Методы решения жестких краевых задач, включая новые методы и программы на С++ для реализации приведенных методов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Методы решения жестких краевых задач, включая новые методы и программы на С++ для реализации приведенных методов

к.ф.-м.н. Алексей Юрьевич Виноградов

Москва, 2013

Содержание:

1. Введение

2. Случай переменных коэффициентов

3. Формула для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений

4.1 Метод «переноса краевых условий» в произвольную точку интервала интегрирования

4.2 Программа на С++ расчета цилиндрической оболочки (постоянные коэффициенты системы ОДУ)

4.3 Программа на С++ расчета сферической оболочки (переменные коэффициенты системы ОДУ)

5. Второй вариант метода «переноса краевых условий» в произвольную точку интервала интегрирования

6. Метод дополнительных краевых условий

7. Формула для начала счета методом прогонки С.К. Годунова

8. Второй алгоритм для начала счета методом прогонки С.К.Годунова

9. Замена метода численного интегрирования Рунге-Кутта в методе прогонки С.К. Годунова

10. Метод половины констант

11. Применяемые формулы ортонормирования

12. Вывод формул, позаимствованный из «Теории матриц» Гантмахера

13. P.P.S. Метод для численного интегрирования дифференциальных уравнений

14. Программа на С++ расчета цилиндра

дифференциальное уравнение вектор программа

1. Введение

На примере системы дифференциальных уравнений цилиндрической оболочки ракеты - системы обыкновенных дифференциальных уравнений 8-го порядка (после разделения частных производных).

Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид:

Y(x) = A(x) • Y(x) + F(x),

где Y(x) - искомая вектор-функция задачи размерности 8х1, Y(x) - производная искомой вектор-функции размерности 8х1, A(x) - квадратная матрица коэффициентов дифференциального уравнения размерности 8х8, F(x) - вектор-функция внешнего воздействия на систему размерности 8х1.

Здесь и далее вектора обозначаем жирным шрифтом вместо черточек над буквами

Краевые условия имеют вид:

U•Y(0) = u,

V•Y(1) = v,

где

Y(0) - значение искомой вектор-функции на левом крае х=0 размерности 8х1, U - прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий левого края размерности 4х8, u - вектор внешних воздействий на левый край размерности 4х1,

Y(1) - значение искомой вектор-функции на правом крае х=1 размерности 8х1, V - прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий правого края размерности 4х8, v - вектор внешних воздействий на правый край размерности 4х1.

В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с постоянными коэффициентами A=const, решение задачи Коши имеет вид [Гантмахер]:

Y(x) = e• Y(x) + e• e• F(t) dt,

где

e= E + A(x-x) + A (x-x)/2! + A (x-x)/3! + …,

где E это единичная матрица.

Матричная экспонента ещё может называться матрицей Коши или матрициантом и может обозначаться в виде:

K(x<x) = K(x - x) = e.

Тогда решение задачи Коши может быть записано в виде:

Y(x) = K(x<x) • Y(x) + Y*(x<x) ,

где Y*(x<x) = e• e• F(t) dt это вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений.

2. Случай переменных коэффициентов

Этот вариант рассмотрения переменных коэффициентов проверялся в кандидатской диссертации.

Из теории матриц [Гантмахер] известно свойство перемножаемости матричных экспонент (матриц Коши):

e= e• e • … • e • e,

K(x<x) = K(x<x) • K(x<x) • … • K(x<x) • K(x<x).

В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с переменными коэффициентами A=A(x), решение задачи Коши предлагается искать при помощи свойства перемножаемости матриц Коши. То есть интервал интегрирования разбивается на малые участки и на малых участках матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле для постоянной матрицы в экспоненте. А затем матрицы Коши, вычисленные на малых участках, перемножаются:

K(x<x) = K(x<x) • K(x<x) • … • K(x<x) • K(x<x),

где матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле:

K(x<x) = e, где ?x= x- x.

3. Формула для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений

Эта очень простая формула еще не обсчитана на компьютерах. Вместо неё обсчитывалась значительно ранее выведенная (выведенная моим отцом) и гораздо более сложная формула, приведенная в:

Численный метод переноса краевых условий для жестких дифференциальных уравнений строительной механики Журнал "ММ", Том: 14 (2002), Номер: 9, 3 стр. 1409-003r.pdf

Вместо формулы для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений в виде [Гантмахер]:

Y*(x<x) = e• e• F(t) dt

предлагается использовать следующую формулу для каждого отдельного участка интервала интегрирования:

Y*(x<x) = Y*(x- x) = K(x- x) •K(x- t) • F(t) dt .

Правильность приведенной формулы подтверждается следующим:

Y*(x- x) = e•e• F(t) dt ,

Y*(x- x) = e•e• F(t) dt ,

Y*(x- x) = e• F(t) dt ,

Y*(x- x) = e• F(t) dt ,

Y*(x- x) = e• e• F(t) dt ,

Y*(x<x) = e• e• F(t) dt,

что и требовалось подтвердить.

Вычисление вектора частного решения системы дифференциальных уравнений производиться при помощи представления матрицы Коши под знаком интеграла в виде ряда и интегрирования этого ряда поэлементно:

Y*(x<x) = Y*(x- x) = K(x- x) •K(x- t) • F(t) dt =

= K(x- x) • (E + A(x- t) + A (x- t)/2! + … ) • F(t) dt =

= K(x- x) • (EF(t) dt + A•(x- t) • F(t) dt + A/2! •(x- t) • F(t) dt + … ) .

Эта формула справедлива для случая системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей коэффициентов A=const.

Вектор F(t) может рассматриваться на участке (x- x) приближенно в виде постоянной величины F(х)=constant, что позволят вынести его из под знака интеграла, что приводит к совсем простому ряду для вычислений на рассматриваемом участке.

Для случая дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами в приведенной выше формуле для каждого участка может использоваться осредненная матрица А: A=А(х) коэффициентов системы дифференциальных уравнений.

Приведем (итерационные или рекуррентные) формулы вычисления вектора частного решения, например, Y*(x<x) на рассматриваемом участке (x<x) через вектора частного решения Y*(x<x), Y*(x<x), Y*(x<x) соответствующих подучастков (x<x), (x<x), (x<x).

Имеем:

Y(x) = K(x<x) • Y(x) + Y*(x<x) ,

Также имеем формулу для отдельного подучасточка:

Y*(x<x) = Y*(x- x) = K(x- x) •K(x- t) • F(t) dt.

Можем записать:

Y(x) = K(x<x) • Y(x) + Y*(x<x) ,

Y(x) = K(x<x) • Y(x) + Y*(x<x) .

Подставим Y(x) в Y(x) и получим:

Y(x) = K(x<x) • [K(x<x) • Y(x) + Y*(x<x)] + Y*(x<x) =

= K(x<x) • K(x<x) • Y(x) + K(x<x) • Y*(x<x) + Y*(x<x).

Сравним полученное выражение с формулой:

Y(x) = K(x<x) • Y(x) + Y*(x<x)

и получим, очевидно, что K(x<x) = K(x<x) • K(x<x) и, самое главное здесь - для частного вектора получаем формулу:

Y*(x<x) = K(x<x) • Y*(x<x) + Y*(x<x).

То есть вектора подучастков Y*(x<x) и Y*(x<x) не просто складываются друг с другом, а с участием матриц Коши подучастков.

Аналогично запишем:

Y(x) = K(x<x) • Y(x) + Y*(x<x)

И подставим сюда формулу для Y(x) и получим:

Y(x) = K(x<x) • [K(x<x) • K(x<x) • Y(x) + K(x<x) • Y*(x<x) + Y*(x<x)] + Y*(x<x) =

= K(x<x) • K(x<x) • K(x<x) • Y(x) + K(x<x) • K(x<x) • Y*(x<x) + K(x<x) • Y*(x<x) + Y*(x<x).

Сравнив полученное выражение с формулой:

Y(x) = K(x<x) • Y(x) + Y*(x<x)

очевидно, получаем, что K(x<x) = K(x<x) • K(x<x) • K(x<x) и вместе с этим получаем формулу для частного вектора:

Y*(x<x) = K(x<x) • K(x<x) • Y*(x<x) + K(x<x) • Y*(x<x) + Y*(x<x).

То есть именно так (по своеобразным рекуррентным формулам) и вычисляется частный вектор - вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений, то есть так вычисляется, например, частный вектор Y*(x<x) всего участка (x<x) на основе вычисленных векторов Y*(x<x), Y*(x<x), Y*(x<x) подучастков (x<x), (x<x), (x<x).

4.1 Метод «переноса краевых условий» в произвольную точку интервала интегрирования

Метод обсчитан на компьютерах. По нему уже сделано 3 кандидатских физ-мат диссертации.

Метод подходит для любых краевых задач. А для «жестких» краевых задач показано, что метод считает быстрее, чем метод С.К.Годунова до 2-х порядков (в 100 раз), а для некоторых «жестких» краевых задач не требует ортонормирования вовсе. Смотри:

Численный метод переноса краевых условий для жестких дифференциальных уравнений строительной механики
Журнал "ММ", Том: 14 (2002), Номер: 9, 3 стр. 1409-003r.pdf

Полное решение системы дифференциальных уравнений имеет вид

Y(x) = K(x<x) • Y(x) + Y*(x<x) .

Или можно записать:

Y(0) = K(0<x) • Y(x) + Y*(0<x) .

Подставляем это выражение для Y(0) в краевые условия левого края и получаем:

U•Y(0) = u,

U•[ K(0<x) • Y(x) + Y*(0<x) ] = u,

[ U• K(0<x) ] • Y(x) = u - U•Y*(0<x) .

Или получаем краевые условия, перенесенные в точку x:

U• Y(x) = u ,

где U= [ U• K(0<x) ] и u = u - U•Y*(0<x) .

Далее запишем аналогично

Y(x) = K(x<x) • Y(x) + Y*(x<x)

И подставим это выражение для Y(x) в перенесенные краевые условия точки x

U• Y(x) = u,

U• [ K(x<x) • Y(x) + Y*(x<x) ] = u ,

[ U• K(x<x) ] • Y(x) = u - U• Y*(x<x) ,

Или получаем краевые условия, перенесенные в точку x:

U• Y(x) = u ,

где U= [ U• K(x<x) ] и u = u - U• Y*(x<x) .

Покажем перенос краевых условий с правого края.

Можно записать:

Y(1) = K(1<x) • Y(x) + Y*(1<x) .

Подставляем это выражение для Y(1) в краевые условия правого края и получаем:

V•Y(1) = v,

V•[ K(1<x) • Y(x) + Y*(1<x) ] = v,

[ V• K(1<x)] • Y(x) = v - V• Y*(1<x).

Или получаем краевые условия, перенесенные в точку x:

V• Y(x) = v ,

где V• = [V• K(1<x)] и v = v - V• Y*(1<x).

Далее запишем аналогично

Y(x) = K(x<x) • Y(x) + Y*(x<x)

И подставим это выражение для Y(x) в перенесенные краевые условия точки x

V• Y(x) = v ,

V• [K(x<x) • Y(x) + Y*(x<x) ] = v ,

[V• K(x<x)] • Y(x) = v - V• Y*(x<x).

Или получаем краевые условия, перенесенные в точку x:

V• Y(x) = v ,

где V• = [V• K(x<x)] и v = v - V• Y*(x<x).

И так в точку x переносим матричное краевое условие с левого края и таким же образом переносим матричное краевое условие с правого края и получаем:

U• Y(x) = u ,

V• Y(x) = v .

Из этих двух матричных уравнений с прямоугольными горизонтальными матрицами коэффициентов очевидно получаем одну систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов:

• Y(x) = .

А в случае «жестких» дифференциальных уравнений предлагается применять построчное ортонормирование матричных краевых условий в процессе их переноса в рассматриваемую точку. Для этого формулы ортонормирования систем линейных алгебраических уравнений можно взять в [Березин, Жидков].

То есть, получив

U• Y(x) = u,

применяем к этой группе линейных алгебраических уравнений построчное ортонормирование и получаем эквивалентное матричное краевое условие:

U• Y(x) = u.

И теперь уже в это проортонормированное построчно уравнение подставляем

Y(x) = K(x<x) • Y(x) + Y*(x<x) .

И получаем

U• [ K(x<x) • Y(x) + Y*(x<x) ] = u ,

[ U• K(x<x) ] • Y(x) = u - U• Y*(x<x) ,

Или получаем краевые условия, перенесенные в точку x:

U• Y(x) = u ,

где U= [ U• K(x<x) ] и u = u - U• Y*(x<x) .

Теперь уже к этой группе линейных алгебраических уравнений применяем построчное ортонормирование и получаем эквивалентное матричное краевое условие:

U• Y(x) = u.

И так далее.

И аналогично поступаем с промежуточными матричными краевыми условиями, переносимыми с правого края в рассматриваемую точку.

В итоге получаем систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов, состоящую из двух независимо друг от друга поэтапно проортонормированных матричных краевых условий. Эта система решается методом Гаусса с выделением главного элемента для получения решения Y(x) в рассматриваемой точке x:

• Y(x) = .

4.2 Программа на С++ расчета цилиндрической оболочки

В качестве проверочных задач использовалась схема консольно закрепленных цилиндрической и сферической оболочек с параметрами R/h=50, 100, 200. Длина цилиндрической оболочки рассматривалась L/R=2, а угловые координаты сферической оболочки рассматривались от /4 до 3/4. На свободном крае рассматривалось нормальное к поверхности оболочек погонное усилие, равномерно распределенное в интервале [-/4, /4]. В качестве среды программирования использовалась система Microsoft Visual Studio 2010 (Visual C++).

Первоначально метод был предложен и обсчитывался в кандидатской диссертации А.Ю.Виноградова в 1993-1995 годах. Тогда оказалось, что без использования ортонормирования в рамках метода успешно решаются задачи осесимметрично нагруженных оболочек вращения. Расчеты тогда выполнялись на компьютере поколения 286. Задачи же неосесимметричного нагружения оболочек вращения можно было решать на компьютерах поколения 286 только с применением процедур построчного ортонормирования - как это и предлагалось в рамках метода. Без процедур ортонормирования в неосесимметричных случаях выдавались только ошибочные графики, представлявшие собой хаотично скачущие большие отрицательные и большие положительные значения, например, изгибающего обезразмеренного момента М1.

Современные компьютеры имеют значительно более совершенное внутреннее устройство и более точные внутренние операции с числами, чем это было в 1993-1995 годах. Поэтому было интересно рассмотреть возможность расчета неосесимметрично нагруженных оболочек, например, цилиндров, на современном аппаратном и программном обеспечении в рамках предложенного метода «переноса краевых условий» совсем без использования процедур построчного ортонормирования.

Оказалось, что неосесимметрично нагруженные цилиндры при некоторых параметрах на современных компьютерах уже можно решать в рамках предложенного метода «переноса краевых условий» совсем без применения операций построчного ортонормирования. Это, например, при параметрах цилиндра L/R=2 и R/h=100.

При параметрах цилиндра L/R=2 и R/h=200 все же оказываются необходимыми процедуры ортонормирования. Но на современных персональных компьютерах уже не наблюдаются сплошные скачки значений от больших отрицательных до больших положительных по всему интервалу между краями цилиндра - как это было на компьютерах поколения 286. В частном случае L/R=2 и R/h=200 наблюдаются лишь незначительные скачки в районе максимума изгибающего обезразмеренного момента М1 на левом крае и небольшой скачек обезразмеренного момента М1 на правом крае.

Приводятся графики изгибающего обезразмеренного момента М1:

- слева приводятся графики, полученные при использовании операций построчного ортонормирования на каждом из 100 шагов, на которые разделялся участок между краями цилиндра,

- справа приводятся графики, полученные совсем без применения операций построчного ортонормирования.

Следует сказать, что в качестве расчетной среды использовалась 32-х битная операционная система Windows XP и среда программирования Microsoft Visual Studio 2010 (Visual C++) использовалась в тех же рамках 32-х битной организации операций с числами. Параметры компьютера такие: ноутбук ASUS M51V (CPU Duo T5800).

Компьютеры будут и дальше развиваться такими же темпами как сейчас и это означает, что в самое ближайшее время для подобных расчетов типа расчета неосесимметрично нагруженных оболочек вращения совсем не потребуется применять ортонормирование в рамках предложенного метода «переноса краевых условий», что существенно упрощает программирование метода и увеличивает скорость расчетов не только по сравнению с другими известными методами, но и по сравнению с собственными характеристиками метода «переноса краевых условий» предыдущих лет.

ПРОГРАММА НА С++ (РАСЧЕТ ЦИЛИНДРА):

//from_A_Yu_Vinogradov.cpp: главный файл проекта.

//Решение краевой задачи - цилиндрической оболочки.

//Интервал интегрирования разбит на 100 участков: левый край - точка 0 и правый край - точка 100

#include "stdafx.h"

#include <iostream>

#include <conio.h>

using namespace std;

//Скалярное произведение векторов - i-й строки матрицы А и j-й строки матрицы С.

double mult(double A[8][8], int i, double C[8][8], int j){

double result=0.0;

for(int k=0;k<8;k++){

result+=A[i][k]*C[j][k];

}

return result;

}

//Вычисление нормы вектора, где вектор это i-я строка матрицы А.

double norma(double A[8][8], int i){

double norma_=0.0;

for(int k=0;k<8;k++){

norma_+=A[i][k]*A[i][k];

}

norma_=sqrt(norma_);

return norma_;

}

//Выполнение ортонормирования. Исходная система A*x=b размерности 8х8 приводиться к системе C*x=d, где строки матрицы С ортонормированы.

void orto_norm_8x8(double A[8][8], double b[8], double C[8][8], double d[8]){

double NORM;

double mult0,mult1,mult2,mult3,mult4,mult5,mult6,mult7;

//Получаем 1-ю строку уравнения C*x=d:

NORM=norma(A,0);

for(int k=0;k<8;k++){

C[0][k]=A[0][k]/NORM;

}

d[0]=b[0]/NORM;

//Получаем 2-ю строку уравнения C*x=d:

mult0=mult(A,1,C,0);

for(int k=0;k<8;k++){

C[1][k]=A[1][k]-mult0*C[0][k];

}

NORM=norma(C,1);

for(int k=0;k<8;k++){

C[1][k]/=NORM;

}

d[1]=(b[1]-mult0*d[0])/NORM;

//Получаем 3-ю строку уравнения C*x=d:

mult0=mult(A,2,C,0); mult1=mult(A,2,C,1);

for(int k=0;k<8;k++){

C[2][k]=A[2][k]-mult0*C[0][k]-mult1*C[1][k];

}

NORM=norma(C,2);

for(int k=0;k<8;k++){

C[2][k]/=NORM;

}

d[2]=(b[2]-mult0*d[0]-mult1*d[1])/NORM;

//Получаем 4-ю строку уравнения C*x=d:

mult0=mult(A,3,C,0); mult1=mult(A,3,C,1); mult2=mult(A,3,C,2);

for(int k=0;k<8;k++){

C[3][k]=A[3][k]-mult0*C[0][k]-mult1*C[1][k]-mult2*C[2][k];

}

NORM=norma(C,3);

for(int k=0;k<8;k++){

C[3][k]/=NORM;

}

d[3]=(b[3]-mult0*d[0]-mult1*d[1]-mult2*d[2])/NORM;

//Получаем 5-ю строку уравнения C*x=d:

mult0=mult(A,4,C,0); mult1=mult(A,4,C,1); mult2=mult(A,4,C,2); mult3=mult(A,4,C,3);

for(int k=0;k<8;k++){

C[4][k]=A[4][k]-mult0*C[0][k]-mult1*C[1][k]-mult2*C[2][k]-

mult3*C[3][k];

}

NORM=norma(C,4);

for(int k=0;k<8;k++){

C[4][k]/=NORM;

}

d[4]=(b[4]-mult0*d[0]-mult1*d[1]-mult2*d[2]-mult3*d[3])/NORM;

//Получаем 6-ю строку уравнения C*x=d:

mult0=mult(A,5,C,0); mult1=mult(A,5,C,1); mult2=mult(A,5,C,2); mult3=mult(A,5,C,3); mult4=mult(A,5,C,4);

for(int k=0;k<8;k++){

C[5][k]=A[5][k]-mult0*C[0][k]-mult1*C[1][k]-mult2*C[2][k]-

mult3*C[3][k]-mult4*C[4][k];

}

NORM=norma(C,5);

for(int k=0;k<8;k++){

C[5][k]/=NORM;

}

d[5]=(b[5]-mult0*d[0]-mult1*d[1]-mult2*d[2]-mult3*d[3]-mult4*d[4])/NORM;

//Получаем 7-ю строку уравнения C*x=d:

mult0=mult(A,6,C,0); mult1=mult(A,6,C,1); mult2=mult(A,6,C,2); mult3=mult(A,6,C,3); mult4=mult(A,6,C,4); mult5=mult(A,6,C,5);

for(int k=0;k<8;k++){

C[6][k]=A[6][k]-mult0*C[0][k]-mult1*C[1][k]-mult2*C[2][k]-

mult3*C[3][k]-mult4*C[4][k]-mult5*C[5][k];

}

NORM=norma(C,6);

for(int k=0;k<8;k++){

C[6][k]/=NORM;

}

d[6]=(b[6]-mult0*d[0]-mult1*d[1]-mult2*d[2]-mult3*d[3]-mult4*d[4]-

mult5*d[5])/NORM;

//Получаем 8-ю строку уравнения C*x=d:

mult0=mult(A,7,C,0); mult1=mult(A,7,C,1); mult2=mult(A,7,C,2); mult3=mult(A,7,C,3); mult4=mult(A,7,C,4); mult5=mult(A,7,C,5);

mult6=mult(A,7,C,6);

for(int k=0;k<8;k++){

C[7][k]=A[7][k]-mult0*C[0][k]-mult1*C[1][k]-mult2*C[2][k]-

mult3*C[3][k]-mult4*C[4][k]-mult5*C[5][k]-mult6*C[6][k];

}

NORM=norma(C,7);

for(int k=0;k<8;k++){

C[7][k]/=NORM;

}

d[7]=(b[7]-mult0*d[0]-mult1*d[1]-mult2*d[2]-mult3*d[3]-mult4*d[4]-

mult5*d[5]-mult6*d[6])/NORM;

}

//Выполнение ортонормирования системы A*x=b с прямоугольной матрицей A коэффициентов размерности 4х8.

void orto_norm_4x8(double A[4][8], double b[4], double C[4][8], double d[4]){

double NORM;

double mult0,mult1,mult2,mult3,mult4,mult5,mult6,mult7;

//Получаем 1-ю строку уравнения C*x=d:

NORM=norma(A,0);

for(int k=0;k<8;k++){

C[0][k]=A[0][k]/NORM;

}

d[0]=b[0]/NORM;

//Получаем 2-ю строку уравнения C*x=d:

mult0=mult(A,1,C,0);

for(int k=0;k<8;k++){

C[1][k]=A[1][k]-mult0*C[0][k];

}

NORM=norma(C,1);

for(int k=0;k<8;k++){

C[1][k]/=NORM;

}

d[1]=(b[1]-mult0*d[0])/NORM;

//Получаем 3-ю строку уравнения C*x=d:

mult0=mult(A,2,C,0); mult1=mult(A,2,C,1);

for(int k=0;k<8;k++){

C[2][k]=A[2][k]-mult0*C[0][k]-mult1*C[1][k];

}

NORM=norma(C,2);

for(int k=0;k<8;k++){

C[2][k]/=NORM;

}

d[2]=(b[2]-mult0*d[0]-mult1*d[1])/NORM;

//Получаем 4-ю строку уравнения C*x=d:

mult0=mult(A,3,C,0); mult1=mult(A,3,C,1); mult2=mult(A,3,C,2);

for(int k=0;k<8;k++){

C[3][k]=A[3][k]-mult0*C[0][k]-mult1*C[1][k]-mult2*C[2][k];

}

NORM=norma(C,3);

for(int k=0;k<8;k++){

C[3][k]/=NORM;

}

d[3]=(b[3]-mult0*d[0]-mult1*d[1]-mult2*d[2])/NORM;

}

//Произведение матрицы A1 размерности 4х8 на матрицу А2 размерности 8х8. Получаем матрицу rezult размерности 4х8:

void mat_4x8_on_mat_8x8(double A1[4][8], double A2[8][8], double rezult[4][8]){

for(int i=0;i<4;i++){

for(int j=0;j<8;j++){

rezult[i][j]=0.0;

for(int k=0;k<8;k++){

rezult[i][j]+=A1[i][k]*A2[k][j];

}

}

}

}

//Умножение матрицы A на вектор b и получаем rezult.

void mat_on_vect(double A[8][8], double b[8], double rezult[8]){

for(int i=0;i<8;i++){

rezult[i]=0.0;

for(int k=0;k<8;k++){

rezult[i]+=A[i][k]*b[k];

}

}

}

//Умножение матрицы A размерности 4х8 на вектор b размерности 8 и получаем rezult размерности 4.

void mat_4x8_on_vect_8(double A[4][8], double b[8], double rezult[4]){

for(int i=0;i<4;i++){

rezult[i]=0.0;

for(int k=0;k<8;k++){

rezult[i]+=A[i][k]*b[k];

}

}

}

//Вычитание из вектора u1 вектора u2 и получение вектора rez=u1-u2. Все вектора размерности 4.

void minus(double u1[4], double u2[4], double rez[4]){

for(int i=0;i<4;i++){

rez[i]=u1[i]-u2[i];

}

}

//Вычисление матричной экспоненты EXP=exp(A*delta_x)

void exponent(double A[8][8], double delta_x, double EXP[8][8]) {

//n - количество членов ряда в экспоненте, m - счетчик членов ряда (m<=n)

int n=100, m;

double E[8][8]={0}, TMP1[8][8], TMP2[8][8];

int i,j,k;

//E - единичная матрица - первый член ряда экспоненты

E[0][0]=1.0; E[1][1]=1.0; E[2][2]=1.0; E[3][3]=1.0;

E[4][4]=1.0; E[5][5]=1.0; E[6][6]=1.0; E[7][7]=1.0;

//первоначальное заполнение вспомогательного массива TMP1 - предыдущего члена ряда для следующего перемножения

//и первоначальное заполнение экспоненты первым членом ряда

for(i=0;i<8;i++) {

for(j=0;j<8;j++) {

TMP1[i][j]=E[i][j];

EXP[i][j]=E[i][j];

}

}

//ряд вычисления экспоненты EXP, начиная со 2-го члена ряда (m=2;m<=n)

for(m=2;m<=n;m++) {

for(i=0;i<8;i++) {

for(j=0;j<8;j++) {

TMP2[i][j]=0;

for(k=0;k<8;k++) {

//TMP2[i][j]+=TMP1[i][k]*A[k][j]*delta_x/(m-1);

TMP2[i][j]+=TMP1[i][k]*A[k][j];

}

TMP2[i][j]*=delta_x;//вынесено за цикл произведения строки на столбец

TMP2[i][j]/=(m-1);//вынесено за цикл произведения строки на столбец

EXP[i][j]+=TMP2[i][j];

}

}

//заполнение вспомогательного массива TMP1 для вычисления следующего члена ряда - TMP2 в следующем шаге цикла по m

if (m<n) {

for(i=0;i<8;i++) {

for(j=0;j<8;j++) {

TMP1[i][j]=TMP2[i][j];

}

}

}

}

}

//Вычисление матрицы MAT_ROW в виде матричного ряда для последующего использования

//при вычислении вектора partial_vector - вектора частного решения неоднородной системы ОДУ на шаге delta_x

void mat_row_for_partial_vector(double A[8][8], double delta_x, double MAT_ROW[8][8]) {

//n - количество членов ряда в MAT_ROW, m - счетчик членов ряда (m<=n)

int n=100, m;

double E[8][8]={0}, TMP1[8][8], TMP2[8][8];

int i,j,k;

//E - единичная матрица - первый член ряда MAT_ROW

E[0][0]=1.0; E[1][1]=1.0; E[2][2]=1.0; E[3][3]=1.0;

E[4][4]=1.0; E[5][5]=1.0; E[6][6]=1.0; E[7][7]=1.0;

//первоначальное заполнение вспомогательного массива TMP1 - предыдущего члена ряда для следующего перемножения

//и первоначальное заполнение MAT_ROW первым членом ряда

for(i=0;i<8;i++) {

for(j=0;j<8;j++) {

TMP1[i][j]=E[i][j];

MAT_ROW[i][j]=E[i][j];

}

}

//ряд вычисления MAT_ROW, начиная со 2-го члена ряда (m=2;m<=n)

for(m=2;m<=n;m++) {

for(i=0;i<8;i++) {

for(j=0;j<8;j++) {

TMP2[i][j]=0;

for(k=0;k<8;k++) {

TMP2[i][j]+=TMP1[i][k]*A[k][j];

}

TMP2[i][j]*=delta_x;

TMP2[i][j]/=m;

MAT_ROW[i][j]+=TMP2[i][j];

}

}

//заполнение вспомогательного массива TMP1 для вычисления следующего члена ряда - TMP2 в следующем шаге цикла по m

if (m<n) {

for(i=0;i<8;i++) {

for(j=0;j<8;j++) {

TMP1[i][j]=TMP2[i][j];

}

}

}

}

}

//Задание вектора внешних воздействий в системе ОДУ - вектора POWER: Y'(x)=A*Y(x)+POWER(x):

void power_vector_for_partial_vector(double x, double POWER[8]){

POWER[0]=0.0;

POWER[1]=0.0;

POWER[2]=0.0;

POWER[3]=0.0;

POWER[4]=0.0;

POWER[5]=0.0;

POWER[6]=0.0;

POWER[7]=0.0;

}

//Вычисление vector - НУЛЕВОГО (частный случай) вектора частного решения

//неоднородной системы дифференциальных уравнений на рассматриваемом участке:

void partial_vector(double vector[8]){

for(int i=0;i<8;i++){

vector[i]=0.0;

}

}

//Вычисление vector - вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений на рассматриваемом участке delta_x:

void partial_vector_real(double expo_[8][8], double mat_row[8][8], double x_, double delta_x, double vector[8]){

double POWER_[8]={0};//Вектор внешней нагрузки на оболочку

double REZ[8]={0};

double REZ_2[8]={0};

power_vector_for_partial_vector(x_, POWER_);//Расчитываем POWER_ при координате x_

mat_on_vect(mat_row, POWER_, REZ);//Умножение матрицы mat_row на вектор POWER_ и получаем вектор REZ

mat_on_vect(expo_, REZ, REZ_2);//Умножение матрицы expo_ на вектор REZ и получаем вектор REZ_2

for(int i=0;i<8;i++){

vector[i]=REZ_2[i]*delta_x;

}

}

//Решение СЛАУ размерности 8 методом Гаусса с выделением главного элемента

int GAUSS(double AA[8][8], double bb[8], double x[8]){

double A[8][8];

double b[8];

for(int i=0;i<8;i++){

b[i]=bb[i];//Работать будем с вектором правых частей b, чтобы исходный вектор bb не изменялся при выходе из подпрограммы

for(int j=0;j<8;j++){

A[i][j]=AA[i][j];//Работать будем с матрицей А, чтобы исходная матрица АА не менялась при выходе из подпрограммы

}

}

int e;//номер строки, где обнаруживается главный (максимальный) коэффициент в столбце jj

double s, t, main;//Вспомогательная величина

for(int jj=0;jj<(8-1);jj++){//Цикл по столбцам jj преобразования матрицы А в верхнетреугольную

e=-1; s=0.0; main=A[jj][jj];

for(int i=jj;i<8;i++){//Находится номер е строки, где лежит главный (максимальный) элемент в столбце jj и делается взаимозамена строк

if ((A[i][jj]*A[i][jj])>s) {//Вместо перемножения (удаляется возможный знак минуса) можно было бы использовать функцию по модулю abs()

e=i; s=A[i][jj]*A[i][jj];

}

}

if (e<0) {

cout<<"Mistake "<<jj<<"\n"; return 0;

}

if (e>jj) {//Если главный элемент не в строке с номером jj. а в строке с номером е

main=A[e][jj];

for(int j=0;j<8;j++){//Взаимная замена двух строк - с номерами e и jj

t=A[jj][j]; A[jj][j]=A[e][j]; A[e][j]=t;

}

t=b[jj]; b[jj]=b[e]; b[e]=t;

}

for(int i=(jj+1);i<8;i++){//Приведение к верхнетреугольной матрице

for(int j=(jj+1);j<8;j++){

A[i][j]=A[i][j]-(1/main)*A[jj][j]*A[i][jj];//Перерасчет коэффициентов строки i>(jj+1)

}

b[i]=b[i]-(1/main)*b[jj]*A[i][jj];

A[i][jj]=0.0;//Обнуляемые элементы столбца под диагональным элементом матрицы А

}

}//Цикл по столбцам jj преобразования матрицы А в верхнетреугольную

x[8-1]=b[8-1]/A[8-1][8-1];//Первоначальное определение последнего элемента искомого решения х (7-го)

for(int i=(8-2);i>=0;i--){//Вычисление елементов решения x[i] от 6-го до 0-го

t=0;

for(int j=1;j<(8-i);j++){

t=t+A[i][i+j]*x[i+j];

}

x[i]=(1/A[i][i])*(b[i]-t);

}

return 0;

}

int main()

{

int nn;//Номер гармоники, начиная с 1-й (без нулевой)

int nn_last=50;//Номер последней гармоники

double Moment[100+1]={0};//Массив физического параметра (момента), что рассчитывается в каждой точке между краями

double step=0.02; //step=(L/R)/100 - величина шага расчета оболочки - шага интервала интегрирования (должна быть больше нуля, т.е. положительная)

double h_div_R;//Величина h/R

h_div_R=1.0/100;

double c2;

c2=h_div_R*h_div_R/12;//Величина h*h/R/R/12

double nju;

nju=0.3;

double gamma;

gamma=3.14159265359/4;//Угол распределения силы по левому краю

//распечатка в файлы:

FILE *fp;

// Open for write

if( (fp = fopen( "C:/test.txt", "w" )) == NULL ) // C4996

printf( "The file 'C:/test.txt' was not opened\n" );

else

printf( "The file 'C:/test.txt' was opened\n" );

for(nn=1;nn<=nn_last;nn++){ //ЦИКЛ ПО ГАРМОНИКАМ, НАЧИНАЯ С 1-ОЙ ГАРМОНИКИ (БЕЗ НУЛЕВОЙ ГАРМОНИКИ)

double x=0.0;//Координата от левого края - нужна для случая неоднородной системы ОДУ для вычисления частного вектора FF

double expo_from_minus_step[8][8]={0};//Матрица для расположения в ней экспоненты на шаге типа (0-x1)

double expo_from_plus_step[8][8]={0};//Матрица для расположения в ней экспоненты на шаге типа (x1-0)

double mat_row_for_minus_expo[8][8]={0};//вспомогательная матрица для расчета частного вектора при движении на шаге типа (0-x1)

double mat_row_for_plus_expo[8][8]={0};//вспомогательная матрица для расчета частного вектора при движении на шаге типа (x1-0)

double MATRIXS[100+1][8][8]={0};//Массив из матриц размерности 8x8 для решения СЛАУ в каждой точке интервала интегрирования

double VECTORS[100+1][8]={0};//Массив векторов правых частей размерности 8 соответствующих СЛАУ

double U[4][8]={0};//Матрица краевых условий левого края размерности 4х8

double u_[4]={0};//Вектор размерности 4 внешнего воздействия для краевых условий левого края

double V[4][8]={0};//Матрица краевых условий правого края размерности 4х8

double v_[4]={0};//Вектор размерности 4 внешнего воздействия для краевых условий правого края

double Y[100+1][8]={0};//Массив векторов-решений соответствующих СЛАУ (в каждой точке интервала между краями): MATRIXS*Y=VECTORS

double A[8][8]={0};//Матрица коэффициентов системы ОДУ

double FF[8]={0};//Вектор частного решения неоднородной ОДУ на участке интервала интегрирования

double Ui[4][8]={0};//Вспомогательная матрица коэффициентов переносимых краевых условий с левого края

double ui_[4]={0};//Правые части переносимых краевых условий с левого края

double ui_2[4]={0};//вспомогательный вектор (промежуточный)

double UiORTO[4][8]={0};//Ортонормированная переносимая матрица с левого края

double ui_ORTO[4]={0};//Соответственно правые части ортонормированного переносимого уравнения с левого края

double Vj[4][8]={0};//Вспомогательная матрица коэффициентов переносимых краевых условий с правого края

double vj_[4]={0};//Правые части переносимых краевых условий с правого края

double vj_2[4]={0};//Вспомогательный вектор (промежуточный)

double VjORTO[4][8]={0};//Ортонормированная переносимая матрица с правого края

double vj_ORTO[4]={0};//Соответственно правые части ортонормированного переносимого уравнения с правого края

double MATRIX_2[8][8]={0};//Вспомогательная матрица

double VECTOR_2[8]={0};//Вспомогательный вектор

double Y_2[8]={0};//Вспомогательный вектор

double nn2,nn3,nn4,nn5,nn6,nn7,nn8;//Возведенный в соответствующие степени номер гармоники nn

nn2=nn*nn; nn3=nn2*nn; nn4=nn2*nn2; nn5=nn4*nn; nn6=nn4*nn2; nn7=nn6*nn; nn8=nn4*nn4;

//Заполнение ненулевых элементов матрицы А коэффициентов системы ОДУ

A[0][1]=1.0;

A[1][0]=(1-nju)/2*nn2; A[1][3]=-(1+nju)/2*nn; A[1][5]=-nju;

A[2][3]=1.0;

A[3][1]=(1+nju)/(1-nju)*nn; A[3][2]=2*nn2/(1-nju); A[3][4]=2*nn/(1-nju);

A[4][5]=1.0;

A[5][6]=1.0;

A[6][7]=1.0;

A[7][1]=-nju/c2; A[7][2]=-nn/c2; A[7][4]=-(nn4+1/c2); A[7][6]=2*nn2;

//Здесь надо первоначально заполнить ненулевыми значениями матрицы и вектора краевых условий U*Y[0]=u_ (слева) и V*Y[100]=v_ (справа) :

U[0][1]=1.0; U[0][2]=nn*nju; U[0][4]=nju; u_[0]=0.0;//Сила T1 на левом крае равна нулю

U[1][0]=-(1-nju)/2*nn; U[1][3]=(1-nju)/2; U[1][5]=(1-nju)*nn*c2; u_[1]=0.0;//Сила S* на левом краю равна нулю

U[2][4]=-nju*nn2; U[2][6]=1.0; u_[2]=0;//Момент M1 на левом краю равен нулю

U[3][5]=(2-nju)*nn2; U[3][7]=-1.0;

u_[3]=-sin(nn*gamma)/(nn*gamma);//Сила Q1* на левом крае распределена на угол -gamma +gamma

V[0][0]=1.0; v_[0]=0.0;//Перемещение u на правом крае равно нулю

V[1][2]=1.0; v_[1]=0.0;//Перемещение v на правом крае равно нулю

V[2][4]=1.0; v_[2]=0.0;//Перемещение w на правом крае равно нулю

V[3][5]=1.0; v_[3]=0.0;//Угол поворота на правом крае равен нулю

//Здесь заканчивается первоначальное заполнение U*Y[0]=u_ и V*Y[100]=v_

orto_norm_4x8(U, u_, UiORTO, ui_ORTO);//Первоначальное ортонормирование краевых условий

orto_norm_4x8(V, v_, VjORTO, vj_ORTO);

//Первоначальное заполнение MATRIXS и VECTORS матричными уравнениями краевых условий соответственно

//UiORTO*Y[0]=ui_ORTO и VjORTO*Y[100]=vj_ORTO:

for(int i=0;i<4;i++){

for(int j=0;j<8;j++){

MATRIXS[0][i][j]=UiORTO[i][j];//Левый край; верхнее матричное уравнение

MATRIXS[100][i+4][j]=VjORTO[i][j];//Правый край (точка номер 101 с индексом 100 - отсчет идет с нуля); нижнее матричное уравнение

}

VECTORS[0][i]=ui_ORTO[i];//Левый край; верхнее матричное уравнение

VECTORS[100][i+4]=vj_ORTO[i];//Правый край (точка номер 101 с индексом 100 - отсчет идет с нуля); нижнее матричное уравнение

}

//Цикл по точкам ii интервала интегрирования заполнения ВЕРХНИХ частей матричных уравнений MATRIXS[ii]*Y[ii]=VECTORS[ii],

//начиная со второй точки - точки с индексом ii=1

exponent(A,(-step),expo_from_minus_step);//Шаг отрицательный (значение шага меньше нуля из-за направления вычисления матричной экспоненты)

x=0.0;//начальное значение координаты - для расчета частного вектора

mat_row_for_partial_vector(A, step, mat_row_for_minus_expo);

for(int ii=1;ii<=100;ii++){

x+=step;//Координата для расчета частного вектора на шаге

mat_4x8_on_mat_8x8(UiORTO,expo_from_minus_step,Ui);//Вычисление матрицы Ui=UiORTO*expo_from_minus_step

//partial_vector(FF);//Вычисление НУЛЕВОГО вектора частного решения системы ОДУ на шаге

partial_vector_real(expo_from_minus_step, mat_row_for_minus_expo, x, (-step),FF);// - для движения слева на право

mat_4x8_on_vect_8(UiORTO,FF,ui_2);//Вычисление вектора ui_2=UiORTO*FF

minus(ui_ORTO, ui_2, ui_);//Вычисление вектора ui_=ui_ORTO-ui_2

orto_norm_4x8(Ui, ui_, UiORTO, ui_ORTO);//Ортонормирование для текущего шага по ii

for(int i=0;i<4;i++){

for(int j=0;j<8;j++){

MATRIXS[ii][i][j]=UiORTO[i][j];

}

VECTORS[ii][i]=ui_ORTO[i];

}

}//Цикл по шагам ii (ВЕРХНЕЕ заполнение)

//Цикл по точкам ii интервала интегрирования заполнения НИЖНИХ частей матричных уравнений MATRIXS[ii]*Y[ii]=VECTORS[ii],

//начиная с предпоследней точки - точки с индексом ii=(100-1) используем ii-- (уменьшение индекса точки)

exponent(A,step,expo_from_plus_step);//Шаг положительный (значение шага больше нуля из-за направления вычисления матричной экспоненты)

x=step*100;//Координата правого края

mat_row_for_partial_vector(A, (-step), mat_row_for_plus_expo);

for(int ii=(100-1);ii>=0;ii--){

x-=step;//Движение справа на лево - для расчета частного вектора

mat_4x8_on_mat_8x8(VjORTO,expo_from_plus_step,Vj);//Вычисление матрицы Vj=VjORTO*expo_from_plus_step

//partial_vector(FF);//Вычисление НУЛЕВОГО вектора частного решения системы ОДУ на шаге

partial_vector_real(expo_from_plus_step, mat_row_for_plus_expo, x, step,FF);// - для движения справа на лево

mat_4x8_on_vect_8(VjORTO,FF,vj_2);//Вычисление вектора vj_2=VjORTO*FF

minus(vj_ORTO, vj_2, vj_);//Вычисление вектора vj_=vj_ORTO-vj_2

orto_norm_4x8(Vj, vj_, VjORTO, vj_ORTO);//Ортонормирование для текущего шага по ii

for(int i=0;i<4;i++){

for(int j=0;j<8;j++){

MATRIXS[ii][i+4][j]=VjORTO[i][j];

}

VECTORS[ii][i+4]=vj_ORTO[i];

}

}//Цикл по шагам ii (НИЖНЕЕ заполнение)

//Решение систем линейных алгебраических уравнений

for(int ii=0;ii<=100;ii++){

for(int i=0;i<8;i++){

for(int j=0;j<8;j++){

MATRIX_2[i][j]=MATRIXS[ii][i][j];//Вспомогательное присвоение для соответствия типов в вызывающей функции GAUSS

}

VECTOR_2[i]=VECTORS[ii][i];//Вспомогательное присвоение для соответствия типов в вызывающей функции GAUSS

}

GAUSS(MATRIX_2,VECTOR_2,Y_2);

for(int i=0;i<8;i++){

Y[ii][i]=Y_2[i];

}

}

//Вычисление момента во всех точках между краями

for(int ii=0;ii<=100;ii++){

Moment[ii]+=Y[ii][4]*(-nju*nn2)+Y[ii][6]*1.0;//Момент M1 в точке [ii]

//U[2][4]=-nju*nn2; U[2][6]=1.0; u_[2]=0;//Момент M1

}

}//ЦИКЛ ПО ГАРМОНИКАМ ЗДЕСЬ ЗАКАНЧИВАЕТСЯ

for(int ii=0;ii<=100;ii++){

fprintf(fp,"%f\n",Moment[ii]);

}

fclose(fp);

printf( "PRESS any key to continue...\n" );

_getch();

return 0;

4.3 Программа на С++ расчета сферической оболочки (переменные коэффициенты)

ПРОГРАММА НА С++ (РАСЧЕТ СФЕРЫ):

//sfera_from_A_Yu_Vinogradov.cpp: главный файл проекта.

//Решение краевой задачи с переменными коэффициентами - сфера.

//Интервал интегрирования разбит на 100 участков: левый край - точка 0 и правый край - точка 100

#include "stdafx.h"

#include <iostream>

#include <conio.h>

#include <math.h> //for tan()

using namespace std;

//Вычисление для гармоники с номером nn для значения переменной (угла) angle_fi - матрицы A_perem 8x8 коэффициентов системы ОДУ

void A_perem_coef(double nju, double c2, int nn, double angle_fi, double A_perem[8][8]){

double nn2,nn3,nn4,nn5,nn6,nn7,nn8;//Возведенный в соответствующие степени номер гармоники nn

nn2=nn*nn; nn3=nn2*nn; nn4=nn2*nn2; nn5=nn4*nn; nn6=nn4*nn2; nn7=nn6*nn; nn8=nn4*nn4;

for(int i=0;i<8;i++){

for(int j=0;j<8;j++){

A_perem[i][j]=0.0;//Первоначальное обнуление матрицы

}

}

//Заполнение ненулевых элементов матрицы А коэффициентов системы ОДУ

A_perem[0][1]=1.0;

A_perem[1][0]=(1-nju)*nn2/2/sin(angle_fi)/sin(angle_fi)+nju+1.0/tan(angle_fi)/tan(angle_fi);

A_perem[1][1]=-1.0/tan(angle_fi);

A_perem[1][2]=(3-nju)/2/sin(angle_fi)/tan(angle_fi);

A_perem[1][3]=-(1+nju)*nn/2/sin(angle_fi);

A_perem[1][5]=-(1+nju);

A_perem[2][3]=1.0;

A_perem[3][0]=(3-nju)*nn/(1-nju)/sin(angle_fi)/tan(angle_fi);

A_perem[3][1]=(1+nju)*nn/(1-nju)/sin(angle_fi);

A_perem[3][2]=2*nn2/(1-nju)/sin(angle_fi)/sin(angle_fi)-1.0+1.0/tan(angle_fi)/tan(angle_fi);

A_perem[3][3]=-1.0/tan(angle_fi);

A_perem[3][4]=(1+nju)*2*nn/(1-nju)/sin(angle_fi);

A_perem[4][5]=1.0;

A_perem[5][6]=1.0;

A_perem[6][7]=1.0;

A_perem[7][0]=-(1+nju)/tan(angle_fi)/c2;

A_perem[7][1]=-(1+nju)/c2;

A_perem[7][2]=-(1+nju)*nn/c2/sin(angle_fi);

A_perem[7][4]=nn2/sin(angle_fi)/sin(angle_fi)*(2+(2-nn2)/sin(angle_fi)/sin(angle_fi)+2.0/tan(angle_fi)/tan(angle_fi))-2*(1+nju)/c2;

A_perem[7][5]=(-2.0-(2*nn2+1)/sin(angle_fi)/sin(angle_fi))/tan(angle_fi);

A_perem[7][6]=-1.0+(2*nn2+1)/sin(angle_fi)/sin(angle_fi);

A_perem[7][7]=-2.0/tan(angle_fi);

}

//Задание вектора внешних воздействий в системе ОДУ - вектора POWER: Y'(x)=A*Y(x)+POWER(x):

void power_vector_for_partial_vector(double x, double POWER[8]){

POWER[0]=0.0;

POWER[1]=0.0;

POWER[2]=0.0;

POWER[3]=0.0;

POWER[4]=0.0;

POWER[5]=0.0;

POWER[6]=0.0;

POWER[7]=0.0;

}

//Скалярное произведение векторов - i-й строки матрицы А и j-й строки матрицы С.

double mult(double A[8][8], int i, double C[8][8], int j){

double result=0.0;

for(int k=0;k<8;k++){

result+=A[i][k]*C[j][k];

}

return result;

}

//Вычисление нормы вектора, где вектор это i-я строка матрицы А.

double norma(double A[8][8], int i){

double norma_=0.0;

for(int k=0;k<8;k++){

norma_+=A[i][k]*A[i][k];

}

norma_=sqrt(norma_);

return norma_;

}

//Выполнение ортонормирования. Исходная система A*x=b размерности 8х8 приводиться к системе C*x=d, где строки матрицы С ортонормированы.

void orto_norm_8x8(double A[8][8], double b[8], double C[8][8], double d[8]){

double NORM;

double mult0,mult1,mult2,mult3,mult4,mult5,mult6,mult7;

//Получаем 1-ю строку уравнения C*x=d:

NORM=norma(A,0);

for(int k=0;k<8;k++){

C[0][k]=A[0][k]/NORM;

}

d[0]=b[0]/NORM;

//Получаем 2-ю строку уравнения C*x=d:

mult0=mult(A,1,C,0);

for(int k=0;k<8;k++){

C[1][k]=A[1][k]-mult0*C[0][k];

}

NORM=norma(C,1);

for(int k=0;k<8;k++){

C[1][k]/=NORM;

}

d[1]=(b[1]-mult0*d[0])/NORM;

//Получаем 3-ю строку уравнения C*x=d:

mult0=mult(A,2,C,0); mult1=mult(A,2,C,1);

for(int k=0;k<8;k++){

C[2][k]=A[2][k]-mult0*C[0][k]-mult1*C[1][k];

}

NORM=norma(C,2);

for(int k=0;k<8;k++){

C[2][k]/=NORM;

}

d[2]=(b[2]-mult0*d[0]-mult1*d[1])/NORM;

//Получаем 4-ю строку уравнения C*x=d:

mult0=mult(A,3,C,0); mult1=mult(A,3,C,1); mult2=mult(A,3,C,2);

for(int k=0;k<8;k++){

C[3][k]=A[3][k]-mult0*C[0][k]-mult1*C[1][k]-mult2*C[2][k];

}

NORM=norma(C,3);

for(int k=0;k<8;k++){

C[3][k]/=NORM;

}

d[3]=(b[3]-mult0*d[0]-mult1*d[1]-mult2*d[2])/NORM;

//Получаем 5-ю строку уравнения C*x=d:

mult0=mult(A,4,C,0); mult1=mult(A,4,C,1); mult2=mult(A,4,C,2); mult3=mult(A,4,C,3);

for(int k=0;k<8;k++){

C[4][k]=A[4][k]-mult0*C[0][k]-mult1*C[1][k]-mult2*C[2][k]-

mult3*C[3][k];

}

NORM=norma(C,4);

for(int k=0;k<8;k++){

C[4][k]/=NORM;

}

d[4]=(b[4]-mult0*d[0]-mult1*d[1]-mult2*d[2]-mult3*d[3])/NORM;

//Получаем 6-ю строку уравнения C*x=d:

mult0=mult(A,5,C,0); mult1=mult(A,5,C,1); mult2=mult(A,5,C,2); mult3=mult(A,5,C,3); mult4=mult(A,5,C,4);

for(int k=0;k<8;k++){

C[5][k]=A[5][k]-mult0*C[0][k]-mult1*C[1][k]-mult2*C[2][k]-

mult3*C[3][k]-mult4*C[4][k];

}

NORM=norma(C,5);

for(int k=0;k<8;k++){

C[5][k]/=NORM;

}

d[5]=(b[5]-mult0*d[0]-mult1*d[1]-mult2*d[2]-mult3*d[3]-mult4*d[4])/NORM;

//Получаем 7-ю строку уравнения C*x=d:

mult0=mult(A,6,C,0); mult1=mult(A,6,C,1); mult2=mult(A,6,C,2); mult3=mult(A,6,C,3); mult4=mult(A,6,C,4); mult5=mult(A,6,C,5);

for(int k=0;k<8;k++){

C[6][k]=A[6][k]-mult0*C[0][k]-mult1*C[1][k]-mult2*C[2][k]-

mult3*C[3][k]-mult4*C[4][k]-mult5*C[5][k];

}

NORM=norma(C,6);

for(int k=0;k<8;k++){

C[6][k]/=NORM;

}

d[6]=(b[6]-mult0*d[0]-mult1*d[1]-mult2*d[2]-mult3*d[3]-mult4*d[4]-

mult5*d[5])/NORM;

//Получаем 8-ю строку уравнения C*x=d:

mult0=mult(A,7,C,0); mult1=mult(A,7,C,1); mult2=mult(A,7,C,2); mult3=mult(A,7,C,3); mult4=mult(A,7,C,4); mult5=mult(A,7,C,5);

mult6=mult(A,7,C,6);

for(int k=0;k<8;k++){

C[7][k]=A[7][k]-mult0*C[0][k]-mult1*C[1][k]-mult2*C[2][k]-

mult3*C[3][k]-mult4*C[4][k]-mult5*C[5][k]-mult6*C[6][k];

}

NORM=norma(C,7);

for(int k=0;k<8;k++){

C[7][k]/=NORM;

}

d[7]=(b[7]-mult0*d[0]-mult1*d[1]-mult2*d[2]-mult3*d[3]-mult4*d[4]-

mult5*d[5]-mult6*d[6])/NORM;

}

//Выполнение ортонормирования системы A*x=b с прямоугольной матрицей A коэффициентов размерности 4х8.

void orto_norm_4x8(double A[4][8], double b[4], double C[4][8], double d[4]){

double NORM;

double mult0,mult1,mult2,mult3,mult4,mult5,mult6,mult7;

//Получаем 1-ю строку уравнения C*x=d:

NORM=norma(A,0);

for(int k=0;k<8;k++){

C[0][k]=A[0][k]/NORM;

}

d[0]=b[0]/NORM;

//Получаем 2-ю строку уравнения C*x=d:

mult0=mult(A,1,C,0);

for(int k=0;k<8;k++){

C[1][k]=A[1][k]-mult0*C[0][k];

}

NORM=norma(C,1);

for(int k=0;k<8;k++){

C[1][k]/=NORM;

}

d[1]=(b[1]-mult0*d[0])/NORM;

//Получаем 3-ю строку уравнения C*x=d:

mult0=mult(A,2,C,0); mult1=mult(A,2,C,1);

for(int k=0;k<8;k++){

C[2][k]=A[2][k]-mult0*C[0][k]-mult1*C[1][k];

}

NORM=norma(C,2);

for(int k=0;k<8;k++){

C[2][k]/=NORM;

}

d[2]=(b[2]-mult0*d[0]-mult1*d[1])/NORM;

//Получаем 4-ю строку уравнения C*x=d:

mult0=mult(A,3,C,0); mult1=mult(A,3,C,1); mult2=mult(A,3,C,2);

for(int k=0;k<8;k++){

C[3][k]=A[3][k]-mult0*C[0][k]-mult1*C[1][k]-mult2*C[2][k];

}

NORM=norma(C,3);

for(int k=0;k<8;k++){

C[3][k]/=NORM;

}

d[3]=(b[3]-mult0*d[0]-mult1*d[1]-mult2*d[2])/NORM;

}

//Произведение матрицы A1 размерности 4х8 на матрицу А2 размерности 8х8. Получаем матрицу rezult размерности 4х8:

void mat_4x8_on_mat_8x8(double A1[4][8], double A2[8][8], double rezult[4][8]){

for(int i=0;i<4;i++){

for(int j=0;j<8;j++){

rezult[i][j]=0.0;

for(int k=0;k<8;k++){

rezult[i][j]+=A1[i][k]*A2[k][j];

}

}

}

}

//Умножение матрицы A на вектор b и получаем rezult.

void mat_on_vect(double A[8][8], double b[8], double rezult[8]){

for(int i=0;i<8;i++){

rezult[i]=0.0;

for(int k=0;k<8;k++){

rezult[i]+=A[i][k]*b[k];

}

}

}

//Умножение матрицы A размерности 4х8 на вектор b размерности 8 и получаем rezult размерности 4.

void mat_4x8_on_vect_8(double A[4][8], double b[8], double rezult[4]){

for(int i=0;i<4;i++){

rezult[i]=0.0;

for(int k=0;k<8;k++){

rezult[i]+=A[i][k]*b[k];

}

}

}

//Вычитание из вектора u1 вектора u2 и получение вектора rez=u1-u2. Все вектора размерности 4.

void minus(double u1[4], double u2[4], double rez[4]){

for(int i=0;i<4;i++){

rez[i]=u1[i]-u2[i];

}

}

//Вычисление матричной экспоненты EXP=exp(A*delta_x)

void exponent(double A[8][8], double delta_x, double EXP[8][8]) {

//n - количество членов ряда в экспоненте, m - счетчик членов ряда (m<=n)

int n=100, m;

double E[8][8]={0}, TMP1[8][8], TMP2[8][8];

int i,j,k;

//E - единичная матрица - первый член ряда экспоненты

E[0][0]=1.0; E[1][1]=1.0; E[2][2]=1.0; E[3][3]=1.0;

E[4][4]=1.0; E[5][5]=1.0; E[6][6]=1.0; E[7][7]=1.0;

//первоначальное заполнение вспомогательного массива TMP1 - предыдущего члена ряда для следующего перемножения

//и первоначальное заполнение экспоненты первым членом ряда

for(i=0;i<8;i++) {

for(j=0;j<8;j++) {

TMP1[i][j]=E[i][j];

EXP[i][j]=E[i][j];

}

}

//ряд вычисления экспоненты EXP, начиная со 2-го члена ряда (m=2;m<=n)

for(m=2;m<=n;m++) {

for(i=0;i<8;i++) {

for(j=0;j<8;j++) {

TMP2[i][j]=0;

for(k=0;k<8;k++) {

//TMP2[i][j]+=TMP1[i][k]*A[k][j]*delta_x/(m-1);

TMP2[i][j]+=TMP1[i][k]*A[k][j];

}

TMP2[i][j]*=delta_x;//вынесено за цикл произведения строки на столбец

TMP2[i][j]/=(m-1);//вынесено за цикл произведения строки на столбец

EXP[i][j]+=TMP2[i][j];

}

}

//заполнение вспомогательного массива TMP1 для вычисления следующего члена ряда - TMP2 в следующем шаге цикла по m

if (m<n) {

for(i=0;i<8;i++) {

for(j=0;j<8;j++) {

TMP1[i][j]=TMP2[i][j];

}

}

}

}

}

//Вычисление матрицы MAT_ROW в виде матричного ряда для последующего использования

//при вычислении вектора partial_vector - вектора частного решения неоднородной системы ОДУ на шаге delta_x

void mat_row_for_partial_vector(double A[8][8], double delta_x, double MAT_ROW[8][8]) {

//n - количество членов ряда в MAT_ROW, m - счетчик членов ряда (m<=n)

int n=100, m;

double E[8][8]={0}, TMP1[8][8], TMP2[8][8];

int i,j,k;

//E - единичная матрица - первый член ряда MAT_ROW

E[0][0]=1.0; E[1][1]=1.0; E[2][2]=1.0; E[3][3]=1.0;

E[4][4]=1.0; E[5][5]=1.0; E[6][6]=1.0; E[7][7]=1.0;

//первоначальное заполнение вспомогательного массива TMP1 - предыдущего члена ряда для следующего перемножения

//и первоначальное заполнение MAT_ROW первым членом ряда

for(i=0;i<8;i++) {

for(j=0;j<8;j++) {

TMP1[i][j]=E[i][j];

MAT_ROW[i][j]=E[i][j];

}

}

//ряд вычисления MAT_ROW, начиная со 2-го члена ряда (m=2;m<=n)

for(m=2;m<=n;m++) {

for(i=0;i<8;i++) {

for(j=0;j<8;j++) {

TMP2[i][j]=0;

for(k=0;k<8;k++) {

TMP2[i][j]+=TMP1[i][k]*A[k][j];

}

TMP2[i][j]*=delta_x;

TMP2[i][j]/=m;

MAT_ROW[i][j]+=TMP2[i][j];

}

}

//заполнение вспомогательного массива TMP1 для вычисления следующего члена ряда - TMP2 в следующем шаге цикла по m

if (m<n) {

for(i=0;i<8;i++) {

for(j=0;j<8;j++) {

TMP1[i][j]=TMP2[i][j];

}

}

}

}

}

//Вычисление vector - НУЛЕВОГО (частный случай) вектора частного решения

//неоднородной системы дифференциальных уравнений на рассматриваемом участке:

void partial_vector(double vector[8]){

for(int i=0;i<8;i++){

vector[i]=0.0;

}

}

//Вычисление vector - вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений на рассматриваемом участке delta_x:

void partial_vector_real(double expo_[8][8], double mat_row[8][8], double x_, double delta_x, double vector[8]){

double POWER_[8]={0};//Вектор внешней нагрузки на оболочку

double REZ[8]={0};

double REZ_2[8]={0};

power_vector_for_partial_vector(x_, POWER_);//Расчитываем POWER_ при координате x_

mat_on_vect(mat_row, POWER_, REZ);//Умножение матрицы mat_row на вектор POWER_ и получаем вектор REZ

mat_on_vect(expo_, REZ, REZ_2);//Умножение матрицы expo_ на вектор REZ и получаем вектор REZ_2

for(int i=0;i<8;i++){

vector[i]=REZ_2[i]*delta_x;

}

}

//Решение СЛАУ размерности 8 методом Гаусса с выделением главного элемента

int GAUSS(double AA[8][8], double bb[8], double x[8]){

double A[8][8];

double b[8];

for(int i=0;i<8;i++){

b[i]=bb[i];//Работать будем с вектором правых частей b, чтобы исходный вектор bb не изменялся при выходе из подпрограммы

for(int j=0;j<8;j++){

A[i][j]=AA[i][j];//Работать будем с матрицей А, чтобы исходная матрица АА не менялась при выходе из подпрограммы

}

}

int e;//номер строки, где обнаруживается главный (максимальный) коэффициент в столбце jj

double s, t, main;//Вспомогательная величина

for(int jj=0;jj<(8-1);jj++){//Цикл по столбцам jj преобразования матрицы А в верхнетреугольную

e=-1; s=0.0; main=A[jj][jj];

for(int i=jj;i<8;i++){//Находится номер е строки, где лежит главный (максимальный) элемент в столбце jj и делается взаимозамена строк

if ((A[i][jj]*A[i][jj])>s) {//Вместо перемножения (удаляется возможный знак минуса) можно было бы использовать функцию по модулю abs()

e=i; s=A[i][jj]*A[i][jj];

}

}

if (e<0) {

cout<<"Mistake "<<jj<<"\n"; return 0;

}

if (e>jj) {//Если главный элемент не в строке с номером jj. а в строке с номером е

main=A[e][jj];

for(int j=0;j<8;j++){//Взаимная замена двух строк - с номерами e и jj

t=A[jj][j]; A[jj][j]=A[e][j]; A[e][j]=t;

}

t=b[jj]; b[jj]=b[e]; b[e]=t;

}

for(int i=(jj+1);i<8;i++){//Приведение к верхнетреугольной матрице

for(int j=(jj+1);j<8;j++){

A[i][j]=A[i][j]-(1/main)*A[jj][j]*A[i][jj];//Перерасчет коэффициентов строки i>(jj+1)

}

b[i]=b[i]-(1/main)*b[jj]*A[i][jj];

A[i][jj]=0.0;//Обнуляемые элементы столбца под диагональным элементом матрицы А

}

}//Цикл по столбцам jj преобразования матрицы А в верхнетреугольную

x[8-1]=b[8-1]/A[8-1][8-1];//Первоначальное определение последнего элемента искомого решения х (7-го)

for(int i=(8-2);i>=0;i--){//Вычисление елементов решения x[i] от 6-го до 0-го

t=0;

for(int j=1;j<(8-i);j++){

t=t+A[i][i+j]*x[i+j];

}

x[i]=(1/A[i][i])*(b[i]-t);

}

return 0;

}

int main()

{

int nn;//Номер гармоники, начиная с 1-й (без нулевой)

int nn_last=50;//Номер последней гармоники

double Moment[100+1]={0};//Массив физического параметра (момента), что рассчитывается в каждой точке между краями

double angle;

double start_angle, finish_angle;

start_angle=3.14159265359/4;

finish_angle=start_angle+(3.14159265359/2);

double step=(3.14159265359/2)/100; //step=(3.14159265359/2)/100 - величина шага расчета оболочки - шага интервала интегрирования (должна быть больше нуля, т.е. положительная)

double h_div_R;//Величина h/R

h_div_R=1.0/200;

double c2;

c2=h_div_R*h_div_R/12;//Величина h*h/R/R/12

double nju;

nju=0.3;

double gamma;

gamma=3.14159265359/4;//Угол распределения силы по левому краю

//распечатка в файлы:

FILE *fp;

// Open for write

if( (fp = fopen( "C:/test.txt", "w" )) == NULL ) // C4996

printf( "The file 'C:/test.txt' was not opened\n" );

else

printf( "The file 'C:/test.txt' was opened\n" );

for(nn=1;nn<=nn_last;nn++){ //ЦИКЛ ПО ГАРМОНИКАМ, НАЧИНАЯ С 1-ОЙ ГАРМОНИКИ (БЕЗ НУЛЕВОЙ ГАРМОНИКИ)

double expo_from_minus_step[8][8]={0};//Матрица для расположения в ней экспоненты на шаге типа (0-x1)

double expo_from_plus_step[8][8]={0};//Матрица для расположения в ней экспоненты на шаге типа (x1-0)

double mat_row_for_minus_expo[8][8]={0};//вспомогательная матрица для расчета частного вектора при движении на шаге типа (0-x1)

double mat_row_for_plus_expo[8][8]={0};//вспомогательная матрица для расчета частного вектора при движении на шаге типа (x1-0)

double MATRIXS[100+1][8][8]={0};//Массив из матриц размерности 8x8 для решения СЛАУ в каждой точке интервала интегрирования

double VECTORS[100+1][8]={0};//Массив векторов правых частей размерности 8 соответствующих СЛАУ

double U[4][8]={0};//Матрица краевых условий левого края размерности 4х8

double u_[4]={0};//Вектор размерности 4 внешнего воздействия для краевых условий левого края