Решение задач по теории вероятности и статистике

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение задач по теории вероятности и статистике

Задача 1

Из десяти изделий, из которых четыре бракованных, наудачу берут три изделия. Найти вероятность того, что все они бракованные; хотя бы одно из них бракованное.

Решение

а)Обозначим через А событие, состоящее в том, что взятые изделия будет все бракованные. Действие состоит в том, что необходимо взять сразу три бракованных изделия из данных 10. Общее число возможных элементарных исходов равно - числу, состоящему из 10 изделий группами по 3. (n=)

Число элементарных исходов, благоприятных событию А, равно . (m=)

Искомая вероятность рассчитывается по формуле

б) Определим число исходов, благоприятных интересующему событию В (среди 3 взятых деталей 1- бракованная)

1 бракованное изделия из 4 можно взять способами. при этом остальные 3-1=2 стандартные. Взять 2 стандартные детали из 10-4=6 стандартных можно Сспособами. Значит число благоприятных исходов равно

х С

Вероятность того, что из 3 взятых изделий 1 бракованные такова

==1/35

Задача 2

Среди поступающих на сборку деталей с первого станка 0,1% бракованных, со второго - 0,2%, с третьего - 0,25%. Производительность их относятся как 4:3:2 соответственно. Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она изготовлена а) на первом станке; б) на втором; в)на третьем. Как проверить правильность вычислений этих вероятностей?

Решение

Обозначим через событие А - стандартную деталь. Можно сделать два предположнеия (гипотезы): - деталь произведена 1 станком, причем (поскольку производительность станков относятся как 4:3:2)

Р() = 4/7. - детали изготовленные на втором станке,

Р() = 3/7, - детали, изготовленные на третьем станке, Р() = 2/7

Условная вероятность того, что детали стандартного качества, если они произведены

на 1 станке = 0,9 (1-0,1)

на 2 станке = 0,8 (1-0,8)

на 3 станке = 0,75 (1-0,25)

Вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется стандартной, по формуле полной вероятности равна

Р(А) = Р()х+ Р()х+ Р()х = 4/7х0,9+3/7х0,8+2/7х0,75=

Искомая вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется произведена 1 станком, по формуле Бейеса равна

Искомая вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется произведена 2 станком, по формуле Бейеса равна

Искомая вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется произведена 3 станком, по формуле Бейеса равна

Правильность вычисления этих вероятностей можно проверить сложив их. Если получится 1, то решение верное

Задача 3

При вытачивании болтов наблюдается в среднем 10% брака. Найти наивероятнейшее число пригодных болтов в партии из 400 болтов, вычислить его вероятность. Какова вероятность того, что число пригодных болтов в партии заключено в границы от 200 до 300.

Решение

Число бракованных болтов среди 400 подчиняется биномиальному закону распределения. Вероятность того, что болт бракованный равна q=0,1. Вероятность того, что болты годные равна p=1-0,1=0,9. Наивероятнейшее число найдем из соотношения

Подставляя данные задачи получим

Единственное целое число, которое удовлетворяет это неравенство равно 360.

Определим вероятность того, что среди 400 болтов годных буде 360. Точное значение этой вероятности определяется по формуле Бернулли

Т.к. n и r велики, то воспользуемся локальой теоремой Муавра-Лапласс.

,

где

Вычислим х

По приложению 1 в учебнике В.Гмурмана находим

Вероятность наивероятнейшего числа

Для вычисления того, что число годных болтов будет от 200 до 300 воспользуемся интегральной теоремой Лапласа

По условию n=400 p=0.9 q=0.1 k1=200 k2=300

=Ф(-1,66)+Ф(4,44)

По таблице в Приложении №2 учебника В.Гмурмана находим значения показателей

Ф(1,66)=0,4452

Ф(4,44)=0,499997

Искомая вероятность

0,4452+0,499997=0,054797

Задача 4

На пути движения автомашины четыре светофора. Каждый из низ с вероятностью 0,5 либо разрешает, либо запрещает автомашине дальнейшее движение. Х - число светофоров, пройденных автомашиной без остановки.

1)написать ряд распределения;

2)построить многоугольник распределения

3)вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение;

4)построить интегральную функцию распределения.

Решение

Случайная величина Х может принимать значения 0,1, 2, 3, 4.

Событие (Х=0) означает, что автомобиль проехал все светофоры без остановки

=Р(Х=0)==0,0625

Событие (Х=1) означает остановку на первом светофоре.

Его остановка равна

=Р(Х=1)=

Событие (Х=2) означает проезд на первом светофоре и остановку на втором. Такая вероятность равна

=Р(Х=2)=

Событие (Х=3) означает проезд на первом и втором светофоре

=Р(Х=3)=

Событие (Х=3) означает проезд втором и третьем светофоре

=Р(Х=4)=

Ряд распределения будет выглядеть следующим образом

Х 0 1 2 3 4

р 0,0625 0,0625 0,125 0,25 0,5

=0,0625+0,0625+0,125+0,25+0,5=1

2 Построим многоугольник распределения (рис.1)

3 Математическое ожидание

М (х)=

М(х)=0х0,0625+1х0,0625+2х0,125+3х0,25+4х0,5=3,0625

Дисперсию вычисляем по формуле



Закон распределения для

0 1 4 9 16

0,0625 0,0625 0,125 0,25 0,5

Вычислим математическое ожидание

М()=0х0625+1х0,0625+4х0,125+9х0,25+16х0,5=0,0625+0,5+2,25+8=

=10,8125

Исчислим дисперсию

=1,4336

Найдем среднее квадратическое отклонение

4 Построим искомую функцию распределения вероятностей

График этой ступенчатой функции имеет вид (рис.2)

Задача 5

Случайная величина Х задана интегральной функцией F(x). Найти

1 Дифференциальную функцию распределения вероятностей f(x)

2 вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратческое отклонение

3 Вычислить вероятность попадания случайной величины в заданный интервал (a,b)

Решение

Функция плотности распределения вероятностей равна первой производной от интегральной функции



Для нахождения математического ожидания воспользуемся формулой

f(x)=0, если х (а,в)

Подставив а=0, в=2, f(x)=

Высчислим дисперсию

=2

Дисперсия равна

Д(х)==

Вероятность попадания случайной величины х в интервале вычисляется по формуле



Р(0,5<x<1,5)=

Задача 6

При изготовлении цветной облицовочной плитки 70% изделий оказывается первосортными. Сколько нужно взять плиток, чтобы с вероятностью, превышающей 0,95, можно было утверждать, что доля первосортных среди них отличается по абсолютной величине от вероятности ее более чем на 0,05?

Решение

По условию, p=0.7, q=0.3 =0.05

Воспользуемся формулой

В силу условия

2Ф

Ф(0,01)=0,475

По таблице приложения 2 В.Гмурмана найдем Ф(1,96)=0,475

(0,01)=1,96 или =196, n=38414

Более 38416 плиток нужно взять, чтобы с вероятностью, превышающей 0,95, можно было утверждать, что доля первосортных среди них отличается по абсолютной величине от вероятности ее более чем на 0,05.

Задача 7

101, 62, 95, 122, 53, 85, 110, 83, 98, 69, 87, 70, 120, 82, 110, 76, 104, 109, 50, 125, 82, 126, 96, 135, 74, 140, 99, 107, 125, 70, 98, 91, 105, 83, 157, 87, 57, 76, 56, 78, 47, 75, 39, 98, 67, 37, 88, 60, 123, 78,

На основе данных, полученных в результате выборочного взвешивания мальков лососевых:

построить интервальных вариационных ряд относительно частот;

построить гистограмму относительных частот;

построить простой вариационных ряд относительных частот и изобразить его полигоном относительных частот;

построить эмпирическую функцию распределения;

вычислить выборочную среднюю, выборочную дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение

1 Вычислим размах вариации по формуле

вероятность дисперсия распределение

,

где Хmax, X min - максимальные и минимальные значения признака.

R=157-37=120

Число статичных иитервалов найдем по формуле

R=2Lnn

Где R - число частичных интервалов, n - объем выборки.

R = 2Ln50=8

Определим длину частичных интервалов по формуле

Разобьем общий интервал на 8 частичных и подсчитаем результаты, которые занесем в таблицу 1

Таблица 1

Интервал	Частота, m
37-52	4
52-67	6
67-82	11
82-97	9
97-112	11
112-127	6
127-142	2
142-157	1

Рассчитаем относительные частоты по формуле , результат запишем в таблицу 2, которая называется интервальным рядом относительных частот

Таблица 2

Интервал	Относительная частота, р
37-52	0,08
52-67	0,12
67-82	0,22
82-97	0,18
97-112	0,22
112-127	0,12
127-157	0,06

2.Построим гистограмму

Для построения гистограммы рассчитаем относительную плотность , результаты занесем в таблицу 3

Таблица 3

Интервал	Относительная частота, р	Относительная плотность распределения, f
37-52	0,08	0.005
52-67	0,12	0.008
67-82	0,22	0.01
82-97	0,18	0.012
97-112	0,22	0.01
112-127	0,12	0.008
127-157	0,06	0.002

На основе данных таблицы построим гистограмму

f
0,012
0,01
0,008
0,005
0,002
	52	67	82	97	112	127	132	157

3.Построим простой вариационный ряд. Результаты запишем в таблицу

Поскольку различных значений случайной величины больше 10, то его строят исходя из интервального ряда распределения. Каждый интервал заменяют его серединой

Таблица 4

Х	44,5	59,5	74,5	89,5	104,5	119,5	142
m	4	6	11	9	11	6	3
p	0.08	0.012	0.22	0.18	0,22	0.012	0.006

Построим полигон (рис.4)



4. Построим эмпирическую функцию распределения.

Для построения эмпирической функции необходимы данные таблицы 4

5. Определим выборочную среднюю дисперсию по формуле

взяв х=88,96

Таблица 5

	р			р
44,5	0,08	-44,46	1976,6916	158,135328
59,5	0,12	-29,46	867,8916	104,146992
74,5	0,22	-14,46	209,0916	46,000152
89,5	0,18	0,54	0,2916	0,052488
104,5	0,22	15,54	241,4916	53,128152
119,5	0,12	30,54	932,6916	111,922992
142	0,06	53,04	2813,2416	168,794496

=642

Таким образом, в данной выборке средний вес малька составляет 89 единиц, отклонение веса от среднего значения составляет ±25,33 единиц.

Считая, что вес мальков починяется нормальному закону распределения , по данным случайной выборке

1 определите точечные оценки параметров нормального распределения

2 построить теоретическое нормальное распределение и изобразить его графически на рисунке, где построена гистограмми распределения

3 исходя из геометрического изображения сделать вывод о согласованности эмпирического распределения с нормальым теоретическим.

1 Функция плотности распределения в нашем случае имеет вид

В нашем случае

Для построения кривой теоретического нормального распределения рассчитаем ее значение в некоторых точках (см. табл.5)

0,003

е=2,7183

0,013

0,016

0,013

0,008

0,002

Исходя из геометрического построения можно сделать вывод, что эмпирическое распределение согласуется с теоретическим нормальным.

Вычислим доверительный интервал, который имеет вид

Все величины известны, кроме , которую определяем по приложению к учебнику В.Е. Гмурмана. Она равна 1,96

Делая необходимые расчеты, получили доверительный интервал

87,41 < а < 90,51

Задача 8

Данные статистической обработки сведений двум основным показателям Х и У отражены в корреляционной таблице

Таблица 6

У	Х
	18	28	38	48	58	68
3 6 13 18 23	5 1 3 5 2 40 9 6 11 4 4 7 3	6 8 51 21 14
	5 4 13 56 20 3	N=100

Написать ряды распределения для Х и У и вычислить для них выборочные средние и выборочные средние квадратические отклонения

Написать условные ряды распределения У/Х и вычислить условные средние

Изобразить графически зависимость условных средних от значений Х

Рассчитать выборочный коэффициент корреляции У на Х

Написать выборочное уравнение прямой регрессии

Изобразить геометрически данные корреляционной таблицы и построить прямую регрессии.

Решение

1 Напишем ряд распределения для Х (У) . Для этого выпишем значения Х и соответствующие им частоты

Х 18 28 38 48 58 68

nx 5 4 13 56 20 3

y 3 6 13 18 23

ny 6 8 51 21 14

Вычислим

Точка распределения случайных величин находится в точке (47,5;14,3)

Вычислим и . Результаты оформим в таблицу 9 и 10.

Таблица 7

х	nx
18	5	-29,5	870,25	4351,25
28	4	-19,5	380,25	1521
38	13	-9,5	90,25	1173,25
48	56	0,5	0,25	14
58	20	10,5	110,25	2205
68	3	20,5	420,25	1260,75

=10525,5

Таблица 8

y
3	6	-11,3	127,69	766,14
6	8	-8,3	68,89	551,12
13	51	-1,3	1,69	86,19
18	21	3,7	13,69	287,49
23	14	8,7	75,69	1059,66

=2750.6

2 Запишем условные ряды распределения У/Х и вычислим условные средние

13 18 23

40 11 4

13 18 23

9 4 7

23

3

3 Построим графическую зависимость и значений Х

Рассчитаем выборочный коэффициент корреляции по формуле

,

Расчет средней арифметической произведений ХУ оформим в таблицу.

Х	У	nху	Х у nху
18	3	5	270
28	3	1	84
28	6	3	504
38	6	5	1140
38	13	2	988
48	13	40	24960
58	13	9	6786
38	18	6	4104
48	18	11	9504
58	18	4	4176
48	23	4	4416
58	23	7	9338
68	23	3	4692

70962

Вычисляем

Таким образом, между и Х существует тесная линейная связь, т.к.

4 Напишем выборочное уравнение прямой регрессии. Оно имеет вид

Подставим имеющиеся данные

5 Изобразим графически данные корреляционной таблицы и прямую регрессии У и Х.

Поскольку прямая регрессии расположена среди экспериментальных точек, то можно сделать вывод, что расчеты выполнены точно

Список литературы

1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математческой статистике: Учебное пособие для студентов ВТУЗов. - 3-е изд., перераб. И доп. - М.: Высш.школа, 1979. - 400 с., ил.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математческой статистике: Учебное пособие для студентов ВУЗов. - 9-е изд., стер., - М.: Высш.школа, 2003. - 479 с., ил.

3. Гусаров В.М. Статистика: Учеб.пособие для вузов. - М. Юнити,2001.-463 с.

4. Едронова В.Н., Едронова М.В. Общая теория статистики: Учебник-М.: Юристъ, 2001.- 511с.

5. Кожухарь Л.И. Основы общей теории статистики. -М.: Финансы и статистика, 1999. - 144 с.

Размещено на Allbest.ru