Теория симметрических многочленов

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Содержание

1. Введение

2. Основные определения

3. Кольцо симметрических многочленов

4. Основная теорема о симметрических многочленах

5. Метод неопределенных коэффициентов

6. Дискриминант многочлена

7. Результант

8. Список литературы

симметрический многочлен математический индукция

1. Введение

Теория многочленов - важный раздел алгебры. Большое значение в теории многочленов от нескольких переменных имеют симметрические многочлены - частный случай симметрических функций. С их помощью можно составлять уравнения по их корням, освобождаться от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби, решать некоторые системы нелинейных уравнений от нескольких переменных, решать уравнения высших степеней.

Уже в школьном курсе математики изучаются формулы Виета для уравнений второй степени от одной переменной, решаются уравнения и системы уравнений, содержащих многочлены. Задачи такого типа встречаются в заданиях ЕГЭ и централизованного тестирования, например, задачи по составлению уравнений по их корням.

Целью курсовой работы является изучение теории симметрических многочленов.

2. Основные определения

1. Множество k называется кольцом, если оно содержит сумму, разность и произведение двух любых своих элементов

2. Кольцо k называется полем, если содержит частное двух любых элементов

3. Многочленом от одной переменной называется выражение вида

4. Любое расположение чисел {1,2,3…n} в любом другом порядке называется перестановкой

5. Конечная сумма вида называется линейной комбинацией.

6. Кососимметрическим многочленом называется многочлен не изменяющийся при четных перестановках переменных и меняющий знак при нечетных перестановках.

7. Степенной суммой называется выражение

Для таких сумм справедливы формулы (формулы Ньютона)

3. Кольцо симметрических многочленов

Возьмем кольцо многочленов над бесконечным целостным кольцом коэффициентов А. Поставим в соответствие каждой перестановке автоморфизм (Объекты, между которыми существует изоморфизм, являются в определённом смысле «одинаково устроенными») переводящий произвольный многочлен

в многочлен :

Многочлен называется симметрическим, если для всех

.

Как и для функций вводятся элементарные симметрические многочлены :

Следовало бы рассмотреть многочлен

над от новой переменной Y и заметить что - симметричный многочлен поскольку левая часть тождества (2) не меняется при любых перестановках линейных множителей

Так как - автоморфизм кольца то любые линейные комбинации симметрических многочленов и их произведения будут снова симметрическими многочленами. Это означает что множество всех симметрических многочленов образует кольцо, являющиеся подкольцом кольца .

4. Основная теорема о симметрических многочленах

Наиболее общим способом получения симметрических многочленов является следующий: нужно взять произвольный многочлен и подставить вместо соответственно получившийся в результате многочлен

будет так же симметрическим.

Заметим так же что одночлен входящий в g переходит при подстановке в однородный многочлен от степени , т.к. deg = k,

сумму называют весом одночлена .

Весом многочлена считают максимум весов одночленов входящих в .

Теорема 1. Пусть - симметрический многочлен полной степени m над целостным кольцом А. Тогда существует, и притом единственный, многочлен веса m для которого выполнено

Доказательство

1)Доказательство существования многочлена

Используем принцип математической индукции по двум параметрам m и n: при n=1 Т. Очевидна т.к. и

. Предполагая утверждение о существовании доказанным для многочленов ? n-1 переменных, в случае n переменных рассуждать по индукции относительно m=deg f.

Т.к. при m=0 доказывать нечего, положим m>0 и считаем установленным существование для любого многочлена степени <m.

Пусть теперь - заданный симметричный многочлен степени m. Положим , имеем

Где - какой-то многочлен из веса ? m a - элементарные симметрические многочлены от . Очевидно deg ? m следовательно многочлен

Имеет полную степень по не более m и является симметрическим. Кроме того , отсюда следует, что делит . Но в силу симметричности

т.е. содержит в качестве множителей, а значит и их произведение . Итак,

где - снова симметрический многочлен степени . По предположению индукции существует многочлен веса ? m - n, для которого

. Учитывая (3) и (4) для получаем выражение:

и существование многочлена

веса ? m установлено. Т.к. , то вес не может быть меньше m и следовательно равен в точности m.

2) Доказательство единственности

Если бы существовали два не равных друг другу многочлена , с условием , то мы имели бы многочлен для которого =0.

Покажем что это не так. От противного: выберем многочлен минимальной степени, обращающийся при подстановке в нуль. Рассмотрим как многочлен от над

, перепишем в виде

Если = 0, то= где . По предположению

а так как кольцо - целостное, то отсюда вытекает . Это невозможно т.к.

следовательно

Рассмотрим теперь равенство

в , подставим 0 вместо , тогда все члены кроме первого обратятся в 0 и мы получим равенство

где - элементарные симметрические многочлены. По предположению индукции алгебраически независимы над А. В то же время .Получили противоречие.

Следствие. Пусть - многочлен степени n от одной переменной Х над полем Р, имеющий n корней в некотором поле F P. Пусть далее

- произвольный симметрический многочлен из . Тогда его значение получающееся при подстановке вместо , i=1,…,n, будет принадлежать полю Р

Доказательство

По Т.1. существует многочлен , такой что

.Поэтому

.

В соответствии с формулами Виета то и

5. Метод неопределенных коэффициентов

Введем новый тип симметрических многочленов. Для определенности будем брать в качестве А кольцо Z. Пусть

- какой-то одночлен. Будем называть монотонным одночленом если . Обозначим S(v) сумму всех разных одночленов в семействе n! Одночленов вида .

Иначе говоря:

Где означает, что пробегает множество множество представителей левых смежных классов группы .Ясно что S(v) - однородный симметрический многочлен той же степени что и v. Так как то естественно будет рассматривать лишь суммы S(v) c монотонными одночленами v.

Любой симметрический многочлен f над А является линейно комбинацией с коэффициентами из А многочленов типа S(v)

Будем располагать многочлены лексиграфически (по принципу построения словаря). Высшим членом суммы S(v) будет v.

Для монотонного одночлена мы имеем право рассмотреть произведение

в котором высшим членом будет опять-таки

Отсюда вытекает что высший член разности будет ниже, чем v значит,

где а суммирование идет по множеству монотонных одночленов <v. Полные степени v и всех совпадают.

Пусть deg v=m. Берутся все монотонные разбиения

Целого числа m такие, что . Рассматривается множество всех таких одночленов .Для каждого составляется одночлен (см. (5)) . Мы уже знаем, что

где - какие-то целые числа. Неопределенные коэффициенты (отсюда и название: метод неопределенных коэффициентов) находятся путем последовательных подстановок в (6) вместо

каких-нибудь целых чисел, чаще всего 0 и 1.

6. Дискриминант многочлена

Рассмотрим в кольце многочлен

Который можно представить в виде определителя Вандермонда

Так как определитель является кососимметричной функцией своих столбцов, то - знак перестановки . Но в таком случае - симметрический многочлен и по основной теореме его можно выразить в виде многочлена от элементарных симметрических функций

Многочлен dis от называется дискриминантом семейства . Его коэффициенты, очевидно, лежат в Z.

Мы можем представить в виде ..Действуя по правилу умножения матриц находим

где - степенные суммы. Вычислив по формулам (I) и (II) выразим . В частности , , так что

Определение. Дискриминант семейства корней многочлена f, или, что равносильно, значение дискриминанта

получающееся при подстановке вместо ,

Называется дискриминантом многочлена f и обозначается D(f). Также он называется дискриминантом алгебраического уравнения

Предложение. D(f)=0 тогда и только тогда, когда уравнение (7) имеет кратные корни (хотя бы один кратный корень кратности k>1).

7. Результант

Определение. Результантом Res(f, g) многочленов f и g называется однородный многочлен (однородная полиномиальная функция) от их коэффициентов (степени m относительно и степени n относительно ) вида

Свойства результанта

1) Res (f, g)=0 тогда и только тогда, когда или же f и g имеют общий множитель в Р[X] степени >0.

2) Пусть многочлены f и g полностью расщепляются на линейные множители в P[X]:

Тогда

3) Имеет место формула

7. Список литературы

1. А.И. Кострикин - «Введение в алгебру»

2. Большой математический энциклопедический словарь

3. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/methods/ode/Kudryashov1998.pdf

4. http://orel3.rsl.ru/mccme/djvu/encikl/enc-el-2.htm

5. Лекции по алгебре 1 курс 1 семестр Сецинской Е.В.

Размещено на www.allbest.