Векторные соотношения в стереометрии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Кафедра геометрии

Векторные соотношения в стереометрии

Курсовая работа

по методике преподавания математики



§ I. Скалярное произведение векторов и его использование в решении пространственных задач

1.1 Векторные и координатные формулы, связанные со скалярным произведением векторов

1. Пусть и - нулевые векторы. Отложим от произвольной точки O векторы =, = и рассмотрим лучи OA и OB (рис. 26, а). Углом между векторами и называется угол между лучами OA и OB, т.е. угол AOB, если эти лучи не совпадают. Если лучи OA и OB совпадают, то угол между ними считается равными равным нулю. Угол между векторами и обозначается так: Так как два угла, стороны которых сонаправлены, равны (рис. 1, б), то угол между данными векторами не зависит от выбора точки О.

Рис. 1

Два ненулевых вектора и называются взаимно перпендикулярными, если = (пишут:). Условимся считать, что если хотя бы один из векторов и нулевой, то = . Таким образом, нуль-вектор перпендикулярен любому вектору пространства. Итак, для любых векторов и имеем: 0.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов и обозначается через . Итак, по определению

(1)

Из этой формулы мы заключаем, что = 0 тогда и только тогда, когда . Это утверждение справедливо и в том случае, когда хотя бы один из векторов а и b -- нулевой, так как нулевой вектор мы считаем перпендикулярным к любому вектору.

Из формулы (1) следует также, что =. Число называется скалярным квадратом вектора и обозначается через . Таким образом,

(2)

. (3)

Скалярное произведение двух векторов находит широкое применение в различных разделах физики, в частности в механике. Рассмотрим следующий пример. Пусть материальная точка М под действием силы переместилась из точки в точку по прямолинейному пути. Как известно из физики, работа A силы при таком перемещении вычисляется по формуле , где -- угол между векторами и . Из этой формулы следует, что A = . Следовательно, работа постоянной силы , действующей на материальную точку при прямолинейном перемещении , равна скалярному произведению векторов и .

2. Справедлива следующая теорема, которая позволяет найти скалярное произведение двух векторов, зная их координаты.

Теорема 1. Скалярное произведение векторов (, , ) и ( заданных в ортонормированном базисе, выражается формулой

.



Кроме того,

; (2)

(3)

Следствие 1. Векторы (, , ) и (, заданные в ортонормированном базисе, взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда

. (*)

Из формулы (1) для ненулевых векторов следует: (4)

Следствие 2. Косинус угла между ненулевыми векторами (, , ) и (, заданными в ортонормированном базисе, вычисляется по формуле

(4)

3. Основные свойства скалярного произведения векторов сформулированы в следующей теореме.

Теорема 2. Для произвольного числа и произвольных векторов справедливы следующие равенства:

1°. .

2°. = и =.

3°.



Следствие. Для произвольных векторов справедливо равенство .

4. Некоторые свойства скалярного произведения векторов совпадают с соответствующими свойствами произведения чисел (например, равенства 1°, 2° и 3° в теореме 2). Но скалярное произведение имеет и специфические свойства, которыми не обладают произведения чисел. Вот некоторые из них.

1) Скалярное произведение двух векторов есть число, т. е. объект другой природы, тогда как произведение двух чисел является числом, т. е. объектом той же природы.

2) Если 0, то числовое уравнение имееет единственное решение . Аналогичное уравнение для скалярного произведения векторов = не имеет смысла (левая часть этого равенства -- число , а правая -- вектор ). Но можно ставить вопрос о решении уравнения вида =, где и -- векторы, - число. Если = 0, , то уравнение не имеет решений. Если = 0, , то решением уравнения служит любой вектор . Если же 0, то уравнению = удовлетворяет бесконечное множество векторов, но не любой вектор (в этом легко убедиться, если его записать в координатах: ). Таким образом, уравнение = никогда не имеет единственного решения.

3) Если -- числа, то из равенства = 0 следует, что хотя бы одно из этих чисел равно нулю. Аналогичного свойства для векторов нет (см. п. 1).

4) Если -- числа, то . Поэтому левую и правую части этого равенства обозначают так: . Так вводится произведение трех, четырех..., п чисел, где п -- любое натуральное число.

Если , , -- произвольные векторы, то , так как векторы =, = в общем случае не коллинеарны (вектор коллинеарен вектору , а вектор -- вектору ). По этой причине мы не можем скалярно перемножать три, четыре, ..., п векторов. Этим и объясняется, что понятие степени а^п при n>2 не вводится.

1.2 Вычисление длины отрезка

Задача 1. Дан параллелепипед : ВА = а, ВС = b, . Найти длины диагоналей параллелепипеда

Рис 2.

Решение.

а) Выберем аффинный базис

Таблица (1) скалярных произведений векторов базиса имеет следующий вид:

б) По правилу многоугольника сложения векторов находим



в) Вычислим длины диагоналей параллелепипеда, учитывая таблицу умножения (1).

Ответ:

1.3 Расстояние и угол между скрещивающимися прямыми

Задачи этого типа решаются по следующей схеме:

Задача 2. Дано ; прямая, задана начальной точкой и направляющим вектором ; прямая задана начальной точкой и направляющим вектором ; . Найти расстояние и угол между прямыми . (рис. 41).



Рис. 3

Решение. Косинус угла между прямыми находится по формуле

Пусть KL -- общий перпендикуляр прямых . Представим в виде

Неизвестные коэффициенты х, у находятся из условий перпендикулярности вектора векторам :

Искомое расстояние -- длина вектора

Ответ: .

Разберем эту схему на конкретной задаче.

Задача 3. В плоскости задан равносторонний со стороной . На перпендикуляре к плоскости в точке А откладывается отрезок . Найти угол между прямыми , расстояние между прямыми (рис. 4).

Рис. 4

Решение: а) Выберем аффинный базис .

Треугольник -- равносторонний и, значит, Составим таблицу (*) скалярных произведений векторов базиса {}:

т.е. векторы и -- направляющие векторы соответствующих прямых. Пусть -- величина угла между прямыми и . Угол найдем из формулы

Используя таблицу (*), последовательно находим



Подставляя полученные значения первую формулу получим

б) Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине общего перпендикуляра к этим прямым. Из коллинеарности соответствующих векторов следует, что

Поэтому

Учитывая таблицу (*) получаем

Следовательно

Ответ: .

1.4 Расстояние от точки до прямой

Задача 4. Дано: точка М, прямая l с направляющим вектором , точка A р, = . Найти расстояние от точки М до прямой l (рис 5).

Рис. 5

Решение. Приведем схему решения этой задачи, полагая, что векторы и в условии задачи заданы в том смысле, что известны их разложения в некотором базисе с заданной таблицей умножения.

Пусть N -- ортогональная проекция точки М на прямую l (рис. 5).

Значит, . Неизвестный коэффициент x находится из условия перпендикулярности векторов и:

Ответ: Искомое расстояние .

1.5 Расстояние от точки до плоскости. Угол между прямой и плоскостью

Схема решения этого типа задач такова.

Дано: плоскость с базисом {}; точка А, принадлежащая плоскости точка М, не лежащая в плоскости . Найти расстояние от точки М до плоскости и угол между прямой AM и плоскостью (рис. ).

Рис. 6

скалярный произведение вектор стереометрический

Пусть N -- ортогональная проекция точки М на плоскость . (рис. ).

Разложим вектор по векторам :

Неизвестные коэффициенты х, у находятся из условия перпендикулярности вектора к векторам :



Зная х и у, находим расстояние от точки М до плоскости :

Если , то угол между прямой и плоскостью равен углу между векторами и , а если , то прямая .

Таким образом, угол между прямой и плоскостью определяется по формуле

Разберем следующую задачу.

Задача : Дана треугольная призма (Рис. ). Все плоские углы при вершине призмы равны по 60°, , = 1, = 2. Найти расстояние от точки до плоскости = . Определить угол между прямой и плоскостью .



Рис.

Решение. Пусть точка -- ортогональная проекция точки на плоскость -- искомое расстояние (рис. ).

Выберем аффинный базис пространства: и составим таблицу (*) скалярных произведений векторов базиса:

	1
		1
			4

Найдем базис плоскости = , векторы которого выражаются через базис { } пространства. Четырехугольник параллелограмм, поэтому . Векторы , образуют базис плоскости , поскольку они параллельны плоскости и

Пусть , тогда

Используя данное разложение и таблицу(*), находим

Таким образом, и

Пусть - величина угла между прямой . Из прямоугольного получим

Ответ:

1.6 Угол между плоскостями

Определение. Вектор называется нормальным вектором плоскости, если любая прямая перпендикуляре плоскости .

Как известно, плоскость вполне определяется по точке и нормальному вектору

(5)



Решим основную (базовую) задачу.

Задача 5. Найти уравнение плоскости, проходящей через три точки М(1;2;3), N(2;1;4) и Р(0;-1;5).

Решение.

а) Рассмотрим векторы = (1; -1; 1) и = (-1;-3;2).

, т. е. точки М, N, Р не лежат на одной прямой (неколлинеарные). Из аксиом принадлежности следует, что через три неколлинеарные точки можно провести одну и только одну плоскость .

б) Пусть вектор -- искомый нормальный вектор плоскости . Тогда имеем

(6)

Из системы (6) следует, например, что = (-1;3;4) - нормальный вектор плоскости .

Комментарий. Система (6) двух уравнений с тремя неизвестными имеет бесконечное множество решений: - однопараметрическое семейство решений. Это соответствует тому геометрическому факту, что нормальных векторов плоскости тоже бесконечное множество (однопараметрическое семейство), так как они определены с точностью до скалярного множителя (коллинеарны между собой). Выберем из этого множества любое ненулевое решение. Например, при с = 4 имеем = (-1;3;4).

в) Найдем уравнение плоскости по ее нормальному вектору = (-1;3;4) и любой из заданных точек (M;N;P). Например, возьмем точку N(2;1;4). По формуле (5) получаем

Ответ:

Замечание. Рассмотренный пример показывает (задача 5), как найти нормальный вектор плоскости , зная

а) либо три неколлинеарные точки плоскости ;

б) либо базис плоскости , т.е. два неколлинеарных вектора, параллельных плоскости

Приведем схему решения задачи по определению величины угла между двумя пересекающимися плоскостями.

Задача 6. - две пересекающиеся плоскости. Найти величину угла .

а) Прежде всего находим нормальные векторы соответственно плоскостей .

б) Величину угла где , находим, используя формулу .

Рис. 7

Задача. Основанием пирамиды (Рис. ) является равносторонний , длина его стороны равна . Боковое ребро перпендикулярно к плоскости основания и имеет длину 2. Найти величину угла и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку и середину ребра , а другая - через точку C и середину ребра .

Решение.

Рис.

а) Выберем аффинный базис .

По условию .

равносторонний

Составим таблицу скалярных произведений (*) базиса .

	4
		32
			32

б)

где общий перпендикуляр к этим прямым, т.е. , .

Из коллинеарности соответствующих векторов следует

и .

где, , , .

(**)

Учитывая таблицу скалярных произведений (*) и (**)

Следовательно

Ответ: .



§2. Применение основных векторных соотношений к решению стереометрических задач

С введением в школьный курс математики элементов векторной алгебры стало возможным применять этот аппарат к решению многих геометрических задач на вычисление. Векторный метод решения геометрических задач имеет много преимуществ, одно из которых состоит в том, что значительно упрощаются решения геометрических задач в сравнении с решениями, выполненными традиционными методами. Кроме того, векторный метод позволяет сравнительно легко делать иногда очень далеко идущие обобщения .

2.1 Первое основное векторное соотношение; деление направленного отрезка в данном соотношении

Определение. Будем говорить, что точка С делит отрезок АВ в отношении , если

(7)

Если >0, то точка С делит отрезок внутренним образом, т.е. , а если <0, то точка С делит отрезок внешним образом, т.е. С лежит вне отрезка АВ.

Теорема 3. Для того чтобы точка С делила отрезок АВ в отношении , необходимо и достаточно, чтобы для произвольной точки О пространства выполнялось равенство

(8)

(8)

Доказательство. Пусть точка С делит отрезок в отношении , т. е. выполняется соотношение (7). Используя правило вычитания векторов, запишем равенство (7) в виде

. Ч.т.д.

В частности, если = , т. е. , то формула (8) примет вид

(8)

Отметим, что если точка М является серединой отрезка АВ, т. е. точка М делит отрезок АВ в отношении = 1, то формула (8) примет в этом случае вид

(9)

Формулу (9) назовем в дальнейшем формулой для середины отрезка.

Задача 7. Дан правильный тетраэдр ABCD с длиной ребер m. . В каком отношении N делит AD? (рис. 69).



Рис. 8

Решение. Пусть AN: AD = k, тогда ND: AD = 1 - k.

Введем -- аффинный базис, тогда

По условию , значит,



Ответ:

Задача 8. Дан куб с ребром равным a. На прямой взята точка E, такая, что причем точка лежит между точками , а на прямой взяты точки такие, что Найти расстояние между точками (рис. 9).

Рис. 9

Решение. Введем декартов базис , как указано на рисунке (9).

Пусть

По первому основному векторному соотношению имеем

Ответ:

Задача. - правильный тетраидер с ребром 1 (Рис. ), точка - середина ребра , точка лежит на ребре , причем . Найти расстояние от точки до середины отрезка .

Рис.

Решение .Выберем аффинный базис .

Составим таблицу умножения векторов:

	1
		1
			1



Подставляя в (*) имеем

Ответ:

2.2 Второе основное векторное соотношение; признак центроида систем точек

Определение. Пусть дана система из точек . Точка называется центроидом (или центром тяжести) этой системы точек, если выполняется условие

(1)

Центроидом многогранника (многоугольника) назовем точку, являющуюся центроидом всех его вершин.

Приведем некоторые примеры центроидов.

1. Центроидом отрезка является его середина , так как (рис. 87).

Рис. 10

Центроидом , (рис. 11) является точка пересечения его медиан.

Действительно, учитывая свойство медиан треугольника и свойство диагоналей параллелограмма (), получим

Рис. 11

Теорема 4. (Признак центроида системы точек). Точка является центроидом точек тогда и только тогда, когда для тобой точки пространства имеет место равенство:

(2)

Соотношение (2) называют вторым основным векторным соотношением.

Задача 9. Доказать, что медианы тетраэдра пересекаются в одной точке , которая делит каждую медиану в соотношении 3:1, считая от вершины. Доказать, что точка F -- центроид тетраэдра.

Решение. Медианой тетраэдра называется отрезок, соединяющий его вершину с центроидом противолежащей грани.

Пусть -- тетраэдр, -- его медианы, где - центроид грани , - центроид грани (рис. 12).

Рис. 12

НАЙТИ РЕШЕНИЕ

Задача 10. Даны два треугольника и (рис. 13). Эти треугольники могут лежать как в одной плоскости, так и в разных плоскостях (пространственная модель). Пусть -- соответственно точки пересечения медиан этих треугольников. Доказать, что

.



Рис. 13

Решение. Точка -- центроид . Поэтому на основе четвертого основного векторного соотношения имеем

Используя правило треугольника сложения векторов, находим

Точка --центроид , поэтому

В силу предыдущих равенств получим:



Задача 11. В тетраэдре (Рис. 14) точки и являются соответственно точками пересечения медиан граней . Доказать, что и найти отношение длин этих отрезков.

Рис. 14

Решение. Пусть -- центроид тетраэдра, а так как -- центроиды граней соответственно, то по признаку центроида системы точек имеем:

Видно, что

Ответ:

Задача 12. Дан куб , (Рис. 14) со стороной ; - правильный, со стороной равной Диагональ куба пересекает в точке . Найти

Рис. 14

Решение. Введем ортогональную систему координат , как показано на рисунке (14).

.

Рассмотрим , пусть . По теореме Пифагора:

Итак, .

=> ( -- высота пирамиды ).

Так как --правильный, то .

По второму основному векторному соотношению:

Тогда

Ответ:

Задача. Дан куб (Рис. ) со стороной, равной 1. Точка - точка пересечения медиан , а точка - точка пересечения диагоналей куба. Найдите длину отрезка .

Рис.

Решение. Введем базис



Составим таблицу скалярного умножения векторов

	1
		1
			1

Ответ: .

Размещено на Allbest.ru