Интеграл Лебега

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Интеграл Лебега

1. Понятие интеграла Лебега от ограниченной функции

Назовем разбиением измеримого множества E всякое семейство Т конечного числа измеримых и попарно непересекающихся подмножеств …, множества E, составляющих в сумме множество E.

Для обозначения разбиения множества E будем использовать символ T= или более краткий символ T=.

Рассмотрим на измеримом множестве E конечной меры произвольную ограниченную функцию f. Для произвольного разбиения T= на множестве E обозначим символами и соответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани функции f на частичном множестве и введем в рассмотрение две суммы

и ,

называемые соответственно в е р х н е й и н и ж н е й суммами разбиения T=.

Сразу же отметим, что для любого разбиения T=

.

Для любой ограниченной на множестве конечной меры E функции f как множество всех верхних сумм , так и множество всех нижних сумм (отвечающих всевозможным разбиения T= множества E) ограниченно. Поэтому существует точная нижняя грань множества , которую мы обозначим символом и назовем верхним интегралом Лебега, и точная верхняя грань множества , которую мы обозначим символом и назовем нижним интегралом Лебега.

Определение. Ограниченная на множестве конечной меры E функция f называется и н т.е. г р и р у е м о й (по Лебегу) на этом множестве, если , т.е. если верхний и нижний интегралы Лебега этой функции совпадают.

При этом число называется и н т.е. г р а л о м Л е б е г а от функции fпо множеству E и обозначается символом

Остановимся на некоторых свойствах верхних и нижних сумм и верхних и нижних интегралов Лебега.

Договоримся называть разбиение T*= измельчением разбиения T=, если для любого номера i (i=1, 2, …, m) найдется номер v (i), удовлетворяющий неравенствам 1 n и такой, что содержится в .

Номер v (i) может оказаться одним и тем же для различных номеров , причем сумма множеств по всем номерам , для которых v (i) равняется одному и тому же номеру k, равна, очевидно, множеству , т.е.

Далее договоримся называть разбиение = произведением разбиений и , если состоит из множеств , представляющих собой всевозможных пар множеств и , т.е. если каждое равно , причем перебираются всевозможные комбинации номеров p и q.

Очевидно, произведение двух разбиений и является измельчением каждого из разбиений и (причем любое другое разбиение Т, являющееся измельчением как , как и , само является измельчением ).

Справедливы следующие свойства верхних и нижних сумм и верхних и нижних интегралов.

1°. Если разбиение T* является измельчением разбиения Т, то , .

Д о к а з а т.е. л ь с т в о. Проведем доказательство для верхних сумм (ибо для нижних сумм оно проводится совершенно аналогично). Пусть T*= является измельчением разбиения T=, и пусть - точная верхняя грань на множестве (k =1, 2, …, n).

По определению измельчения для каждого номера i (i=1, 2, …, m) найдется отвечающий ему номер v (i), удовлетворяющий неравенствам 1 n и такой, что содержится в , причем сумма множеств по всем номерам i, для которых v (i) равно одному и тому же номеру k, удовлетворяет равенству . Добавим к этому, что для всех номеров i, для которых v (i) равняется одному и тому же номеру k, справедливо неравенство

(ибо точная верхняя грань на подмножестве не превосходит точную верхнюю грань на всем множестве).

Из определения верхней суммы и из соотношений и мы получим, что

2°. Для двух совершенно произвольных разбиений и справедливо неравенство .

Д о к а з а т.е. л ь с т в о. Пусть - произведение разбиений и . Так как является измельчением каждого из разбиений и , то в силу свойства 1° справедливы неравенства

, .

Из неравенства и вытекает, что .

3°. Верхний и нижний интегралы Лебега связаны соотношением .

Д о к а з а т.е. л ь с т в о. Фиксируем произвольное разбиение . Так как для любого разбиения (в силу свойства 2°) справедливо неравенство , то число , является одной из верхних граней множества всех нижних сумм, и, стало быть, точная верхняя грань указанного множества удовлетворяет неравенству . Так как последнее неравенство справедливо для произвольного разбиения , то число является одной из нижних граней множества всех верхних сумм, и, стало быть, точная нижняя грань указанного множества удовлетворяет условию .

Следствие. Всякая функция, интегрируемая по Риману, является интегрируемой по Лебегу, причем интегралы Лебега и Римана от такой функции совпадают.

Д о к а з а т.е. л ь с т в о. Пусть интегрируема на E= по Риману (а стало быть, и ограничена на этом сегменте). Обозначив для такой функции символами нижний и верхний интегралы Лебега и символами и нижний и верхний интегралы Дарбу, мы получим следующие неравенства

Если функция интегрируема по Риману, то для нее = , а стало быть, в силу , т.е. эта функция интегрируема по Лебегу. Более того, при = из вытекает равенство , т.е. вытекает совпадение интегралов Римана и Лебега, ибо первый из этих интегралов равен числу = , а второй - числу .

В следующем пункте мы покажем, что класс функций, интегрируемых по Лебегу, является более широким, чем класс функций, интегрируемых по Риману. При этом выяснится введения измеримых функций.

2. Класс интегрируемых по Лебегу ограниченных функций

Докажем следующую основную теорему.

Теорема 1. Каково бы ни было измеримое множество Е конечной меры, всякая ограниченная и измеримая на множестве Е функция интегрируема на этом множестве.

Д о к а з а т.е. л ь с т в о. Построим специальное разбиение множества Е, называемое лебеговским. Обозначив через М и m точные грани на множестве Е, разобьем сегмент с помощью точек m= на частные сегменты (k = 1, 2, …, n) и обозначим через д длину наибольшего из этих частичных сегментов, т.е. положим

д = .

Л е б е г о в с к и м разбиением множества Е назовем разбиение T=, в котором , при k=1, 2, …, n.

Пусть - нижняя и верхняя суммы, отвечающие лебеговскому разбиению Т и называемые лебеговскими нижней и верхней суммами. Заметим, что для любого номера k (k=1, 2, …, n) справедливы неравенства

,

и которых через и обозначены точные грани на частичном множестве . Умножая неравенства на меру множества и после этого суммируя их по всем номерам k=1, 2, …, n, будем иметь

Из полученных неравенств заключаем, что

0 ?

Так как для любого разбиения Т справедливы неравенства , то из получим, что

0 ?

Поскольку д > 0 может быть фиксировано произвольно малым, то из следует, что . Теорема доказана.

З а м е ч а н и е 1. В дополнении 2 к этой главе мы докажем, что измеримость ограниченной на измеримом множестве Е функции является не только достаточным условием интегрируемости этой функции по Лебегу на множестве Е.

З а м е ч а н и е 2. Пусть (k=1, 2, …, n) - произвольный элемент частичного множества лебеговского разбиения Т. Сумму

будем называть лебеговской интегральной суммой функции . Так как при произвольном выборе точек на множестве эта сумма заключена между нижней и верхней суммами соответствующего лебеговского разбиения Т, то из неравенства следует, что (вместе с ) стремится при д > 0 к интегралу Лебега =

3. Свойства интеграла Лебега от ограниченной функции

1°. .

Для доказательства достаточно заметить, что для функции как верхняя, так и нижняя сумма любого разбиения Т множества E равна

2°. Если функция ограничена и интегрируема на множестве E конечной меры и любое вещественное число, то и функция интегрируема на множестве E, причем

Д о к а з а т.е. л ь с т в о. Для произвольного разбиения Т = множества E обозначим верхнюю и нижнюю суммы функции символами , а верхнюю и нижнюю суммы функции символами и . Тогда, очевидно,

Если обозначить через верхний и нижний интегралы функции , а через и верхний и нижний интегралы функции , то из следует, что

В силу интегрируемости справедливо равенство

=

а потому из неравенств следует, что при любом

Это и означает, что интеграл в левой части существует и что справедливо равенство .

3°. Если каждая из функций и ограничена и интегрируема на множестве конечной меры E, то и сумма этих функций интегрируема на множестве E, причем

Д о к а з а т.е. л ь с т в о. Положим , и пусть Т= = произвольное разбиение множества E. Обозначим для функции точные грани на частичном множестве через и , верхнюю и нижнюю суммы разбиения Т через и , верхний и нижний интегралы Лебега через . Аналогичные величины для функций и обозначим теми же символами, что и для , но с индексами и соответственно.

Заметим, что точная верхняя (точная нижняя) грань суммы не больше (не меньше) суммы точных верхних (точных нижних) граней слагаемых. Отсюда следует, что для любого номера k

и, стало быть, для любого разбиения T

.

Из последних неравенств в свою очередь следует, что

Так как (в силу интегрируемости и )

то из получим, что

Но это и обозначает, что интеграл в левой части существует и что справедливо равенство .

Следствие. Непосредственно из 2° и 3° вытекает линейное свойство интеграла: если каждая из функций и ограничена и интегрируема на множестве конечной меры E и если произвольные вещественные числа, то функция интегрируема на множестве E, причем

4°. Если функция ограничена и интегрируема на каждом из пересекающихся множеств конечной меры и , то интегрируема и на сумме E множеств и , причем

Это свойство обычно называют аддитивностью интеграла.

Д о к а з а т.е. л ь с т в о. Заметим, что объединение произвольного разбиения на множестве и произвольного разбиения множества образует разбиение T множества E = . Обозначим верхние суммы , отвечающие разбиениям и T, соответственно через , а нижние суммы , отвечающие разбиениям и T, соответственно через Тогда, очевидно,

Обозначим верхний и нижний интегралы функции на множестве через и , на множестве через и и на множестве E через .

Из равенств и из того, что точная верхняя (точная нижняя) грань суммы не больше (не меньше) суммы точных верхних (точных нижних) граней слагаемых, заключаем, что

Так как (в силу интегрируемости на и на )

, то из получим, что

Но это и означает, что интеграл, стоящий в левой части , существует и что справедливо равенство .

5°. Если каждая из функций и ограничена и интегрируема на множестве конечной меры E и если всюду на этом множестве , то

Д о к а з а т.е. л ь с т в о. Так как все нижние суммы функции F неотрицательно, Отсюда следует, что (существование этого интеграла и написанное нами линейного свойства). Тем самым доказано.

Заключение

лебег функция интеграл

И так подведем итоги об рассмотренном материале.

Мы можем дать определение интеграла Лебега, а именно это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций. Где все функции, определённые на конечном отрезке числовой прямой и интегрируемые по Риману, являются также интегрируемыми по Лебегу, причём в этом случае оба интеграла равны. Однако, существует большой класс функций, определённых на отрезке и интегрируемых по Лебегу, но неинтегрируемых по Риману. Также интеграл Лебега может иметь смысл для функций, заданных на произвольных множествах.

Идея построения интеграла Лебега состоит в том, что вместо разбиения области определения подынтегральной функции на части и составления потом интегральной суммы из значений функции на этих частях, на интервалы разбивают её область значений, а затем суммируют с соответствующими весами меры прообразов этих интервалов.

Список использованных источников

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Основы математического анализа» 2006 г. - 464 с.

2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - изд. четвёртое, переработанное. - М.: Наука, 1976. - 544 с.

3. Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. - 2-е. - М.: Физматлит, 1961. - 436 с.

4. Натансон И.П. «Теория функций вещественной переменной», С-П, 1999.

Размещено на Allbest.ru