Размещено на http://www.allbest.ru/

2

Содержание

• Введение
• 1. Функциональные уравнения
• 1.1 Понятие функциональных уравнений
• 1.2 Функциональное уравнение линейной однородной функции
• 1.3 Функциональное уравнение показательной функции
• 1.4 Функциональное уравнение логарифмической функции
• 1.5 Функциональное уравнение степенной функции
• 1.6 Метод сведения функционального уравнения к известному уравнению с помощью замены переменной и функции
• 1.7 Метод подстановок
• 1.8 Решение функциональных уравнений с применением теории групп
• 1.9 Предельный переход в решении функциональных уравнений
• 1.10 Дифференцирование в решении функциональных уравнений
• 2. Функциональные неравенства
• 2.1 Линейные неравенства
• 2.2 Квадратичные неравенства
• 2.3 Иррациональные неравенства
• 2.4 Показательные неравенства
• 2.5 Логарифмические неравенства
• Заключение
• Список литературы

Введение

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Во многих ВУЗах в экзаменационные билеты включены уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению.

Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, ведь с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащегося и их математической культуры.

Решению задач с параметрами в школьной программе уделяется мало внимания. Основные трудности при решении задач с параметрами обусловлены тем, что наличие параметра заставляет решать задачу не по шаблону, а рассматривать различные случаи, при каждом из которых методы решения существенно отличаются друг от друга.

Многообразие задач с параметрами охватывает весь курс школьной математики. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.

В ходе изучения неравенств в школьной программе широко используется метод интервалов, наглядно-графический метод и функциональный метод. Наглядно-графический метод применяют, если неравенство нельзя решить аналитически. Под функциональным методом решения неравенств понимают метод решения, опирающийся на использование свойств функций, входящих в неравенство.

Целью настоящей работы является изучение функционального метода решения неравенств и уравнений. В работе будут рассмотрены основные виды функциональных уравнений и неравенств с параметрами, а также способы их решения.

Функциональный метод используется:

1) в обосновании классических методов решения неравенств (теорем равносильности, методов интервалов);

2) используется для решения задач, которые другими методами решить нельзя;

3) некоторые задачи можно решить разными способами, но более рациональным методом является функциональный;

4) при решении неравенств, которые являются математической моделью других задач: нахождение области определения, множества значений функций, нахождение интервалов монотонности.

Решение неравенств, отражающееся на функциональный метод, достаточно нетрадиционно и является творческой задачей.

Задача этой работы обеспечить более полное раскрытие применения функционального метода к решению неравенств, от простых до сложных.

1. Функциональные уравнения

1.1 Понятие функциональных уравнений

Функциональное уравнение - это уравнение, в котором неизвестными являются функции (одна или несколько). Например,

,

Задача решения функциональных уравнений является одной из самых старых в математическом анализе. Они появились почти одновременно с зарождением теории функций. Первый настоящий расцвет этой дисциплины связан с проблемой параллелограмма сил. Ещё в 1769 году Даламбер свёл обоснование закона сложения сил к решению функционального уравнения

(1)

То же уравнение и с той же целью было рассмотрено Пуассоном в 1804 году при некотором предположении аналитичности, между тем как в 1821 году Коши (1789 - 1857) нашёл общие решения:

этого уравнения, предполагая только непрерывность f(x).

Ряд геометрических задач, приводящих к функциональным уравнениям, рассматривал английский математик Ч. Баббедж (1792--1871). Он изучал, например, периодические кривые второго порядка, определяемые следующим свойством для любой пары точек кривой: если абсцисса второй точки равна ординате первой, то ордината второй точки равна абсциссе первой. Пусть такая кривая является графиком функции у = f(х); (х, f(х)) -- произвольная ее точка. Тогда, согласно условию, точка с абсциссой f(х) имеет ординату х. Следовательно,

(2)

Функциональному уравнению (2) удовлетворяют, в частности, функции:

,

Одними из простейших функциональных уравнений являются уравнения Коши:

(3)

(4)

(5)

(6)

Эти уравнения Коши подробно изучил в своём «Курсе Анализа», изданном в 1821 году. Непрерывные решения этих четырёх основных уравнений имеют соответственно вид:

, , ,

В классе разрывных функций могут быть и другие решения.

Функциональное уравнение (3) было применено Г. Дарбу к проблеме параллелограмма сил и к основной теореме проективной геометрии. Функциональное уравнение Коши (3) характеризует в классе непрерывных функций линейную однородную функцию f(x) = ax. Дарбу же показал, что всякое решение, непрерывное хотя бы в одной точке или же ограниченное сверху (или снизу) в произвольно малом интервале, также должно иметь вид f(x) = ax. Дальнейшие результаты по ослаблению предположений следовали быстро один за другим (интегрируемость, измеримость на множестве положительной меры и даже мажорируемость измеримой функцией). Возникает вопрос: существует ли хоть одна какая-нибудь аддитивная функция (т. е. удовлетворяющая (3)), отличная от линейной однородной. Найти такую функцию действительно нелегко!

Многие функциональные уравнения не определяют конкретную функцию, а задают широкий класс функций, т. е. выражают свойство, характеризующее тот или иной класс функций. Например, функциональное уравнение f(x+1) = f(x) характеризует класс функций, имеющих период 1, а уравнение f(1+x) = f(1-x) - класс функций, симметричных относительно прямой x = 1, и т. д.

1.2 Функциональное уравнение линейной однородной функции

Одним из наиболее исследованных в математике является функциональное уравнение Коши (3).

Теорема 1. Линейные однородные функции вида

f(x) = ax (a = const)

удовлетворяют этому уравнению и являются единственными.

Примем данную теорему без доказательства.

Далее в решении уравнений будем опираться на конкретный класс функций, в котором ищется решение. К наиболее общим классам функций относятся:

1. Класс непрерывных функций. Равенство f(x) = ax справедливо и для иррациональных x. Все непрерывные аддитивные функции являются линейными однородными. Соотношение f(x) = ax даёт самое общее решение функционального уравнения (3).

2. Класс монотонных функций. К данному классу относятся функции f, не убывающие на всей действительной оси (случай невозрастания функции рассматривается аналогично).

3. Класс ограниченных функций. Сюда относятся функции f(x), ограниченные с одной стороны (т. е. ограничена либо сверху, либо снизу) на каком-либо интервале (a, b).

4. Класс дифференцируемых функций.

1.3 Функциональное уравнение показательной функции

функциональный уравнение неравенство интервал

Теорема 2: все непрерывные на всей действительной прямой функции, удовлетворяющие функциональному уравнению (4) задаются формулой:

f(x) = a^x (a > 0, а ? 1)

(если не считать функции, тождественно равной 0).

Доказательство: Пусть f(x) - непрерывная и определённая при всех действительных x функция, удовлетворяющая (4). Исключим тривиальное решение f(x) 0. Тогда для некоторого значения x = x₀ эта функция отлична от нуля. Положим в (4) y = x₀ - x:

f(x) ·f(x₀-x) = f(x₀) 0;

отсюда ясно, что f(x) не равна нулю ни при каком x. Заменяя x и y в (4) на x/2, получим

,

так что f(x) строго больше 0 для всех x. Тогда равенство (3) можно прологарифмировать, например, по основанию e:

lnf(x+y) = lnf(x) + lnf(y).

Положив в этом соотношении ц(x = lnf(x)), придём к функциональному уравнению Коши (4):

ц(x+y) = ц(x) + ц(y).

Учитывая, что ц - непрерывная функция (как суперпозиция непрерывных функций), имеем по доказанному:

ц(x) = lnf(x) = cx (c = const),

откуда находим, что

f(x) = e^сx = a^x (если положить a = e^c).

Таким образом, единственной непрерывной функцией, удовлетворяющей уравнению Коши (4), является показательная функция (или тождественно нулевая функция).

1.4 Функциональное уравнение логарифмической функции

Теорема 3. Все непрерывные решения функционального уравнения (5), справедливого для всех положительных значений x и y, имеют вид:

.

Доказательство. Для этого введём новую переменную о, изменяющуюся в промежутке (-; + ), и положим x = eо (ведь x > 0), ц(о) = f(e^о), откуда

о = lnx, f(x) = ц(lnx).

Тогда функция ц удовлетворяет функциональному уравнению (4):

а потому и f(x) = clnx.

Если исключить случай c = 0 (тогда f(x) 0), то полученный результат может быть написан в виде

f(x) = log_a x, a = e^1/c.

1.5 Функциональное уравнение степенной функции

Теорема 4. Функциональному уравнению (6) удовлетворяют в классе непрерывных функций только функции вида: .

Доказательство. Прибегая к той же подстановке, что и в п. 1.3, мы придем к уравнению:

,

откуда ц(о) = c^о (c >0), и, значит,

f(x) = c^lnx = x^a (a = lnc).

Метод последовательного анализа можно применить к решению других уравнений.

Пример 1. Функция f определена и непрерывна на множестве R, f(1) = 1 и для любых действительных x и y:

Чему равно ?

Решение. Из данного равенства при x = y = 0 получаем, что f(0) = 0, а при y = 0 имеем f(x) = f(|x|), так что функция f чётная и достаточно рассматривать только положительные значения аргумента.

По индукции легко получить равенство

;

в самом деле, по предположению индукции

Положив в доказанном равенстве

,

будем иметь

,

т.е. .

Если теперь - положительное рациональное число, то

,

если же x - иррациональное число, то x является пределом последовательности рациональных чисел, , и в силу непрерывности f будем иметь

1.6 Метод сведения функционального уравнения к известному уравнению с помощью замены переменной и функции

Рассмотрим определённые типы функциональных уравнений, которые можно свести к уравнениям, общие решения которых мы уже знаем. Как правило, такие уравнения сводятся к основным уравнениям Коши (3) - (6). Метод основан на введении вспомогательной функции, которую следует подобрать таким образом, чтобы после преобразований было ясно, что она удовлетворяет одному из известных функциональных уравнений.

Пример 2. Найти все непрерывные функции f (x), определенные на промежутке (0;?), для которых разность f (x₁y) - f(x₂y) при произвольных допустимых значениях х₁ и х₂ не зависит от у.

Решение. По условию, выражение f (ху) - f (у) (х_г = х, х₂ = 1) не зависит от у, Поэтому

f(xy) - f(y) = f(x) - f(1).

Положив g (х) = f (x) -- f (1), получим функциональное уравнение Коши

g(xy) = g(x) + g(y).

Известно, что в классе непрерывных функций g (x) = сlnх.

Отсюда

f (х) = cln x+b, где b = f(1).

Проверка показывает, что условию задачи удовлетворяют
функции f (х) = сln х + b при произвольных b и с.

Рассмотрим пример, считая х₁ и х₂ различными фиксированными числами. Так как f (х₁y) - f (х₂у) не зависит от у, то f (х₁y) - f (х₂у) = с. Пусть х₂у = х, тогда f(ах) = f (x)+c, где, а > 0, с -- постоянная. Заменив х на е^х, получим

Вычитая из обеих частей , получим

или g(x + lna) = g(x),

где .

Последнему уравнению удовлетворяют периодические с периодом lnа функции. Отсюда

.

При проверке убеждаемся, что функции вида f(х) = g(ln x) + бlnx, где б - произвольная константа, а g(х) - непрерывная периодическая с периодом функция, обладают требуемым свойством.

Пример 3. Известно, что сложение действительных чисел обладает сочетательным свойством:

(х + у) + z = х + (у + z)

для любых х, y, z R. Требуется найти все непрерывные функции f(х), «сохраняющие» сочетательность, т. е.

f(х + у) + f(z) = f(х) + f(у + z).

Решение. Перепишем последнее уравнение в виде

f(х + у) - f(x) = f(у + z) - f(z)

Легко видеть, что левая часть не зависит от х, т. е.

f(х + у) - f(x) = g(y)

При х = 0 имеем f(у) = g (у) + а, а = f(0). Пришли к функциональному уравнению Коши

.

Его непрерывным решением являются функции g(х) = сх. Таким образом, f (х) = сх + а, где а и с - произвольные константы.

Пример 4. Найти плоские кривые, обладающие следующим свойством: для произвольных двух точек сумма произведений абсциссы одной точки на ординату другой равна ординате точки, абсцисса которой равна произведению абсцисс данных точек.

Решение. Ограничимся отысканием кривых, являющихся графиками непрерывных функций, определенных при положительных значениях аргумента.

Задача сводится к решению функционального уравнения

Пусть . Тогда получим одно из уравнений Коши вида . Так как g (x) непрерывна при х > 0, то . Отсюда с произвольной константой с.

Пример 5. Найти непрерывные решения функционального уравнения

Решение. В качестве вспомогательной функции здесь удобно считать следующую функцию:

Тогда подставляя в исходное уравнение f(x) = g(x) +x², получим

g(x+y) = g(x) + g(y)

Это уравнение Коши его решением является функция g(x) = ax.

Окончательно находим

f(x) = x² + g(x) = x² + ax

и все такие функции удовлетворяют условию.

1.7 Метод подстановок

Заменяя некоторые переменные функционального уравнения либо конкретными значениями, либо какими-либо другими выражениями пытаемся либо упростить это уравнение, либо привести его к такому виду, что дальнейшее решение станет очевидным. Особенность применяемого метода как раз и состоит в том, что в ряде случаев он позволяет отыскать решения в классе всевозможных функций. Поясним метод на следующих примерах.

Пример 6. Найти все функции f(x), заданные на промежутке , для которых выполнено равенство

Решение. Выполнив последовательно две замены приходим к системе функциональных уравнений:

Последнее уравнение есть сумма первых двух, умноженных на -1, т. е. из данной системы функция f(x) однозначно не определяется. Из первых двух уравнений находим:

Мы можем определить f(x) произвольным образом на одном из интервалов и эти формулы дадут нам расширение f(x) на вcе множество I.

Пример 7. Найти решение системы функциональных уравнений относительно неизвестных функций f(x) и g(x):



Решение. В первом уравнении сделаем подстановку 2x = 1/z.

При этом

и первое уравнение принимает вид:

или .

В результате получаем систему уравнений:

,

решение которой g(x) = 1/x, f(x) = x+1.

1.8 Решение функциональных уравнений с применением теории групп

В уравнении под знаком неизвестной функции f(x) стоят функции g₁ = х и g₂ = а - х. В результате замены х на а - х получено еще одно уравнение, содержащее те же функции f(х) и f (а - х). Функции g₁ и g₂ образуют группу относительно композиции функций. Понятие группы позволяет в ряде случаев выбрать целесообразные подстановки для решения функциональных уравнений.

Пусть в функциональном уравнении

выражения f₀(x) = x, f₁(x), …, f_n-1(x), стоящие под знаком неизвестной функции g (x), являются элементами конечной группы порядка n относительно композиции функций. Коэффициенты уравнения а₀, а₁ ..., а_n-1, b в общем случае зависят от x. Некоторые из них могут равняться 0. Предположим, что уравнение имеет решение. Заменим х на f₁(x). Эта замена равносильна умножению справа всех элементов группы f₁. В результате последовательность функций f₀, f₁, …, f_n-1 перейдет в последовательность , состоящую из всех элементов группы.

Произведенная замена перевела исходное уравнение - линейное относительно неизвестных g(f₀), g(f₁), …,g( f_n-1) - в новое линейное уравнение относительно тех же неизвестных. Заменяя далее x > f₂(x), x > f₃(x),…, x > f_n(x) получим систему n линейных уравнений с n неизвестными.

Решая эту систему, находим неизвестную функцию g(f₀) = g(x), если, конечно, система имеет решение. Непосредственной проверкой следует убедиться, что полученная функция удовлетворяет исходному уравнению. Рассмотренный метод ограничивает область определения функции, так как приходится отбрасывать те значения аргумента, при которых элементы группы не имеют смысла.

Пример 8. Решить уравнение

Решение. На множестве {х, 1, -х, 1, 0} определена операция композиции, если рассматривать числа 1 и 0 как функции, тождественно равные константе. Таблица умножения здесь имеет вид:

Из таблицы видно, что для элементов 1 и 0 не существует обратных, т. е. данное множество функций не является группой. В алгебре множества с ассоциативной операцией называют полугруппами. Полугруппы в отдельных случаях можно применить к решению функциональных уравнений.

Делая в исходном уравнении последовательно замены х > 1 - х, x > 1, x > 1 получим систему

Из двух последних уравнений имеем .

Теперь из первых двух уравнений найдем: . Проверка показывает, что найденная функция удовлетворяет исходному уравнению.

1.9 Предельный переход в решении функциональных уравнений

Идею предельного перехода проиллюстрируем на следующих примерах.

Пример 9. Решить в классе непрерывных функций уравнение

, где х R.

Решение. Заменив х на , получим

.

Используя ту же замену, из последнего уравнения последовательно получим:

,

,

Методом математической индукции можно доказать, что

.

Сложив последние уравнения, получим:

.

Так как функция f(х) непрерывна, то при любом фиксированном х

.

Здесь . Из исходного уравнения , тогда

.

Левая часть равенства не зависит от n, поэтому существует ее предел при n > ?. Переходя к пределу в равенстве, при n > ? имеем

.

Правая часть последнего уравнения является суммой трех бесконечно убывающих прогрессий:

Итак, , что и подтверждается проверкой.

1.10 Дифференцирование в решении функциональных уравнений

В некоторых случаях для нахождения решения функционального уравнения целесообразно продифференцировать обе части уравнения, если, конечно, производная существует. В результате получим функциональное уравнение, которое содержит и производную неизвестной функции. Решим это уравнение относительно производной. Тогда неизвестная функция является одной из первообразных для найденной производной. Этот метод уже применялся при решении уравнения Коши в классе дифференцируемых функций.

Пример 10. Найти в классе функций, имеющих непрерывные производные, решение уравнения f(3x+2) = 3f(x), x R.

Решение. Попытки решить уравнение методом предельного перехода не приводят к желаемому результату. Левая и правая части уравнения являются функциями от х. Они равны, следовательно, равны их производные по х. Продифференцируем уравнение и после сокращения получим:

f?(3x+2) = 3f?(x)

Это уравнение уже можно решить методом предельного перехода. Выполнив подстановку , получим цепочку равенств

Ввиду непрерывности , при n > ?, имеем

Итак, = k, где k === . Первообразная функция f(х) == kx + b. Подставив в (6.13) х = -1, получим f(--1) = 0. Кроме того, f(-1) = - k + b, т. е. k = b. Легко проверить, что f (х) = k (х + 1) удовлетворяет условию при произвольном k.

2. Функциональные неравенства

2.1 Линейные неравенства

Решение линейных неравенств основывается на свойствах числовых неравенств. Но можно использовать и графическую интерпретацию. Основываясь на графической интерпретации можно получить для неравенства вида:

1) ах > b

(1) При а < 0 и , , т.е. ;

(2) При и , ;

(3) При и , решений нет;

(4) При и , .

2)

(1) При и , ;

(2) При и , ;

(3) При и , решений нет;

(4) При и , .

3)

(1) При и , , т.е. ;

(2) При и , ;

(3) При и , решений нет;

(4) При и , , .

Аналогично для неравенств вида , .

Рассмотрим пример, связанный с решением линейных неравенств.

Пример 11. При всех значениях параметра а решить неравенство .

Решение. После элементарных преобразований получим:

,

.

Далее рассмотрим три случая:

а) если , то есть , то лишь в том случае, когда ;

б) если , то есть , то в том случае, если ;

в) если , то неравенство примет вид , т.к. это истинное числовое неравенство, то из этого следует, что любое действительное число является решением исходного неравенства. Получаем ответ:

при ;

при ;

при

Многие задачи в математике приводят к необходимости решать систему линейных неравенств. Например, чтобы найти область определения выражения , надо решить систему ; чтобы найти множество решений неравенства , надо решить системы

Поэтому специальное внимание в курсе алгебры уделяется системам линейных неравенств с одной переменной.

Рассмотрим пример, требующий составления систем неравенств.

Пример 12. Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения удовлетворяют условию .

Решение. Из области определения уравнения следует, что и . Преобразуем данное уравнение: или .

При уравнение корней не имеет. Пусть теперь и , тогда . Используя условие , составим и решим систему неравенств:

Решим полученную систему методом интервалов (рис.1)



Рис. 1. Решение системы методом интервалов

Ответ: .

2.2 Квадратичные неравенства

Ранее при решении квадратичных неравенств в школьном курсе использовалась методика, по которой решение неравенств вида 0 основывалась на результате исследования квадратного трехчлена, полученного путем довольно сложных аналитических рассуждений.

Принципиально иная методика изложения вопроса о решении неравенств второй степени с одной переменной предлагается сейчас в VIII классе. При решении неравенств вида 0 используются соображения о расположении графика квадратичной функции относительно оси ОХ, которое определяется двумя условиями:

1) является ли значение дискриминанта D квадратичного трехчлена положительным числом, нулем или отрицательным числом;

2) какой знак коэффициента а.

Изобразим схематически возможные случаи расположения графика квадратичной функции в зависимости от а, D.



Рис. 2. Случаи расположения графика квадратичной функции

В результате определенной тренировки учащиеся привыкают пользоваться такой системой, а затем ее мысленным образом.

Аналогично можно составить схему решений неравенства вида .

Рис. 3. Случаи расположения графика квадратичной функции

Заметим, что для использования графических соображений нет необходимости изображать параболы, достаточно мысленно представить, как расположена эта парабола в координатной плоскости.

Пусть, например, требуется решить неравенство . Вычислив дискриминант D трехчлена , находим, что D = 9, т.е. D > 0. Значит, парабола пересекает ось ОХ в двух точках. Чтобы найти абсциссы этих точек, вычисляем корни трехчлена, они равны 0,5 и 2. Учитывая, что ветви параболы направлены вверх и что парабола пересекает ось Х в точках 0,5 и 2, изображаем ее схематически (или мысленно представим). Используя рисунок устанавливаем, что множество решений неравенства есть .

Пример 13. При каком условии решения неравенства находятся между корнями квадратного трехчлена ?

Решение. Рассмотрим функцию . Графиком функции является парабола.

1) если , то ветви параболы направлены вверх.

а. Если , то парабола имеет с осью ОХ две точки пересечения, значит, решением неравенства являются значения , но они не удовлетворяют поставленной задаче.

б. Если , то парабола не имеет с осью ОХ точек пересечения. Решением неравенства являются все действительные числа, что опять не удовлетворяет условию.

2) Если , то ветви параболы направлены вниз.

а. Если , то решений нет.

б. Если , то решений нет.

в. Если , то - эти значений удовлетворяют условию задачи.

Значит, при , решения неравенства находятся между корнями квадратного трехчлена .

Ответ: при , .

Пример 14.Найти все значения параметра а, при которых неравенство имеет хотя бы одно отрицательное значение.

Решение. Решим эту систему графически. Для этого в системе координат хОа построим графики функций (рис. 4).

1) , координаты вершины ;

2) , координаты вершины .

Так как решения неравенства, согласно условию, должны быть отрицательны, то из построенного графика (рис.3) видно, что .

Рис. 4. Графическая иллюстрация к примеру 13

2.3 Иррациональные неравенства

При решении иррациональных неравенств используются следующие теоремы равносильности.

Теорема 1. При натуральном n, уравнение равносильно системе:

Теорема 2. При неравенство равносильно системе неравенств:

Теорема 3. При неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:

и .

Из этих теорем следует, что решение иррациональных неравенств сводится к решению рациональных уравнений. Важно при решении иррациональных неравенств обращать особое внимание на область допустимых значений функций.

Например, решить неравенства:

а) , выполнимо при ;

б) согласно области определения неравенство не выполняется ни при каких значениях х;

в) . Данное неравенство выполнимо только при а>0 и x<-1;

г) выполнимо при а любом и ;

д) . Так как согласно определению квадратного корня левая часть неравенства должна быть неотрицательной, то неравенство с учетом области определения примет вид .

Таким образом, при решении неравенств, содержащих иррациональности, необходимо обязательно использовать свойства, входящих в него функций.

Обобщая изложенное можно сделать заключение о том, что заменяя, скажем, неравенство неравенством, мы применяем к обеим частям исходного неравенства функцию .

Если применяемая функция монотонно возрастает на участке, где расположены значения левой и правой частей неравенства, то такое преобразование неравенства являются равносильными и, следовательно его применение не приводит к ошибкам в ответе. В противном случае возможны ошибки. Но функция монотонно возрастает только на луче , поэтому возводить в квадрат обе части неравенства можно только убедившись предварительно в их неотрицательности.

В случае условие вытекает из строения области определения функции , условие должно выполняться в силу неравенства , поэтому возможно возведение в квадрат.

Неравенство вида:

.

Возведение в куб обеих частей приводит к равносильному неравенству, поскольку функция монотонно возрастает на всей числовой прямой.

Пример 15. Решить систему уравнений

Решение. Вычтем из первого уравнения второе. Получим

.

Рассмотрим функцию . Она возрастающая. Имеем . Следовательно, . Отсюда .

Это уравнение равносильно системе:

Очевидно, что

.

Ответ: Если , то ; Если , то решений нет.

2.4 Показательные неравенства

Пусть а - фиксированное число, такое, что а > 0 и . Рассмотрим неравенства: (*) и (**).

Область допустимых значений этих неравенств совпадает со всей числовой прямой, функция положительна и строго монотонна, следовательно, при неравенство (*) выполняется при любом х из области допустимых значений, а неравенство (**) не имеет решений. При приходится рассмотреть два случая: а > 1 и 1 > a > 0.

Пусть а > 1, тогда на всей числовой прямой функция является возрастающей (рис. 5 слева). Значение, равное b, она принимает в единственной точке , и поэтому решением неравенства (*) является все , а решением неравенства (**) - все .

Пусть , тогда на всей числовой прямой функция является убывающей (рис. 5 справа), и поэтому решением неравенства (*) являются все , а решением неравенства (**) - все , где .



Рис. 5. Решение показательных неравенств

Пример 16. Для каждого значения а решить неравенство .

Решение. Запишем неравенство в виде:

Ответ: при ; при , .

Пример 17. Решить неравенство .

Решение. Преобразуем неравенство . В обозначениях , неравенство примет вид:

.

Найдем корни соответствующего уравнения

,

, .

Причем

Значит неравенство равносильно совокупности

Ответ: .

2.5 Логарифмические неравенства

Пусть а - фиксированное число такое, что и .

Рассмотрим неравенства (1) и (2)

Областью допустимых значений этих неравенств является положительная полуось. Поскольку свойства логарифмической функции различны при основаниях, меньших и больших единицы, то рассмотрим случаи и .

Пример 18. Найти все значения а, при каждом из которых неравенство выполняется для всех х.

Решение. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

Система 1) не может выполняться ни при одном х, так как

Ответ: .

При решении логарифмических неравенств, содержащих несколько различных функций под знаком логарифмов, рекомендуется сначала найти область определения исходного выражения, и лишь затем совершать необходимые преобразования.

Пример 19. Решить неравенство

.

Решение. Ключевым моментом в решении данного неравенства является поиск его области определения.



Мы выяснили, что область определения неравенства состоит только из двух точек. Осталось подстановкой выяснить, какие из этих точек удовлетворяют неравенству.

При неравенство принимает вид - истинно.

При неравенство принимает вид

- ложно.

Ответ: .

Заключение

В данной курсовой работе были рассмотрены основные виды функциональных уравнений и неравенств, а также способы их решения.

В ходе работы было выявлено, что функциональные уравнения - это общий класс уравнений, в которых искомой является некоторая функция. К функциональным уравнениям по существу относятся дифференциальные уравнения, интегральные уравнения, уравнения в конечных разностях. Под функциональным уравнением в узком смысле слова понимают уравнения, в которых искомые функции связаны с известными функциями одного или нескольких переменных при помощи операции образования сложной функции. Функциональное уравнение можно также рассматривать как выражение свойства, характеризующего тот или иной класс функций.

Функциональные уравнения имеют большое применение. Так, например, в теории аналитических функций часто применяются для введения новых классов функций.

Условия симметрии, имеющиеся в какой-либо физической задаче, обусловливают определённые законы преобразования решений этой задачи при тех или иных преобразованиях координат. Этим определяются функциональные уравнения, которым должно удовлетворять решение данной задачи. Знание соответствующих функциональных уравнений во многих случаях облегчает нахождение решений.

При изучении функциональных неравенств был рассмотрен функциональный методы их решения.

Функциональный метод используется в обосновании классических методов решения неравенств (теорем равносильности, методов интервалов), для решения задач, которые другими методами решить нельзя, при решении неравенств, которые являются математической моделью других задач: нахождение области определения, множества значений функций, нахождение интервалов монотонности.

Список литературы

1. Андреев А.А., Кузьмин Ю.Н.., Савин А.Н., Саушкин И.Н. Функциональные уравнения. - Самара: В мире науки, 1999.

2. В.В. Вавилов, И.И. Мельников и др. «Задачи по математике. Уравнения и неравенства» М.: Изд. «Наука» 1987 г.

3. В.Г. Болтянский, Ю.В. Сидоров, М.И. Шабунин «Лекции и задачи по элементарной математике» М.: Изд. «Наука» 1974 г.

4. И.И. Мельников, И.Н. Сергеев «Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах», М.: Издательство МТУ, 1990 г.

5. Л.М. Фридман, Е.Н. Турецкий «Как научиться решать задачи» Книга для учащихся старших классов средней школы. М.: «Просвещение» 1987 г.

6. Лихтарников Л.М. Элементарное введение в функциональные уравнения.- СПб.: Лань, 1997. - 160 с.

7. М.К. Потапов, В.В. Александров, П.И. Пасиченко «Лекции по алгебре и элементарным функциям» Изд. Москва МТУ 1978 г.

8. Т.М. Королева, Е.Г. Маркорян, Ю.М. Нейман «Пособие по математики в помощь участникам компьютерного тестирования» М.: 2002 г.

9. Ф.Ф. Лысенко, В.Ю. Калашников «Подготовка к ЕГЭ по математике» Ростов-на-Дону 2002 г.

Размещено на Allbest.ru