляр - є лінійним оператором.

Основні властивості добутку оператора на скаляр:

1. Для будь-якого лінійного оператора А, 1•А=А;

2. Операція множення на скаляр асоціативна

3. Операція множення на скаляр пов'язана з операцією додавання скалярів

дистрибутивним законом:

4. Операція множення на скаляр пов'язана з дією додавання лінійних операторів дистрибутивним законом:

1.3 Задання лінійних операторів

Нехай - деякий лінійний оператор у просторі . Виберемо в даному просторі який-небудь базис . Оператор відображає вектори цього базису в деякі вектори . Кожен вектор єдиним способом лінійно виражається через вектори базису .



,

,

.

Складемо із коефіцієнтів матрицю: .

Стовпцями матриці є координатні стовпці векторів () в базисі . Оскільки координатні стовпці векторів визначені однозначно, то й матриця визначається оператором в базисі .

Означення: матриця, стовпцями якої є координати образів базисних векторів називається - матрицею лінійного оператора.

Лінійні оператори можна задати двома способами:

1. За допомогою відображення, тобто задати вектори та їхні образи. Задати лінійний оператор А на просторі означає задати образи всіх векторів простору при дії оператора А, зокрема, і образи всіх векторів кожного базису цього простору.

Теорема: всякий лінійний оператор А на просторі однозначно визначається заданням образів всіх векторів будь-якого фіксованого базису цього простору.

Доведення: припустимо, що в просторі L_n зафіксовано деякий базис , і відомо, що - образи векторів цього базису при дії оператора А, тобто

Будь-який вектор єдиним способом зображається у вигляді лінійної комбінації векторів базису , тобто

Оскільки А - лінійний оператор, то

Отже, образ Ах будь-якого вектора х визначається і притому однозначно.

Теорему доведено.

2. За допомогою матриць лінійних операторів.

Отже, при зафіксованому базисі кожному лінійному оператору простору відповідає певна квадратна матриця -го порядку, яка і називається матрицею даного оператора.

Причому можна вільно переходити від одного задання до іншого.

1.4 Характеристичний многочлен і власні значення лінійного оператора

Власні значення лінійного оператора

Означення: Вектор а?0, який задовольняє співвідношення аА=ла, називається власним вектором оператора А, а число л називається власним значенням оператора А, якщо оператор А переводить його в пропорційний йому вектор.

Маємо, що якщо одновимірний підпростір простору L_n інваріантний відносно оператора А, то всі вектори цього підпростору є власними векторами оператора А з тими самими власними значеннями.

Теорема: власні вектори лінійного оператора А, яким відповідають попарно різні власні значення утворюють лінійну незалежну систему.

Доведення: теорему доводитимемо індукцією по m. При m=1, теорема справедлива, бо за означенням власного вектора, і тому система векторів - лінійно незалежна. Припустимо, що теорема справедлива для m - 11, тобто, що будь-яка система з m-1 власних векторів, яким відповідають різні власні значення, лінійно незалежна. Розглянемо задану систему векторів і припустимо, що вона лінійно залежна всупереч твердженню теореми. Це означає, що існують скаляри з яких хоч один відмінний від нуля, такі, що

(1)

Припустимо, що До обох частин рівності (1) застосуємо оператор А, ураховуючи, що Матимемо:

Віднімемо від рівності (2) рівність (1), помножену на Дістанемо

Оскільки система складається з m-1 власних векторів, яким відповідають різні власні значення, то за припущенням вона лінійно незалежна. Тому всі коефіцієнти останньої рівності є нулями, зокрема, . Проте це неможливо, оскільки Ця суперечність і доводить теорему.

Характеристичний многочлен лінійного оператора

Розглянемо питання про знаходження власних векторів і власних значень лінійних операторів.

Нехай А=() - деяка квадратна матриця порядку n над полем Р, Е - одинична матриця порядку n, а л - деяке невідоме. Тоді

Матриця називається характеристичною матрицею матриці А.

Визначник det ( матриці є многочленом n-го степеня від л. Справді, член визначника, що є добутком n елементів, які стоять на головній діагоналі матриці , є многочленом n-го степеня від л, а кожний інший член визначника не містить множниками, принаймні, двох елементів головної діагоналі і тому є многочленом від л степеня, не вищого ніж n-2.

Означення: Многочлен називається характеристичним многочленом матриці А, а корені цього многочлена називаються характеристичними коренями цієї матриці.

Лема. Характеристичні многочлени, а отже, і характеристичні корені подібних матриць одинакові.

Доведемо. Нехай Покажемо, що =. Матриця лЕ комутує з будь-якою матрицею Q, тому

=

Нехай А - деякий лінійний оператор на n-вимірному просторі L_n, а А - матриця цього оператора в довільно вибраному базисі .

Означення: Характеристичний многочлен матриці А називають характеристичним многочленом лінійного оператора А, а корені цього многочлена характеристичними коренями оператора А.

Оскільки матриці, що задають оператор А в різних базисах простору L_n, подібні між собою і, отже, за доведеною лемою, їхні характеристичні многочлени однакові, то характеристичний многочлен оператора А не залежить від вибору базису, в якому задається оператор А, а визначається самим цим оператором.



2. Матриці

2.1 Поняття матриці, їх типи

Нехай маємо деяку систему лінійних рівнянь:

Випишемо коефіцієнти системи рівнянь в тому порядку, в якому вони записані в системі, отримаємо деяку таблицю, яка складається з m-рядків і n-стовпців:

Отриману таблицю з m-рядків і n-стовпців називають матрицею розмірності mXn, і позначають великими буквами: A, B, C, D, M, N….

У випадку коли m=n матриця називається квадратною порядку n. Коли m?n, то матриця називається - прямокутною, розмірності mXn.

Типи матриць

Існують такі типи матриць: діагональна, одинична, нульова, трикутна, ступенева.

1. Матриця всі елементи якої, крім елементів головної діагоналі дорівнюють 0, називається - діагональною матрицею.



2. Діагональна матриця, у якої елементи головної діагоналі - одиниці, називається - одиничною матрицею.

3. Матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю називається - нульовою.

4. Трикутною називається матриця у якої всі елементи, що знаходяться під головною діагоналлю, або над нею дорівнюють нулю.

5. Ступеневою називається матриця, яка має такі властивості:

- a_ip_i - перший відмінний від (0) елемент рядка (провідний).

- якщо і-тий рядок дорівнює нулю, то і перший рядок також дорівнює нулю.

2.2 Дії над матрицями та їх властивості

I. Сумою (різницею) двох матриць одного і того ж самого порядку mXn називають матрицю елементи якої дорівнюють сумі (різниці) відповідних елементів цих двох матриць.

А_mXn= B_mXn=

A±B=

Властивості операції додавання матриць:

1. Операція додавання комутативна (виконується переставний закон):

А+В=В+А.

2. Операція дадавання матриць асоціативна:

А+(В+С)=(А+В)+С, виконується розподільчий закон.



3. В множині матриць даної розмірності існує матриця, яка має наступну властивість:

А+0=0+А=А.

4. В множині матриць даної розмірності для кожної матриці існує протилежна матриця:

А+В=0, (В=-А) - для кожної матриці існує протилежна.

II. Добутком матриці А розмірності mXn на деяке число л, є матриця тієї самої розмірності яка: л•А=(л ) треба кожен елемент матриці помножити на це число.

Властивості операції множення матриці на число:

1. Операція множення матриці на число комутативна:

л•А=А•л.

2. Операція множення матриці на число асоціативна:

л•(м•А)=(л•м)•А=л•м•А

3. Операція множення матриці на число - дистрибутивна відносно додавання чисел та матриць:

(л+м)•А=л•А+м•А

л (А+В)=л•А+л•В.



III. Нехай дано матрицю А_mXn і матрицю В_mXs. Добутком матриці А на В називають таку матрицю С розмірності mXs, елементи якої знаходять за формулою:

Властивості операції добутку матриць

1. Операція добутку матриць - не комутативна: А•В?В•А.

2. Операція множення матриць - асоціативна: А•(В•С)=(А•В)•С.

3. В множенні матриць існує така матриця, що виконується рівність: А•Е=Е•А=А.

4. Матриця транспонована до добутку даних матриць дорівнює добутку матриць транспонованих, взятих у зворотньому порядку:

(А•В)^Т=В^Т•А^Т.

5. Операція множення матриць є дистрибутивною відносно додавання матриць і скалярів:

(А+В)•С=А•С+В•С, С•(А+В)=С•А+С•В.

Теорема: визначник добутку двох квадратних матриць одного порядку, дорівнює добутку визначників цих матриць.

Розглянемо квадратну матрицю порядку n:

Означення: матрицею оберненою до даної квадратної матриці називається матриця, яка задовольняє співвідношення:

А•В=В•А=Е - одинична матриця, В=А^-1 - обернена матриця.

Матриця А називається оборотною, якщо вона має до себе обернену.

Означення: квадратна матриця А називається не особливою, або не вираженою, якщо її визначник ?0, і називається - особливо виродженою, якщо її визначник =0.

Теорема: для того щоб квадратна матриця А мала обернену матрицю А^-1 необхідно і достатньо, щоб матриця А булла не особливою.

Властивості оберненої матриці

1. (А^-1)^-1=А - матриця обернена до оберненої дорівнює самій матриці.

2. Обернена до добутку дорівнює добутку обернених (А•В)^-1=А^-1•В^-1.

3. Обернена до транспонованої дорівнює транспонованій до оберненої (А^Т)^-1=(А^-1)^Т.

4. Визначник оберненої дорівнює оберненій до визначника ¦А^-1¦=¦А¦^-1.

2.3 Поліном матриці

Введемо поняття степеня:

А⁰=1=Е;

А¹=А;

А²=А•А;

Аⁿ=А•А•…•А - n раз.

Степінь матриці має тіж властивості, що і для чисел.

Розглянемо вираз:



Р(А)=a_nAⁿ+a_n-1A^n-1+ … +a₁A+a₀,

де А - це квадратна матриця, а - довільні дійсні числа, такий вираз називається поліномом матриці, при чому Р(А) - буде того самого порядку, що і матриця А.

Р(А)=0, то говорять, що матриця А є коренем полінома, а поліном в цьому випадку називається - анулюючим для матриці А.

Розглянемо поліном:

Поліном - називається характеристичним поліномом для матриці А.

Корні цього полінома - називаються характеристичними, або власними значеннями матриці А.

Рівняння виду:¦А - л•Е ¦=0 - називається характеристичне рівняння матриці А.

Теорема Келі-Гамільтона: довільна, квадратна матриця А є коренем свого характеристичного полінома. Якщо



3. Алгебра лінійних операторів і алгебра матриць

3.1 Поняття лінійної алгебри

матриця поліном лінійний оператор

Лінійною алгеброю над полем Р називається множина в якій означено дію додавання, множення та множення на скаляр з поля Р, при чому відносно додавання і множення на елемент з поля Р, ця множина є лінійним простором і крім того множення елементів і множення на скаляр із поля Р пов'язані співвідношенням:

Ми розглянули в пункті 1.2. Операції над лінійними операторами та їх властивості і тепер можемо сказати:

1. Так як існує властивість (4) при додаванні лінійних операторів, що для кожного лінійного оператора А на просторі існує протилежний лінійний оператор - А. Таким чином множина ^* всіх лінійних операторів на просторі з визначеною на ній операцією додавання є адитивною абелевою групою.

2. При множенні лінійних операторів виконується асоціативна властивість (2) і за властивістю (3) виконується дистрибутивний закон, то з цього випливає, що множина ^* всіх лінійних операторів на просторі з означеними на ній операціями додавання і множення є кільцем.

3. Множення лінійних операторів простору L_n з визначеними в ній операціями додавання і множення на скаляр з поля Р є лінійним векторним простором над полем Р.

В просторі - розглянемо множину лінійних операторів. Позначимо ^*, множина лінійних операторів простору є лінійною алгеброю над полем Р. Тому що множина є кільцем відносно дій додавання і множення лінійних операторів і є лінійним простором відносно додавання лінійних операторів і множення лінійних операторів на скаляр з поля Р. Крім того для будь-якого числа л з поля Р і будь-яких операторів б і в даної множини і виконується:

л•(б•в)=(л•б)•в=б•(л•в), за означенням ця множина утворює лінійну алгебру.

В пункті 2.2. було розглянуто дії над матрицями та їх властивості, виходячи з них можна зазначити:

1. Так як існує властивість (4) при додаванні матриць, що для кожної матриці А в множині матриць даної розмірності, існує протилежна матриця В= - А. Таким чином множина всіх матриць, з визначеною на ній операцією додавання є адитивною абелевою групою.

2. При множенні матриць виконується асоціативна властивість (2) і за властивістю (5) виконується дистрибутивний закон, то з цього випливає, що множина M_n всіх квадратних матриць з означеними на ній операціями додавання і множення є кільцем.

3. Відносно додавання матриць і множення на число, множина квадратних матриць є лінійним простором.

Множина всіх квадратних матриць n-го порядку над полем Р, також є лінійною алгеброю над тим самим полем Р. Так-як в множині M_n - позначені дії додавання матриць і множення матриць і відносно цих операцій множина квадратних матриць є кільцем, а відносно додавання матриць і множення на число, множина квадратних матриць є лінійним простором і крім того для будь-яких матриць А і В і деякого скаляра л виконується:

л•(А•В)=(л•А)•В=А•(л•В).

Значить за означенням лінійної алгебри множина квадратних матриць n-го порядку є лінійною алгеброю над полем Р.

3.2 Ізоморфізм алгебр

Означення: дві лінійні алгебри М і М₁ над одним і тим самим полем Р називаються ізоморфними якщо між їх елементами можна встановити однозначну відповідність, так що коли елементам a і b M> a₁, b₁ M₁> a+b M> a₁+b₁ M₁, ab M>a₁b₁ M₁, лa M > лa₁ M₁.

Теорема: алгебра L^*_n лінійних операторів n-вимірного векторного просторунад полем Р ізоморфна алгебрі M_n квадратних матриць n-го порядку над Р.

Доведення

Матриця добутку л•А і лінійного оператора б на деяке число л, у довільно вибраному базисі дорівнює добутку матриці А і оператора б, в тому ж базисі на число л. Таким чином, якщо лінійному оператору б відповідає матриця А, а лінійному оператору в матриця - В, то оператору б+в відповідає матриця А+В, а б•в матриця - А•В і оператору л•б матриця - л•А. Отже розглянута відповідність і є ізоморфною.

Теорему доведено.

Нехай А=(б_ik) і B=(в_ik) - матриці лінійних операторів А і В у базисі

е₁, е₂, …, е_n. Знайдемо матриці S, Q, C, що задають у базисі е₁, е₂, …, е_n оператори S=A+B, Q=AB, .

За означенням матриці лінійного оператора, маємо

Оскільки S=A+B, то



і отже, S=, тобто S=A+B.

Таким чином, матриця суми лінійних операторів у довільно вибраному базисі е₁, е₂, …, е_n дорівнює сумі матриць доданків у тому ж базисі.

Аналогічно, оскільки Q=AB, матриця добутку лінійних операторів у довільно вибраному базисі е₁, е₂, …, е_n дорівнює добутку матриць співмножників у тому ж базисі.

Оскільки , то

i=(1, 2, 3, …, n), , тобто . Отже матриця добутку лінійного оператора А на деякий скаляр у довільно вибраному базисі, дорівнює добутку матриці оператора А на скаляр .

Висновок. Так, як алгебра матриць ізоморфна алгебрі лінійних операторів, то все, що стосується матриць можна перенести на мову лінійних операторів. Це значно спрощує роботу з лінійними операторами.



Висновки

У даній курсовій роботі було розглянуто, поняття та найпростіші властивості лінійного оператора. Розглянуто коротку характеристику матриць та проведено паралель між алгеброю лінійного оператора та алгеброю матриць. Були підібрані задачі, що показують безпосередній зв'язок між ізоморфними алгебрами, задана система завдань дозволяє контролювати процес оволодіння матеріалом теми.

З метою набуття чітких понять про лінійні оператори, матриці та їх зв'язок вивченню цієї теми необхідно приділити більше часу, тому що вони відіграють важливу роль у теорії лінійних просторів і її застосуванні.

Під час вивчення даної теми необхідно розуміти основні поняття, такі як:

· лінійний оператор, матриця;

· їх найпростіші властивості;

· дії над ними;

· поняття лінійної алгебри;

· поняття ізоморфізму.

Матеріал курсової роботи може використовуватись студентами під час вивчення даної теми, що допоможе їм краще оволодіти новою темою. Ця тема дуже цікава і актуальна в сучасній алгебрі, тому я б радила студентам фізико-математичних факультетів звернути на це увагу,

Порівняння математичних об'єктів, встановлення між ними відповідності, вчить мислити, переносити властивості одного об'єкта на інший, розвиває логіку.



Список використаних джерел

1. Вивальнюк Л.М. Алгебра і теорія чисел. Матриці і детермінанти. Групи. Векторні простори. Лінійні оператори. Методичні вказівки до лекцій для студентів-заочників, фізико-математичного факультету пед. інститутів. К., «Вища школа», 1974.

2. Воеводин В.В. Линейная алгебра: [Учебное пособие для вузов по спец. «прикл. математика»] - 2-е изд., переработано и дополнено. - М., «Наука», 1980. - 400 с.

3. Завало С.Т. Курс алгебри. - К.: Вища школа, 1985. - 496 с.

4. Завало С.Т. Алгебра і теорія чисел: Практикум. - К. Вища школа, 1983. - 331 с.

5. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. - М.: Наука, 1978. - 302 с.

6. Калужнін Л.А., Вишенський В.А., Шуб Ц.О. Лінійні простори. - К.: Вища школа, 1971. - 343 с.

7. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. - М.: Высшая школа, 1979. - 559 с

8. Мурач М.М. Лінійна алгебра: Навчальний посібник для студентів 1-3 курсів фізико-математичного факультету педагогічних університетів. Ч. 2 - Чернігів: ЧДПУ, 2005. - 24 с.

9. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре: [Учебное пособие для физ-мат. спец. вузов] - 7-е изд. - М.: «Наука», 1984. - 336 с.

10. Чарін В.С. Лінійна алгебра: Підр. Для студентів вузів. - К.: «Техніка», 2005. - 416 с.

Размещено на Allbest.ru