Методы решения продольных колебаний стержня

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

1. Продольные колебания стержней

2. Дифференциальное уравнение продольных колебаний однородного стержня постоянного сечения

3. Начальные и граничные условия

Рассмотрим однородный стержень длины l, т.е. тело цилиндрической или иной формы, для растяжения или изгибания которого надо приложить известное усилие. Последнее обстоятельство и отличает даже самый тонкий стержень от струны, которая, как все знают, гнется свободно.

В представленной мною работе я покажу приложение метода характеристик к изучению продольных колебаний стержня, причем ограничусь исследованием только таких колебаний, при которых поперечное сечение pq, перемещаясь вдоль оси стержня, остается плоскими и параллельными друг другу. Подобное допущение оправданно, если поперечные размеры стержня будут невелики по сравнению с его длиной.

Если несколько растянуть или сжать стержень вдоль продольной оси, а затем предоставить самому себе, то в нем возникнут продольные колебания.

Направив ось x вдоль оси стержня и буду считать, что в состоянии покоя концы сечения стержня находятся в точках x=0 и x=l. Пусть х-абсцисса некоторого сечения стержня, когда последний находится в покое. Введу обозначение, через u(x,t) смещение этого сечения в момент времени t; тогда смещение сечения с абсциссой x+dx будет равно

Отсюда ясно,что относительное удлинение стержня в сечении с абсциссой х выражается производной

Теперь считая, что стержень совершает малые колебания, можно вычислить натяжение Т. Применяя закон Гука, получаю:

T= ES, (1)

Где Е- модуль упругости материала стержня, а S- площадь его поперечного сечения. Возьму элемент стержня, заключенный между двумя сечениями, абсциссы которых в состоянии покоя соответственно равны х и х+dx. На этот элемент действуют силы натяжения , приложенные в этих сечениях, и направленные вдоль оси Ох. Результатирующая этих сил имеет величину

-=ES - ES?ES (2) (Теорема Лагранжа)

И направлена также вдоль . С другой стороны, ускорение элемента равно ,вследствие чего мы можем написать равенство

(3)

Где - объемная плотность стержня. Положив

(4)

И сократив на ,получим дифференциальное уравнение продольных колебаний однородного стержня

(5)

Форма этого уравнения показывает, что продольные колебания стержня носит волновой характер, причем скорость распространения продольных волн определяется формулой (4).Если стержень действует еще внешняя сила расчитанная на единицу его объема, то вместо (3) получаем

Откуда

(6)

Это есть уравнение вынужденных продольных колебаний стержня.

Как и вообще в динамике, одного уравнения движения (6) недостаточно для полного определения движения стержня. Нужно задать начальные условия, т.е. задать смещение сечений стержня и их скорости в начальный момент времени

=, =F(x) (7)

где и F(x) - заданные функции в интервале(0,l).

Кроме того, должны быть заданы граничные условия на концах стержня. Например:

1) Стержень закреплен на обоих концах. В этом случае

u(0,t)=0, u(l,t)=0 (8)

в любой момент времени t.

2) Один конец стержня закреплен, другой свободен, т.е.

u(0,t)=0, =0 (9)

в любой момент времени t. На свободном конце x=l натяжение T=ES равно нулю (нет внешних сил) и, следовательно, =0

3) Оба конца стержня свободны.

(10)

В любой момент времени

Таким образом, задача о продольных колебаниях однородного ограниченного стержня сводится к решению уравнения (6), удовлетворяющему начальному условию (7) и одному из граничных условий (8), (9), (10) и т.д. продольный колебание дифференциальный волновой

Рассмотрим задачу о продольных колебаниях однородного упругого стержня длины l, когда его конец x=0 закреплен, а другой x=l свободен. Эта задача сводится к решению волнового уравнения.

=, (1)

При граничных условиях

(2)

И начальных условиях

=, =F(x) (0?x?l) (3)

Согласно методу Фурье, ищем частные решения уравнения (1) в виде

u(x,t)=X(x) T(x) (4)

Подставляю уравнение (4) в (1) и получаю

откуда получаем два уравнения

X (x)+

T(t)+T(t)=0 (6)

Чтобы функция (4), отличная от тождественного нуля, удовлетворяла граничными условиями (2), очевидно, нужно потребовать выполнение условий

X(x)=0, X(l)=0 (6)

Таким образом, я пришел к задаче о собственных значениях для уравнения (5) при граничных условиях (7). Интегрируя уравнения (5) получим

X(x)=

Из граничных условий (6) имеем

=0

Cчитая нахожу =0, откуда

??l=(2k+1),

где k-целое число

Таким образом, нетривиальные решения задачи(4), (5) возможны лишь при значениях ??:

Собственным значением соответствуют собственные функции

(x)= (k=1,2,…..)

Определенные с точностью до постоянного множителя, который мы положили равным единице (k- отрицательным не будет)

При ??= общее решение уравнение (5) имеет вид

и про

Где - произвольные постоянные. В силу (3) получаю

Удовлетворяют (1) и граничным условиям (2) при любых . Составляю ряд.

u(x,t)= (7)

для выполнения начальных условий (2) необходимо, чтобы

ѓ(x)= (8)

F(x)= (9)

Предполагая, что ряды (8), (9) сходятся равномерно, можно определить коэффициенты умножив на обе части равенств на и проинтегрировав по xв пределах от х=0 до х=l. Учитывая,

получаю

(10)

Подставив найденные значения коэффициентов в ряд (7),я, возможно, получу решение задачи полученные из него двухкратным почленным дифференцированием по xи t, равномерно сходятся.

Рассмотрев решение (7), видно, что колебательное движение стержня является результатом сложения простых гармонических колебаний

Совершающихся с амплитудой и с частотами

=

Основной тон, получающийся при k=0, имеет период колебания

T= =

Так как амплитуда основного тона равно

,

То очевидно, что в закрепленном конце стержня х=0 образуется узел, а в свободном конце x=l-пучность.

Размещено на Allbest.ru